備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)學(xué)案考點(diǎn)33 空間向量與立體幾何（附解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．空間向量及其運(yùn)算
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.
（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.
（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.
2．空間向量的應(yīng)用
（1）理解直線的方向向量與平面的法向量.
（2）能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.
（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.
（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.
一、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念
1．空間直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.
2．空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)
（1）空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來(lái)表示，記作，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).
（2）建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)組可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．
3．空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式
（1）距離公式
①設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，
則兩點(diǎn)間的距離.
②設(shè)點(diǎn)，
則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離為.
（2）中點(diǎn)公式
設(shè)點(diǎn)為，的中點(diǎn)，則.
4．空間向量的有關(guān)概念
二、空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算
1.共線向量定理
對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
牢記兩個(gè)推論：
（1）對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或（其中）.
（2）如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使，其中向量叫做直線l的方向向量，該式稱為直線方程的向量表示式.
2.共面向量定理
如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.
牢記推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有.
3.空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.
注意：（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底.
（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.
（3）不能作為基向量.
4.空間向量的運(yùn)算
（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類(lèi)比平面向量.
（2）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)，則，
，，
，
，
，
.
三、利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題
1.直線的方向向量和平面的法向量
（1）直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作，顯然一條直線的方向向量可以有無(wú)數(shù)個(gè).
（2）若直線，則該直線的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作,有無(wú)數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線向量.
平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為.在平面內(nèi)找出（或求出）兩個(gè)不共線的向量，根據(jù)定義建立方程組，得到，通過(guò)賦值，取其中一組解，得到平面的法向量.
2.利用空間向量表示空間線面平行、垂直
設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為.
（1）線線平行：若，則；
線面平行：若，則；
面面平行：若，則.
（2）線線垂直：若，則；
線面垂直：若，則；
面面垂直：若，則.
3.利用空間向量求空間角
設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為.
（1）直線所成的角為，則，計(jì)算方法：；
（2）直線與平面所成的角為，則，計(jì)算方法：；
（3）平面所成的二面角為，則，
如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝．
如圖②③，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|csθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
4.利用空間向量求距離
（1）兩點(diǎn)間的距離
設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，
則兩點(diǎn)間的距離.
（2）點(diǎn)到平面的距離
如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為.
考向一空間直角坐標(biāo)系
對(duì)于空間幾何問(wèn)題，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，把空間中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組(即坐標(biāo))表示出來(lái),通過(guò)坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算解決空間幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題(形)與代數(shù)問(wèn)題(數(shù))的結(jié)合.
典例1 如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】如圖所示，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以,所以.
1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別是A1B1和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____________.
考向二共線、共面向量定理的應(yīng)用
1.判斷兩非零向量平行，就是判斷是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線.
2.證明空間三點(diǎn)P、A、B共線的方法：
①(λ∈R)；
②對(duì)空間任一點(diǎn)O，(t∈R)；
③對(duì)空間任一點(diǎn)O，．
3.證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的方法：
①；
②對(duì)空間任一點(diǎn)O，；
③對(duì)空間任一點(diǎn)O，(x＋y＋z＝1)；
④(或或).
典例2 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F(xiàn)在體對(duì)角線A1C上，且.求證：E,F,B三點(diǎn)共線.
【解析】設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c.
∵A1E=2ED1,,
∴A1E=23A1D1=23b,(AC-AA1)=(AB+AD-AA1)=a+b-c.
∴a-b-c=(a-b-c).
又EB=EA1+A1A+AB=-b-c+a=a-b-c,
∴.
∴E,F,B三點(diǎn)共線.
2．如圖,正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直,AC//DG//EF,且AD=DE=DG=2,AC=EF=1.
（1）求證:B,C,G,F四點(diǎn)共面;
（2）求二面角E-BC-F的余弦值.
考向三利用向量法證明平行問(wèn)題
1.證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行.
2.證明線面平行：
（1）該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；
（2）證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；
（3）證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.
3.證明面面平行：兩個(gè)平面的法向量平行.
典例3 如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,E、M、N分別是BC、AE、CD1的中點(diǎn),AD＝AA1＝a,AB＝2a.求證：MN∥平面ADD1A1.
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(a,2a,0),
∵M(jìn)、N分別為AE、CD1的中點(diǎn),
∴M(a,a,0),N(0,a,).∴.
