（1）理解等差數(shù)列的概念.
（2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
（3）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
一、等差數(shù)列
1．等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．即，為常數(shù)．
2．等差中項(xiàng)
如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且．
3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形
以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
公式的變形：，．
4．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得．
令，，則，其中，為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，在一次函數(shù)的圖象上，數(shù)列的圖象是直線上均勻分布的一群孤立的點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列．
（2）當(dāng)時(shí)，，等差數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列的圖象是平行于x軸的直線（或x軸）上均勻分布的一群孤立的點(diǎn)．
二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：．
令，，可得，則
當(dāng)，即時(shí)，是關(guān)于n的二次函數(shù)，點(diǎn)是的圖象上一系列孤立的點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，即或常函數(shù)，即，點(diǎn)是直線上一系列孤立的點(diǎn)．
我們可以借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)問(wèn)題．
2．用前n項(xiàng)和公式法判定等差數(shù)列
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系給出了一種判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列．
三、等差數(shù)列的性質(zhì)
1．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
由等差數(shù)列的定義可得公差為的等差數(shù)列具有如下性質(zhì)：
（1）通項(xiàng)公式的推廣：，．
（2）若，則．
特別地，①若，則；
②若，則．
③有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，都等于首末兩項(xiàng)的和，即

（3）下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)組成以md為公差的等差數(shù)列．
（4）數(shù)列是常數(shù)是公差為td的等差數(shù)列．
（5）若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)仍為等差數(shù)列．
（6）若，則．
2．與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式易得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和具有如下性質(zhì)：
設(shè)等差數(shù)列（公差為d）和的前n項(xiàng)和分別為，
（1）數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為．
（2）構(gòu)成公差為的等差數(shù)列．
（3）若數(shù)列共有項(xiàng)，則，．
（4）若數(shù)列共有項(xiàng)，則，．
（5），．
考向一 等差數(shù)列的判定與證明
等差數(shù)列的判定與證明的方法：
定義法：或是等差數(shù)列；
定義變形法：驗(yàn)證是否滿足；
等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；
通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；
前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．
注意：（1）若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)，使得即可；
（2）如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．
典例1 已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，不能推出數(shù)列是等差數(shù)列.
所以“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A．
【名師點(diǎn)睛】根據(jù)等差數(shù)列的定義，“數(shù)列為等差數(shù)列”能推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，“數(shù)列為等差數(shù)列”不能推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，從而可得結(jié)果.
1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）若為等差數(shù)列，求證：；
（2）若，求證：為等差數(shù)列.
考向二 等差數(shù)列中基本量的求解
1．等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，，d，n，，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想．
典例2 已知 QUOTE 為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則_______.
【答案】6
【解析】∵是等差數(shù)列，∴，，∴，解得，
∴，故填6．
典例3 在等差數(shù)列中，a1＝1，S5＝－15.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前k項(xiàng)和Sk＝－48，求k的值．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則.
由a1＝1，S5＝－15，可得5＋10d＝－15，解得d＝－2，
故.
（2）由（1）可知an＝3－2n，所以.
令，即k2－2k－48＝0，解得k＝8或k＝－6.
又，故k＝8.
2．在等差數(shù)列中，已知，公差，若，則
A．19B．18
C．17D．16
考向三 求解等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和
1．求解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法主要有兩種：（1）定義法.（2）前項(xiàng)和法，即根據(jù)前項(xiàng)和與的關(guān)系求解.
在利用定義法求等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，常涉及設(shè)等差數(shù)列項(xiàng)的問(wèn)題，等差數(shù)列中項(xiàng)的常見(jiàn)設(shè)法有：（1）通項(xiàng)法；（2）對(duì)稱(chēng)項(xiàng)設(shè)法.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為，再以公差為向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)分別為，再以公差為向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：.
2．遞推關(guān)系式構(gòu)造等差數(shù)列的常見(jiàn)類(lèi)型：
（1）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；
（2）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則（c可以為0）是等差數(shù)列；
（3）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；
（4）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；
（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則（c可以為0）是等差數(shù)列．
3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法：
根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用；若已知通項(xiàng)公式，則使用，同時(shí)注意與性質(zhì)“”的結(jié)合使用.
典例4 已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】當(dāng)時(shí)，，即，
兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
故．
典例5 已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
依題意得，解得，
則.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得，
，
故數(shù)列的前n項(xiàng)和.
3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求．
考向四 數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解
1．求數(shù)列的前n項(xiàng)和的關(guān)鍵是分清哪些項(xiàng)為正的，哪些項(xiàng)為負(fù)的，最終轉(zhuǎn)化為去掉絕對(duì)值符號(hào)后的數(shù)列進(jìn)行求和．
2．當(dāng)?shù)母黜?xiàng)都為非負(fù)數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)和就等于的前n項(xiàng)和；當(dāng)從某項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)（或正數(shù)）時(shí)，求的前n項(xiàng)和要充分利用的前n項(xiàng)和公式，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．
3．當(dāng)所求的前n項(xiàng)和的表達(dá)式需分情況討論時(shí)，其結(jié)果應(yīng)用分段函數(shù)表示．
典例6 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）請(qǐng)問(wèn)數(shù)列是否為等差數(shù)列？如果是，請(qǐng)證明；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由可得，
兩式相減可得
于是由可知數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，

.
