1．已知數(shù)列an滿足，若，則（ ）
A．2B．?2C．D．
【答案】C
【詳解】因為,,所以,,,
所以數(shù)列的周期為3,所以．
故選：C．
2．已知空間向量， 則下列結論正確的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量是 B．
C． D．
【答案】A
【詳解】A.在上的投影，
與同向的單位向量為，
所以向量在向量上的投影向量是，
故A正確；
B.，故B錯誤；
C.因為，所以與不垂直，故C錯誤；
D.，故D錯誤.
故選：A.
3．已知直線與，則“”是“”的（ ）條件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用兩直線垂直的充要條件得到，從而得到或，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求解.
【詳解】當直線與垂直時，，即，
解得或，
所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
4 .在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，因為，所以公差．
故選：C
已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（ ）
A．1或B．1C．3D．或3
【答案】C
【解析】因為是圓的方程，
所以，解得或，
又因為圓的圓心為，
且圓關于直線對稱，所以，
即，解得（舍）或，
故選：C.
6．已知橢圓的左、右焦點分別為，點為上一點，若，
的面積為（ ）
B．C．3D．5
【答案】C
【詳解】由橢圓的定義可知，且，
因為，所以，
又，故，
所以．
7．如圖，某雙曲線筆簡的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為（ ）
B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意可得，所以，
所以該筆筒中間最窄處的直徑為.
故選：B.
8．關于橢圓有如下結論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設橢圓的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線與的一個交點為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標，再求出切線與直線的斜率，列式求解即可.
【詳解】依題意，，由代入橢圓方程得，不妨設，
則切線，即，切線的斜率，
直線的斜率，則，所以.
故選：C
二、選擇題：(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．)
9. 已知向量，，則下列結論正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示計算得出的值判斷A，B；根據(jù)向量垂直的坐標表示計算得出的關系判斷C，D.
【詳解】若，則，得，故A正確，B錯誤；
若，則，即，故C正確，D錯誤；
故選：AC.
10．設拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上不同的兩點，且，則（ ）
A．B．以線段為直徑的圓必與準線相切
C．線段的長為定值D．線段的中點到軸的距離為定值
【答案】AD
【詳解】對于A中，由拋物線的準線為，可得，解得，
所以拋物線的焦點為 且，所以A正確；
對于B中，如圖，當線段過焦點時，過作，
取的中點作，可得，
此時以線段為直徑的圓與準線相切，
因為直線不一定過拋物線的焦點，則不一定成立，故B錯誤.
對于C中，設，
由拋物線得的定義得，所以，
當直線過原點時，設，則，此時，可得，
當直線為時，可得，不妨設，可得，
所以AB的長不是定值，所以C錯誤；
對于D中，由，則線段的中點到軸的距離為，所以D正確.
故選：AD.
11．如圖，已知在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，H分別是，，的中點，點G是上的動點，下列結論正確的是（ ）

A．平面ABHB．平面
C．直線EF與所成的角為30°D．三棱錐的體積最大值為
【答案】BCD
【詳解】

因為為正方體，所以，則，，，四點共面，
即在平面ABH上，故A錯；
連接BD，AC，，，，
在正方體中，，面ABCD，平面，
∴，
∵，AC，?面，∴BD⊥面，
又?面，∴，
又∵，面，平面，
∴．
∵，，?面，∴⊥面，
∵平面，
∴，
又，，，BD?面，
∴面，故B正確；
取AD中點I，連接FI，EF，EI，，
在中，∵F，I分別為，DA的中點，
∴，
又，∴，∴EF與所成角為∠IFE，
在中，，，，
∴，
∴EF與所成的角為30°，故C正確；
當G位于點時，三棱錐的體積最大，
故，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知等差數(shù)列的前n項和為，已知，則公差 ．
【答案】3
【詳解】解：依題意，得，而，得，
故答案為：3
13.雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的兩支于，兩點，為等邊三角形，則雙曲線的離心率為 ．
13.【詳解】由題意可作圖如下：

則①，②，
在等邊中，，可得，
則，由，則，
在中，，由余弦定理可得
，即，
由，則，解得.
14. 已知圓和兩點、，若圓上至少存在一點，使得，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，圓與圓的位置關系為相交、內切或內含，利用圓心距和兩圓半徑之間的關系即可求得.
【詳解】圓的圓心，半徑為，
因為圓上至少存在一點，使得，則，
所以圓與圓的位置關系為相交、內切或內含，
所以可得，又因為，
所以，即.
即實數(shù)的取值范圍是.
15.
16．（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）取的中點，連接，，結合等邊三角形和菱形可證明，，從而可證明平面，進而可證.
（2）由的面積為可求出的邊長為4，由平面平面可知，平面，則分別求出的面積以及 的長，利用可求出點到平面的距離.
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，.
因為是等邊三角形，是的中點，所以.
因為四邊形是菱形，，所以是等邊三角形，所以.
因為，且平面，平面，所以平面.
又因平面，所以.
（2）解：設，則，解得.
因為平面平面，，所以平面.
記點到平面的距離為，則.
易知，.在中，由，得
.邊上的高為.
所以.而，
所以.解得.即點到平面的距離為.
【點睛】本題考查了線線垂直的證明，考查了棱錐體積的求解.證明線線垂直，可利用矩形的臨邊垂直、等腰三角形三線合一、勾股定理證明，也可先證明線面垂直，進而可證線線垂直.在求點到平面的距離時，常用的思路有兩個：一是建立空間直角坐標系，結合空間向量進行求解；二是結合幾何體的體積進行求.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式計算得出，再得出拋物線方程進而得出焦點即可；
（2）先設直線方程，再聯(lián)立方程組，再分和兩種情況應用直線與只有一個交點求參即可得出直線方程.
【詳解】（1）因為拋物線，，
所以，所以，可得
所以焦點的坐標.
（2）因為點在拋物線上，所以，
又位于第一象限，所以，所以，
過點的直線與只有一個交點，直線斜率不存在不合題意；
設直線與有且只有一個交點，
由，得，
當時，，即，即，
當時，，只有一個根符合題意；
所以的方程為或，即或.
18．(1)，，
(2)是等差數(shù)列，理由見解析
(3)，．
【分析】（1）由結合遞推式求出，再利用可求出，，；
（2）由可得，再由結合等差數(shù)列的定義可得結論；
（3）由（2）結合可求得，從而可求出.
【詳解】（1）由，，
知當時，，
即，解得或（舍）．
當時，，
即，解得或（舍），
，，．
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由如下：
由可知．
，，又，故（且）．
當時，．
又，是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（3）由（2）可知，，
．
19．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題可得，據(jù)此可求得橢圓方程；
（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，后由韋達定理結合，可得m與k的關系即可得直線恒過的定點.
【詳解】（1）由題知，，，，
由的面積為，得，
又，代入可得，，∴橢圓的方程為.
（2）聯(lián)立得，
設，，可得，，
由題知，
即，
即，解得，
∴直線的方程為，故直線恒過定點.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
A
C
C
C
B
C
AC
AD
BCD

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