取n＝(0,1,0),顯然n⊥平面A1D1DA,且MN·n＝0,
∴MN⊥n.
又MN?平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1.
3．如圖，邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD所在的平面與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，∠BAD=60°，AE⊥BE，點(diǎn)M，N分別在AB，DE上，且.
求證：MN∥平面BCE.
考向四利用向量法證明垂直問(wèn)題
1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．
2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示．
3.面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆?br>典例4 如圖,已知正四棱錐V-ABCD中,E是VC的中點(diǎn), 正四棱錐的側(cè)面VBC為正三角形.求證:平面VAC⊥平面EBD.
【解析】如圖，以V在底面ABCD內(nèi)的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
設(shè)VB=VC=BC=2a,在中,VO=CV2-CO2=4a2-2a2=2a,
∴V(0,0,2a),A(2a,0,0),C(-2a,0,0),B(0, 2a,0),D(0,-2a,0),E(a,0,a),
則DE=(a,2a,a),BD=(0,-22a,0),VC=(-2a,0,-2a).
∵DE·VC=a2+0-a2=0,BD·VC=0,
∴DE⊥VC,BD⊥VC,即DE⊥VC,BD⊥VC.
∵DE∩BD=D,
∴VC⊥平面EBD.
又平面VAC,
∴平面VAC⊥平面EBD.
典例5 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).
求證:（1）AE⊥CD;
（2）PD⊥平面ABE.
【解析】（1）易知AB,AD,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)PA=AB=BC=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1).
∵∠ABC=60°,
∴△ABC為正三角形,
∴C(,,0),E(,,).
設(shè)D(0,y0,0),由AC⊥CD,得AC·CD=0,即(,,0)·(-,y0-,0)=0,解得y0=,
∴D(0,,0),
∴CD=(,,0).
又AE=(,,),
∴AE·CD=-12×14+36×34+0=0,
∴AE⊥CD,即AE⊥CD.
（2）方法一：由（1）知PD=(0,,-1),
∴AE·PD=0++×(-1)=0,
∴PD⊥AE,即PD⊥AE.
∵AB=(1,0,0),∴PD·AB=0,
∴PD⊥AB.
又AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
方法二：由（1）知AB=(1,0,0),AE=(,,).
設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AE=0,得,
令y=2,則z=-3,
∴平面ABE的一個(gè)法向量為n=(0,2,-3).
∵PD=(0,,-1),顯然PD=33n,
∴PD∥n,
∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.
4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中點(diǎn)，G是BB1的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且D1E=2EO.
求證：（1）DG⊥AC;
（2）DB1⊥平面CD1O;
（3）平面CDE⊥平面CD1O.
考向五用向量法求空間角
1.用向量法求異面直線所成的角
（1）建立空間直角坐標(biāo)系；
（2）求出兩條直線的方向向量；
（3）代入公式求解，一般地，異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為.
2.用向量法求直線與平面所成的角
（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；
（2）通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．
3.用向量法求二面角
求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．
典例6 如圖,在五棱錐中,PA⊥平面ABCDE,,∠DEA=
∠EAB=∠ABC=90°.
（1）求二面角的大小;
（2）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.
【解析】由題可知,以AB、AE、AP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
則.
設(shè)平面PDE的法向量為,
又ED=(1,0,0),EP=(0,-2,2).
由,得,
令y=1,得.
（1）由于PA⊥平面ABCDE,則平面ADE的一個(gè)法向量為AP=(0,0,2),
于是cs===,
所以=45°,
則二面角的大小為45°.
（2）由于PC=(2,1,-2),
所以cs===.
故PC與平面PDE所成角的正弦值為.
典例7 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
（1）求異面直線BF與DE所成角的大小；
（2）證明：平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A－CD－E的余弦值.
【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.
設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M(，1，).
（1）BF＝(－1,0,1)，DE＝(0，－1,1)，
于是cs〈BF，DE〉＝＝0+0+12?2＝12，
所以異面直線BF與DE所成角的大小為60°.
（2）由AM＝(，1，)，CE＝(－1,0,1)，AD＝(0,2,0)，可得CE·AM＝0，CE·AD＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AD∩AM＝A，
故CE⊥平面AMD.