故數(shù)列的前項(xiàng)和為.
典例7 設(shè)數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
從而，即，解得.
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，所以有
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
.
綜上，.
4．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
（1）求；
（2）設(shè)，求.
考向五 等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用
等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問(wèn)題.
解題時(shí)要注意性質(zhì)運(yùn)用的限制條件，明確各性質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征是正確解題的前提．如，則，只有當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立．
典例8 已知等差數(shù)列的公差，，則__________．
【答案】180
【解析】由，
則，
又，則.
則，
故.
典例9 一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為30，前30項(xiàng)的和為10，求前40項(xiàng)的和．
【解析】方法1：設(shè)其首項(xiàng)為，公差為d，則，解得，，故．
方法2：易知數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則前3項(xiàng)的和為，即，
又，所以，所以，
所以．
方法3：設(shè)，則，解得，
故，所以．
方法4：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列，點(diǎn)在一條直線上，即，，三點(diǎn)共線，于是，將，代入解得．
方法5：因?yàn)椋?br>又，所以，所以．
方法6：利用性質(zhì)：，可得．
方法7：利用性質(zhì)：當(dāng)，時(shí)，．
由于，，可得．
5．等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和，若，則
A．B．
C．D．
考向六 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題
1．二次函數(shù)法：，由二次函數(shù)的最大值、最小值的知識(shí)及知，當(dāng)n取最接近的正整數(shù)時(shí)，取得最大（?。┲担珣?yīng)注意，最接近的正整數(shù)有1個(gè)或2個(gè)．
注意：自變量n為正整數(shù)這一隱含條件.
2．通項(xiàng)公式法：求使()成立時(shí)最大的n值即可．
一般地，等差數(shù)列中，若，且，則
①若為偶數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大；
②若為奇數(shù)，則當(dāng)或時(shí)，最大．
3．不等式法：由，解不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和的最大值．
典例10 已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，.
（1）求的通項(xiàng)；
（2）求的前n項(xiàng)和的最大值．
【解析】（1）由題意知，
所以.
（2）因?yàn)?，所以?br>根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)和取得最大值，最大值為4.
典例11 已知數(shù)列,,前n項(xiàng)和Sn=(an+2)2.
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=an?30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值.
【解析】（1）由已知得8Sn=(an+2)2,則8Sn?1=(an?1+2)2(n≥2),
兩式相減,得8an=(an+2)2?(an?1+2)2,即(an+an?1)(an?an?1?4)=0.
因?yàn)?所以an+an?1>0,所以an?an?1=4(n≥2),
故數(shù)列{an}是以4為公差的等差數(shù)列.
（2）令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.
由（1）知an=2+(n?1)×4=4n?2,所以bn=an?30=2n?31.
由bn=2n?310”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則____________．
6．（2018北京理科）設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．
7．（2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________．
8．（2019年高考北京卷理數(shù)）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為_(kāi)__________．
9．（2019年高考江蘇卷）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是___________．
10．（2018新課標(biāo)全國(guó)II理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值．
變式拓展
1．【解析】（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，有，
則，
于是，①
又，②
由①②相加得，即.
（2）由，得當(dāng)時(shí)，，
所以，③
，④
④－③并整理，得，即，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了倒序相加法，以及等差數(shù)列的證明，屬于中檔題.等差數(shù)列的證明常常運(yùn)用以下兩種方法：（1）定義法，通過(guò)證明（為常數(shù)，）即可；（2）等差中項(xiàng)法：通過(guò)證明其滿足即可.
2．【答案】C
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1＝3，公差d＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝3+2n﹣2＝2n+1，
又因?yàn)閍m＝2m+1＝a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝35（m∈N*），
所以m＝17，
故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．依題意an＝2n+1，且a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝35，令am＝35解方程即可．
3．【解析】（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，
解得，，
則的通項(xiàng)公式為.
（2）為等差數(shù)列，
以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．
4．【解析】（1）由，及，
聯(lián)立解得，，
所以．
（2）由（1）知，
可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量的運(yùn)算，以及等差數(shù)列中絕對(duì)值的和的求解，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)，以及合理分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類(lèi)討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．【答案】D
【解析】由題意得：，，
又，即，
.
本題正確選項(xiàng)為D.
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中項(xiàng)的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中間項(xiàng)之間的比較.
