知識點(diǎn) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題常見 類型
（1）利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)來求最值；
（2）最值不在拋物線頂點(diǎn)處取得；
（3）分段函數(shù)求最值問題；
（4）復(fù)合函數(shù)求最值問題；
（5）借助二次函數(shù)圖象解一元二次不 等式.
1. 若自變量之和為10的兩個(gè)函數(shù)y1和y2 組成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，若設(shè)y1的自變量為 x，則y2的自變量為10－x.
2. 借助二次函數(shù)圖象解一元二次不等式 的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.
3. 最大值不在拋物線頂點(diǎn)處取得，可能 有以下兩種情況：
4. 分段函數(shù)的最大值問題，需要分別求 出每段函數(shù)的最大值，然后在最大值當(dāng) 中再選最大的.
考點(diǎn)一　二次函數(shù)區(qū)間最值
例1　 求下列函數(shù)的最值：
（1）y＝2（x－3）2＋4（2≤x≤5）；
[答案] 解：（1）當(dāng)x＝3時(shí)，y取最小值4；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝6；當(dāng)x＝5時(shí)，y＝12，∴y的最大值為12.
（2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）.
[答案] 解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝ －2（x＋4）2＋35.當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y取最大值17；當(dāng)x＝2時(shí)，y取最小值－37.
考點(diǎn)二　利用二次函數(shù)模型解決幾何面 積問題
例2?。?）如圖，在等腰直角三角形 ABC中，∠A＝90°，BC＝8，點(diǎn)D， E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)， DE∥AB，則S△BDE的最大值是 ?；
（2）（2024·湖北）如圖，學(xué)校要建一 個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊 用籬笆圍成.已知墻長42m，籬笆長80m. 設(shè)垂直于墻的邊AB長為xm，平行于墻 的邊BC為ym，圍成的矩形面積為Sm2.①求y與x，S與x的關(guān)系式；
[答案] 解：①∵籬笆長80m，∴AB＋BC＋CD＝80m.∵AB＝CD＝xm，BC＝y(tǒng)m，∴x＋y＋x＝80，∴y＝80－2x.∵墻長42m，∴0＜80－2x≤42，解得19≤x＜40，∴y＝80－2x（19≤x＜40）.矩形面積S＝BC·AB＝y(tǒng)·x＝（80－ 2x）x＝－2x2＋80x（19≤x＜40）.
②圍成的矩形花圃面積能否為750m2？ 若能，求出x的值；
[答案] 解：令S＝750，則－2x2＋80x＝750，整理，得x2－40x＋375＝0，
解得x1＝25，x2＝15.∵19≤x＜40，∴x＝25.∴當(dāng)x＝25時(shí)，圍成的矩形花圃面積為 750 m2.
③圍成的矩形花圃面積是否存在最大 值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出 此時(shí)x的值.
[答案] 解： S＝－2x2＋80x＝－2（x－20）2＋800.∵－2＜0，∴S有最大值.又∵19≤x＜40，∴當(dāng)x＝20時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S＝ 800 m2.
考點(diǎn)三　利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際 問題例3　 （2024·內(nèi)江）端午節(jié)吃粽子是中 華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豬肉粽的進(jìn)價(jià) 比豆沙粽的進(jìn)價(jià)每盒多20元，某商家用 5000元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進(jìn) 的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā) 現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)52元時(shí)，可售出180 盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，少售出10盒.
（1）求這兩種粽子的進(jìn)價(jià)；
（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元 （52≤x≤70），y表示該商家銷售豬肉粽 的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù) 表達(dá)式并求出y的最大值.
考點(diǎn)四　拋物線的實(shí)際應(yīng)用例4　 （1）（2024·天津）從地面豎直向 上拋出一小球，小球的高度h（m）與 小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系式是 h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m；③小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)5 s時(shí)的 高度.
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　C?。?br/>（2）（2024·陜西）一條河上橫跨著一 座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索L1與纜 索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC 均垂直于橋面，如圖所示，以點(diǎn)O為原 點(diǎn)，以直線FF'為x軸，以橋塔AO所在 直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在 拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔AO與橋塔 BC之間的距離OC＝100m，AO＝BC＝ 17m，纜索L1的最低點(diǎn)P到FF'的距離 PD＝2m.（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）
①求纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②點(diǎn)E在纜索L2上，EF⊥FF'，且EF ＝2.6m，F(xiàn)O＜OD，求FO的長.
∴FO＝40m或FO＝60m，∵FO＜OD，∴FO的長為40m.
1. 用長12m的鋁合金條制成矩形窗框 （如圖所示），那么這個(gè)窗戶的最大透 光面積是 m2.（中間橫框所占的面 積忽略不計(jì)）
2. 某商廈將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商 品，按銷售單價(jià)100元出售時(shí)，每天能賣 出20個(gè).通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品的 銷售單價(jià)每降價(jià)1元，日銷量就增加1個(gè). 為了獲取最大利潤，這種商品的銷售單 價(jià)應(yīng)降 元.
4. （2024·河南）從地面豎直向上發(fā)射的 物體離地面的高度h（m）滿足關(guān)系式h ＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物體運(yùn)動(dòng)的 時(shí)間，v0（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速 度.社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從 地面豎直向上發(fā)射小球.
（1）小球被發(fā)射后 s時(shí)離地面的 高度最大（用含v0的式子表示）；
（2）若小球離地面的最大高度為20m， 求小球被發(fā)射時(shí)的速度；

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