而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE.
（3）設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)，則，于是，
令x＝1，可得u＝(1,1,1).
又由題設(shè)，可知平面ACD的一個(gè)法向量為v＝(0,0,1).
所以cs〈u，v〉＝u?vu|v|＝＝.
因?yàn)槎娼茿－CD－E為銳角，
所以其余弦值為.
5．如圖所示的多面體是由一個(gè)直平行六面體被平面所截后得到的，其中，，.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
6．在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)D在棱上，且，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與的夾角的余弦值；
（2）若二面角的平面角為，求的值．
考向六用向量法求空間距離
1.空間中兩點(diǎn)間的距離的求法
兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的模．因此，要求兩點(diǎn)間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為求向量的模.
2. 求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟：
（1）在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)．
（2）確定平面α的法向量n.
（3）代入公式求解．
典例8 如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是
A．5B．
C．D．8
【答案】C
【解析】∵B1C1∥BC,且平面A1BCD1,平面A1BCD1,∴B1C1∥平面A1BCD1，從而點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離為所求距離.
方法一：過(guò)點(diǎn)B1作B1E⊥A1B于點(diǎn)E.∵BC⊥平面A1ABB1,且B1E平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.
又BC∩A1B=B,∴B1E⊥平面A1BCD1.
在中,B1E=,
∴直線B1C1到平面A1BCD1的距離為.
故選C.
方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,12,0),D1(0,0,5),
設(shè)B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0),平面A1BCD1的法向量為n=(a,b,c),
由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,
∴a=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,∴b=c,令c=12,則b=5,
∴n=(0,5,12)為平面A1BCD1的一個(gè)法向量.
又B1B=(0,0,-5),∴點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離d=.
故選C.
典例9 如圖,直三棱柱中,AC=BC=1,AA1=3,∠ACB=90°,D為CC1上的點(diǎn),二面角的余弦值為.
（1）求證:CD=2;
（2）求點(diǎn)A到平面的距離.
【解析】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè).
m=(1,1,0)是平面的一個(gè)法向量,設(shè)是平面的法向量.
DA1=(1,0,3-a),DB=(0,1,-a),由DA1·n=0,DB·n=0,得,,
取,得,,即.
由題設(shè),知,解得a=2或a=1,
所以DC=2或DC=1.
但當(dāng)DC=1時(shí),顯然二面角為銳角,故舍去.
綜上,DC=2.
（2）由（1）,知n=(1,-2,-1)為平面的一個(gè)法向量,
又AA1=(0,0,3),所以點(diǎn)A到平面的距離d==.
7．已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，SD⊥平面ABCD，且SD=AD=1，求異面直線SB與AC間的距離.
8．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點(diǎn)E,F分別為PA,PD的中點(diǎn).在CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為?若存在，求出CQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
考向七用向量法求立體幾何中的探索性問(wèn)題
1.通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在．
2.探索線段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用，這樣可減少坐標(biāo)未知量．
典例10 如下圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D為AC的中點(diǎn).
（1）求二面角C1-BD-C的余弦值；
（2）在側(cè)棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得CP⊥平面BDC1?并證明你的結(jié)論.
【解析】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0)，
所以C1B=(0,3,2),C1D=(1,3,0).
設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面BDC1的法向量,則n·C1B=0n·C1D=0，
所以，
令x1=1,得n=(1,,)是平面BDC1的一個(gè)法向量，
易知C1C=(0,3,0)是平面ABC的一個(gè)法向量,
所以cs=,
而二面角C1-BD-C為銳角,
故其余弦值為.
（2）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥平面BDC1.
因?yàn)镃P=(2,y-3,0),
所以CP·C1B=0CP·C1D=0，即，
得y=3且y=,
所以方程組無(wú)解.
則假設(shè)不成立,即側(cè)棱AA1上不存在一點(diǎn)P,使CP⊥平面BDC1.
典例11 已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90° ，PD⊥底面ABCD ，且PD=DA=CD=2AB=2 ，M點(diǎn)為PC的中點(diǎn).
（1）求證：BM//平面PAD .
（2）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使 MN⊥平面PBD .
【解析】（1）因?yàn)镻D⊥底面ABCD,CD//AB,CD⊥AD，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz(如圖所示).