6．【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，所以，
又，所以，，且，
所以，
，
所以滿足的最大正整數(shù)的值為10.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查使等差數(shù)列前項(xiàng)和最大的整數(shù)，熟記等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.求解時(shí)，先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)前項(xiàng)和有最大值，得到，再由，得到，，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
專(zhuān)題沖關(guān)
1．【答案】A
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，所以選擇A.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列比較重要的一個(gè)性質(zhì)；在等差數(shù)列中，若，則，屬于基礎(chǔ)題.
2．【答案】B
【解析】由題意得，所以為等差數(shù)列，且公差為，
所以，則，故選擇B.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷是否為等差數(shù)列以及等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.求解本題時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可.
3．【答案】B
【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，
而，所以，所以，故選B．
4．【答案】B
【解析】由數(shù)列滿足，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，所以，所以，故選B．
【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)對(duì)數(shù)值的求解問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)數(shù)值的求解，屬于簡(jiǎn)單題目.利用已知條件判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，求出公差，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.
5．【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，;
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，滿足通項(xiàng)公式，
所以此數(shù)列為等差數(shù)列.
故選B.
【名師點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)，注意檢驗(yàn)時(shí)的公式對(duì)是否適用.
6．【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以所以?shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)?，因?yàn)?，因此，故選B．
【名師點(diǎn)睛】先根據(jù)等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式得出，再根據(jù)正項(xiàng)數(shù)列條件得an，即得a6.證明或判斷為等差數(shù)列的方法：
(1)用定義證明：為常數(shù)）；
(2)用等差中項(xiàng)證明：；
(3)通項(xiàng)法：為的一次函數(shù)；
(4)前項(xiàng)和法：.
7．【答案】C
【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則根據(jù)題意可得，解得．
則兩個(gè)人所得金相差數(shù)額絕對(duì)值的最小值是斤.
本題選擇C選項(xiàng).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問(wèn)題，列方程組可得，結(jié)合題意可確定兩個(gè)人所得金相差數(shù)額絕對(duì)值的最小值.
8．【答案】A
【解析】由題意得：，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)且為奇函數(shù)，所以，即，即，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，故答案為A．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)，本題能得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
9．【答案】C
【解析】在等差數(shù)列{an}中，由S10＝0，得，
則．
又∵，可知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則．
又，
∴當(dāng)n＝10時(shí)，0，
當(dāng)n＝11時(shí)，，
∴使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是11．
故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化能力及數(shù)列的單調(diào)性應(yīng)用，屬于中檔題.
10．【答案】
【解析】∵等差數(shù)列中，∴，∴．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．
【名師點(diǎn)睛】根據(jù)等差數(shù)列中下標(biāo)和的性質(zhì)與前n項(xiàng)和公式求解，即若，則，這個(gè)性質(zhì)經(jīng)常和前n項(xiàng)和公式結(jié)合在一起應(yīng)用，利用整體代換的方法可使得運(yùn)算簡(jiǎn)單．
11．【答案】
【解析】由，可知，則(當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號(hào))．故填．
12．【解析】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，,
所以解得.
則,.
（2）構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
則.
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
（1）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組求出，進(jìn)而可求通項(xiàng)公式；
（2）由已知可得構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.
13．【解析】（1）由題意，等差數(shù)列中，，，
則，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）法一：由（1）知，，
則，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
法二：由（1）知，，
∴是遞減數(shù)列．
令，則，解得.
∵，
∴時(shí)，，時(shí)，.
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的求解方法，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．
14．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，則，
兩式對(duì)應(yīng)相減得，
所以，
又n=2時(shí)，，
所以，
所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
.
綜上：.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.
（1）先化簡(jiǎn)已知得，，再求出，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論得解.
15．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，又，∴，
又，∴.
當(dāng)時(shí)，有且，
又，
兩式相減，化簡(jiǎn)得：，
又，∴，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，，
設(shè)，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，有最小值.
又，
所以，
故當(dāng)時(shí)，的最小值是.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和問(wèn)題，熟記數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后再求和.
直通高考
1．【答案】A
【解析】由題知，，解得，∴，,故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，再適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．
2．【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，
整理解得，所以，故選B．
【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
3．【答案】C
【解析】設(shè)公差為，，
，聯(lián)立解得，故選C．
【秒殺解】因?yàn)?，即?br>則，即，解得，故選C．
【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.
4．【答案】C
【解析】由，可知當(dāng)時(shí)，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要條件，選C．
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過(guò)套入公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算，可知， 結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故互為充要條件．
5．【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意有 ，解得 ，
數(shù)列的前n項(xiàng)和，
裂項(xiàng)可得，
所以．
6．【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
【名師點(diǎn)睛】先根據(jù)條件列出關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為首項(xiàng)與公差（公比）問(wèn)題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.
7．【答案】4
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
因，所以，即，
所以．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
8．【答案】 0，
【解析】等差數(shù)列中,,得又,所以公差,,
由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí),,時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.
9．【答案】16
【解析】由題意可得：，
解得：，則.
【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題，是高考必考內(nèi)容，解題過(guò)程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.
10．【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．
【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．
【名師點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.

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