由于PD=CD=DA=2AB=2,所以D(0,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),
所以BM=-2,0,1,DC=(0,2,0).
因?yàn)镈C⊥平面PAD,
所以DC是平面PAD的法向量,
又因?yàn)镈C?BM=0,
所以BM//平面PAD，
所以BM//平面PAD.
（2）設(shè)N(x,0,z)是平面PAD內(nèi)一點(diǎn),
則MN=(x,-1,z-1),DP=(0,0,2),DB=(2,1,0),
若MN⊥平面PBD,則MN?DP=0MN?DB=0，
所以，即，
所以在平面PAD內(nèi)存在點(diǎn),使得MN⊥平面PBD.
9．已知正方形的邊長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上．
（1）若為的中點(diǎn)，且直線，由三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時(shí)二面角的余弦值，若不存在，說(shuō)明理由．
1．若O、A、B、C為空間四點(diǎn),且向量、、不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則
A．、、共線B．、共線
C．、共線D．O,A,B,C四點(diǎn)共面
2．已知=(2,2,1),=(4,5,3),則下列向量中是平面ABC的法向量的是
A．(1,2,-6) B．(-2,1,1)
C．(1,-2,2) D．(4,-2,1)
3．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,z軸上到點(diǎn)A(1,0,2)與點(diǎn)B(2,-2,1)距離相等的點(diǎn)C的坐標(biāo)為
A．(0,0,-1) B．(0,0,1)
C．(0,0,-2) D．(0,0,2)
4．已知向量分別是直線的方向向量，若，則
A． B．
C． D．
5．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
6．如圖所示,正方體中,是的中點(diǎn),則為
A． B．
C． D．
7．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P∈AC1,Q∈MD,則PQ長(zhǎng)度的最小值為
A．1 B．
C． D．2
8．如圖所示，在直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°,則點(diǎn)D到平面ACE的距離d為
A．B．
C．D．
9．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于
A． B．
C． D．
10．已知向量，，且與互相垂直，則的值是______________.
11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則．
12．已知為兩平行平面的法向量，則λ＝ .
13．如圖，在正四面體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，則的值為．
14．如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,則AE=______________.
15．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，是中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求二面角的余弦值．
16．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：
（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
17．如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1;
（2）求直線AC1與平面ABB1所成的角的余弦值；
（3）求平面AB1C1與平面ABC所成角的正弦值.
18．在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.
（1）求證：∥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．
19．如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD, PA=AB=AD=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).
（1）求證:無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;
（2）BC(包括端點(diǎn)B,C)上是否存在一點(diǎn)E,使PD∥平面AEF?若存在,求出點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
20．如圖,矩形ABCD所在的平面和直角梯形CDEF所在的平面成60°的二面角,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,EF=32,CF=6,∠CFE=45°.
（1）求證:BF∥平面ADE;
（2）在線段CF上求一點(diǎn)G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為.
21．如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）若，求直線與平面所成的角的正弦值.
1．（2018新課標(biāo)全國(guó)II理科）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A． B．
C． D．
2．（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
3．（2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
4．（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.
5．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
（1）證明：平面平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
6．（2018新課標(biāo)全國(guó)II理科）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
7．（2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．
8．（2019年高考北京卷理數(shù)）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（1）求證：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．
9．（2019年高考天津卷理數(shù)）如圖，平面，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．
10．（2018北京理科）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．
（1）求證：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；
（3）證明：直線FG與平面BCD相交．
11．（2018天津理科）如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.
（1）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng).
變式拓展
1．【答案】
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),F(x,0,0),D(0,y,0)，
則,，
由于GD⊥EF，所以，
所以，
故，
所以當(dāng)時(shí)，線段DF長(zhǎng)度取得最小值，且最小值為．
【名師點(diǎn)睛】建立空間直角坐標(biāo)系后，可將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問(wèn)題來(lái)處理，解題時(shí)要注意建立的坐標(biāo)系要合理，盡量多地把已知點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上，同時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要準(zhǔn)確．建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)F，D的坐標(biāo)，求出向量,，利用GD⊥EF求得關(guān)系式，然后可得到DF長(zhǎng)度的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)求最值．
2．【解析】（1）由正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直,
易證AD, DE, DG兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,2), B(2,0,2), C(0,1,2), E(2,0,0), F(2,1,0), G(0,2,0),
∵BF=(0, 1,-2), CG=(0, 1,-2),
∴BF=CG,即四邊形BCGF是平行四邊形,
故B, C, G, F四點(diǎn)共面．
（2）設(shè)平面BFGC的法向量為m=(x1, y1, z1),
∵FG=(-2,1,0),
則BF · m=y1-2z1=0, FG · m=-2x1+y1=0,
令y1=2,則m=(1,2,1),
設(shè)平面BCE的法向量為n=(x2, y2, z2),且BC=(-2,1,0), EB=(0,0,2),
則BC · n=-2x2+y2=0, EB · n=2z2=0,
令x2=1,則n=(1,2,0),
設(shè)二面角E-BC-F的平面角的大小為θ,
則csθ=|m · n|m||n||=|1×1+2×2+1×06×5|=306．
3．【解析】∵菱形ABCD中∠BAD=60°，且平面ABCD⊥平面ABE，∴點(diǎn)D在平面ABE內(nèi)的射影恰好是AB的中點(diǎn)，設(shè)為O，連接OD，OE，又是等腰直角三角形，AE⊥BE，∴OE⊥AB，分別以O(shè)E，OB，OD所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
易得OE=，OD=，OM=，
∴E(,0,0)，M(0,,0)，D(0,0,)，B(0,,0)，C(0,3,)，
∴=(,,0)，=(0,,)，
∵=2，∴N(,0,)，
∴=(,,)，
∴，即,,共面，
又MN?平面BCE，∴MN∥平面BCE.
4．【解析】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0, 0,0),A(1,0,0),B1(1,1,1),O(,,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),G(1,1,).
（1）∵=(1,1,),=(-1,1,0),
∴·=-1+1+0=0，∴⊥，∴DG⊥AC.
（2）=(1,1,1),=(0,-1,1),=(,,0),
∵·=1×0+1×(-1)+1×1=0，·=1×()+1×+1×0=0,
∴DB1⊥CD1，DB1⊥OC，
∵CD1∩OC=C，∴DB1⊥平面CD1O.
（3）由（2）知平面CD1O的一個(gè)法向量為=(1,1,1),
∵D1E=2EO,
∴=(,,)，
∴E(,,)，∴=(,,)，
設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面CDE的法向量，
由，得.
令x1=1,得n=(1,0,-1)是平面CDE的一個(gè)法向量，
又n·=(1,0,-1)·(1,1,1)=1-1=0，
∴n⊥，∴平面CDE⊥平面CD1O.
5．【解析】（1）在中，因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，，
解得，
∴，
∴，
在直平行六面體中，平面，平面，
∴，
又，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（2）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，?br>所以，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，，
∴.
設(shè)直線和平面的夾角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
6．【解析】（1）易知，，，
因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以．
由于異面直線所成角的范圍為，
故異面直線與的夾角的余弦值為.
（2）由，可知，，
所以，
由（1）知，.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，解得，，
所以平面的法向量為；
設(shè)平面的法向量為，，
則，即，
令，解得，，
所以平面的一個(gè)法向量為．
因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫椋?br>所以，
即，解得或，
由于，
故的值為．
7．【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1),B(1,1,0),從而=(-1,1,0),=(1,1,-1).
設(shè)向量n=(x,y,z)滿足,即,
令y=1,可得n=(1,1,2).
在AC上取點(diǎn)A,在SB上取點(diǎn)B,=(0,1,0),
所以異面直線SB與AC間的距離為d=|·|=.
8．【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AE分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則E(0,0,1),F(0,1,1),從而=(0,1,0),=(0,0,-1).
假設(shè)在CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件,設(shè)點(diǎn)Q(x0,2,0),平面EFQ的法向量為n=(x,y,z),
則有,即,
取x=1,得n=(1,0,x0),
所以點(diǎn)A到平面EFQ的距離為||=||=,
又x0>0,解得x0=,
所以點(diǎn)Q(,2,0),即=(,0,0),則||=.
所以在CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件,且CQ的長(zhǎng)為.
9．【解析】（1）因?yàn)橹本€平面，
故點(diǎn)在平面內(nèi)也在平面內(nèi)，
所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，如圖所示，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，，
所以點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，
連結(jié)，交于，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦危允堑闹悬c(diǎn)，
連結(jié)，因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，
又因?yàn)槠矫妫灾本€平面.
（2）由已知可得，，，所以平面，
所以平面平面，
取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，
所以，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，，
所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，
所以，所以，
解得或，
所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，
取的中點(diǎn)，則為平面的法向量，
因?yàn)?，所以，?br>設(shè)二面角的大小為，
所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，平面平面，
所以當(dāng)時(shí)，為鈍角，所以.
當(dāng)時(shí)，為銳角，所以.
【名師點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：
第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；
第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；
第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
專(zhuān)題沖關(guān)
1．【答案】D
【解析】∵向量,,不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,∴向量,,共面,因此O,A,B,C四點(diǎn)共面.故選D．
2．【答案】C
【解析】設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,z),則∴
取x=1,解得y=-2,z=2.∴n=(1,-2,2).故選C．
3．【答案】C
【解析】設(shè)C(0,0,z),由點(diǎn)C到點(diǎn)A(1,0,2)與點(diǎn)B(2,-2,1)的距離相等,得12+02+(z-2)2=(2-0)2+(-2-0)2+(z-1)2,解得z=-2,故C(0,0,-2).
4．【答案】D
【解析】，存在實(shí)數(shù)使得,即,，
解得，
故選D.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量共線的性質(zhì)，意在考查對(duì)基本性質(zhì)的掌握情況，屬于簡(jiǎn)單題.
5．【答案】C
【解析】∵兩平面的法向量分別為∴兩平面所成的二面角與相等或互補(bǔ)，∴.故兩平面所成的二面角為45°或135°，故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中一定要注意兩平面所成的二面角與相等或互補(bǔ)，屬基礎(chǔ)題.
6．【答案】B
【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則，求得==,所以=.選B．
7．【答案】C
【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)P(x0,2x0,3-3x0)，Q(x1,2-x1,3)，x0,x1∈[0,1]，所以PQ==，當(dāng)且僅當(dāng)x0=，x1=時(shí)，PQ取得最小值，即|PQ|min==.
故選C．
8．【答案】B
【解析】取AB的中點(diǎn)O,連接OE,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),E(1,0,0),
D(0,-1,2),C(0,1,2).AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2),設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則,即.令y=1,則平面ACE的一個(gè)法向量為n=(-1,1,-1).
故點(diǎn)D到平面ACE的距離d==|-23|=233.
9．【答案】A
【解析】設(shè)，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，設(shè)與平面所成的角為，則，故選A.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求線面角，屬于難題.利用空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：
（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；
（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；
（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；
（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
10．【答案】
【解析】向量，，，，
與互相垂直，，解得.
【名師點(diǎn)睛】先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求與，再由它們互相垂直列方程求出的值.空間兩個(gè)向量垂直的充要條件：
設(shè)，，則.
11．【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，
所以,解得,所以=.
12．【答案】2
【解析】∵（3λ，6，λ+6），（λ+1，3，2λ）為兩平行平面的法向量，∴．
∴存在實(shí)數(shù)k，使得，
∴，解得，
故答案為2.
13．【答案】
【解析】，
所以，所以.
14．【答案】a或2a
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則B1(0,0,3a),C(0,2a,0).設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2a,0,z),則CE=(2a,-2a,z),B1E=(2a,0,z-3a).由CE⊥B1E,得2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a,即AE=a或2a.
15．【解析】∵正方形邊長(zhǎng)，
∴，
∴，
∴平面，
∴分別以所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
∴，
（1）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，
∴與平面所成角的正弦值為，
∴點(diǎn)到平面的距離為.
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，
∴，
∴二面角的余弦值為．
【方法點(diǎn)晴】空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：
（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；
（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；
（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；
（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
16．【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以，，.
（1）設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則，，即得令z1＝2，則y1＝－1，
所以n1＝(0，－1，2).
因?yàn)椋?br>所以.
又因?yàn)槠矫鍭DE，
所以FC1∥平面ADE.
（2）易得，
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量，則，，即得令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1，2)，
因?yàn)閚1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
17．【解析】（1）如圖，以AC為中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)為：A0,-3,0,B1,0,0,A10,-3,4,B11,0,2,C10,3,1，
因此AB1=1,3,2,A1B1=1,3,-2,A1C1=0,23,-3，
由AB1?A1B1=0得AB1⊥A1B1，
由AB1?A1C1=0得AB1⊥A1C1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
（2）設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ，
由（1）可知AC1=0,23,1，AB=1,3,0，BB1=0,0,2，
設(shè)平面ABB1的法向量n=x,y,z.
由n?AB=0,n?BB1=0,即x+3y=02z=0,，可得n=-3,1,0，
所以sinθ=csAC1,n=AC1?nAC1?n=3913.
則直線AC1與平面ABB1所成的角的余弦值為13013.
（3）由上述條件可知AB1=1,3,2，AC1=0,23,1，
設(shè)平面AB1C1的法向量為m=a,b,c.
由m?AB1=0,m?AC1=0,即a+3b+2c=023b+c=0,，可得m=33,1,-23，
平面ABC的法向量可取BB1=0,0,2，
設(shè)平面AB1C1與平面ABC的夾角為 β，則csβ=|cs|=|m?BB1||m|?|BB1|=3010，
所以平面AB1C1與平面ABC所成角的正弦值為7010.
18．【解析】（1）平面平面，平面平面，
，，
直線平面.
由題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則可得：，.
依題意，易證：是平面的一個(gè)法向量，
又，，
又直線平面，平面.
（2）.
設(shè)為平面的法向量，
則，即.
不妨設(shè)，可得.
設(shè)為平面的法向量，
又，
則，即.
不妨設(shè)，可得，
，
又二面角的平面角為鈍角，
二面角的大小為.
（3）設(shè)，則，
又，
則，即，
，
解得或（舍去）.
故所求線段的長(zhǎng)為.
19．【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),P(0,0,1),F(0,,),D(1,0,0),
∴AF=(0,,),
設(shè)BE=a,則E(a,1,0),PE=(a,1,-1).
∵PE·AF=(a,1,-1)·(0,,)=0,∴PE⊥AF,
∴無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處,都有PE⊥AF.
（2）假設(shè)存在點(diǎn)E,使PD∥平面AEF,
設(shè)BE=a(0≤a≤1),則E(a,1,0),AE=(a,1,0).
∵PD∥平面AEF,PD=(1,0,-1),
∴設(shè)PD=λ1AE+λ2AF,即(1,0,-1)=λ1(a,1,0)+λ2(0,,),
即,解得,
∴BC上存在一點(diǎn)E,且E在C點(diǎn)時(shí),PD∥平面AEF.
20．【解析】（1）因?yàn)锽C∥AD,AD?平面ADE,BC?平面ADE,所以BC∥平面ADE,
同理CF∥平面ADE,
又BC∩CF=C,所以平面BCF∥平面ADE,
因?yàn)锽F?平面BCF,所以BF∥平面ADE.
（2）因?yàn)镃D⊥AD, CD⊥DE,
所以∠ADE就是矩形ABCD所在平面與直角梯形CDEF所在平面所成二面角的平面角,即∠ADE=60°,
又AD∩DE=D,所以CD⊥平面ADE,平面CDEF⊥平面ADE,
作AO⊥DE于O,則AO⊥平面CDEF,
連接CE,在中,由余弦定理得CE=32,
易得∠ECF=45°,CD=DE=3,AO=3,OD=1,OE=2.
以O(shè)為原點(diǎn),平行于DC的直線為x軸,DE所在直線為y軸,OA所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則A(0,0,3),B(3,0,3),C(3,-1,0),E(0,2,0),F(3,5,0).
設(shè)G(3,t,0),-1≤t≤5,
則BE=(-3,2,-3),BG=(0,t,-3).
設(shè)平面BEG的法向量為,
則由,得,取,得平面BEG的一個(gè)法向量為3t),
又平面DEG的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
所以|cs|==,
為使銳二面角的余弦值為,只需=,
解得t=或t=(舍去),此時(shí)=,即所求的點(diǎn)G為線段CF的靠近C端的四等分點(diǎn).
21．【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，易知為的中點(diǎn)，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵都垂直于底面，
∴.
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）由已知，平面，四邊形是正方形.
∴兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，從而，
∴，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.
令，則，從而.
設(shè)與平面所成的角為，
∵，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象及推理轉(zhuǎn)化能力.
（2）直線和平面所成的角的求法：
方法一（幾何法）：找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影，作出直線和平面所成的角和解三角形.
方法二（向量法）：，其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.
直通高考
1．【答案】C
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,
因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選C.
【名師點(diǎn)睛】先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出直線的方向向量或平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.
2．【解析】（1）連結(jié)B1C，ME．
因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，
所以ME∥B1C，且ME=B1C．
又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D．
由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．
又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則
，A1(2，0，4)，，，，，，．
設(shè)為平面A1MA的法向量，則，
所以可?。?br>設(shè)為平面A1MN的法向量，則
所以可?。?br>于是，
所以二面角的正弦值為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過(guò)求解法向量夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.
3．【解析】（1）由已知得，平面，平面，
故．
又，所以平面．
（2）由（1）知．由題設(shè)知≌，所以，
故，．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D–xyz，
則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．
設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則
即
所以可取n=.
設(shè)平面的法向量為m=（x，y，z），則
即
所以可取m=（1，1，0）．
于是．
所以，二面角的正弦值為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直以及線面垂直的判定，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
4．【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．
由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．
由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，
則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．
設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則
即
所以可取n=（3，6，–）．
又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．
因此二面角B–CG–A的大小為30°．
【名師點(diǎn)睛】本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問(wèn)題，考查考生在折疊過(guò)程中哪些量是不變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，最后通過(guò)建系的向量解法將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題，突出考查考生的空間想象能力.
5．【解析】（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得.
則為平面ABFD的法向量.
設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則.
所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.
6．【解析】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且．
連結(jié)．因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危?br>且，．
由知．
由知平面．
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
由已知得取平面的法向量．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量為．
由得，可取，
所以．
由已知可得．
所以．解得（舍去），．
所以．
又，所以．
所以與平面所成角的正弦值為．
7．【解析】（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.
當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).
由題設(shè)得，
設(shè)是平面MAB的法向量,則
即
可取.
是平面MCD的法向量,因此
，
，
所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.
8．【解析】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．
又因?yàn)锳D⊥CD，所以CD⊥平面PAD．
（2）過(guò)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）．
所以．
所以.
設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則
即
令z=1，則．
于是．
又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=（1，0，0），所以.
由題知，二面角F?AE?P為銳角，所以其余弦值為．
（3）直線AG在平面AEF內(nèi)．
因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，
所以.
由（2）知，平面AEF的法向量.
所以.
所以直線AG在平面AEF內(nèi).
【名師點(diǎn)睛】（1）由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F?AE?P的余弦值；
（3）首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量即可判斷直線是否在平面內(nèi).
9．【解析】依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，．設(shè)，則．
（1）依題意，是平面的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面．
（2）依題意，．
設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，
可得．因此有．
所以，直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設(shè)為平面的法向量，則即
不妨令，可得．
由題意，有，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
所以，線段的長(zhǎng)為．
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法．考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力．
10．【解析】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四邊形A1ACC1為矩形．
又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，
∴AC⊥EF．
∵AB=BC．
∴AC⊥BE，
∴AC⊥平面BEF．
（2）由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz．
由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1）．
∴，
設(shè)平面BCD的法向量為，
∴，∴，
令a=2，則b=-1，c=-4，
∴平面BCD的法向量，
又∵平面CDC1的法向量為，
∴．
由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．
（3）由（2）知平面BCD的法向量為，∵G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），
∴，∴，∴與不垂直，
∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交．
11．【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法．考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力．滿分13分．
依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．
（1）依題意=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．
（2）依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．
設(shè)n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，則即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．
設(shè)m=（x，y，z）為平面BCF的法向量，則即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．
因此有cs=，于是sin=．
所以，二面角E–BC–F的正弦值為．
（3）設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h（h∈［0，2］），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得．
易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，故
，
由題意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．
所以線段的長(zhǎng)為.
定義
以空間一點(diǎn)為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系
坐標(biāo)原點(diǎn)
點(diǎn)O
坐標(biāo)軸
x軸、y軸、z軸
坐標(biāo)平面
通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面
名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
單位向量
長(zhǎng)度(或模)為1的向量
零向量
長(zhǎng)度(或模)為0的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量

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