一、單選題
1．集合，則集合等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求出集合A，再求并集可得答案.
【詳解】因為集合，
又，
所以.
故選：A.
2．如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（ ）

A．24B．26C．28D．30
【答案】D
【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.
【詳解】如圖所示，在長方體中，，，
點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，
則三視圖所對應的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，
其表面積為：.
故選：D.
3．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【答案】B
【分析】先把目標函數(shù)變形為，再把平移函數(shù)變形為，即可確定平移方向和平移單位.
【詳解】因為函數(shù)可變形為，
函數(shù)可變形為，
故把函數(shù)的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，
故選：
4．設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列命題：
①若，，則.②若，，則.
③若，，則.④若，，則.
其中正確命題的序號是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】利用線面平行、線面垂直的性質可判斷①；根據(jù)已知條件判斷線面位置關系，可判斷②；利用線面垂直和面面平行的性質可判斷③④.
【詳解】對于①，若，過作平面，使得，
因為，，，則，因為，，則，故，①對；
對于②，若，，則或或、相交（不一定垂直），②錯；
對于③，若，，則，③對；
對于④，若，，則，④對.
故選：A.
5．若實數(shù)a使得“，”為真命題，實數(shù)a使得“，”為真命題，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，進而根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.
【詳解】對于，，
所以，即.
對于，，
因為函數(shù)在上單調遞增，
所以當時，，
則，即.
所以p是q的必要不充分條件.
故選：B.
6．若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出可行域變形目標函數(shù)，平移直線可知當直線經過點時，z取最大值，代值計算可得.
【詳解】由約束條件作出可行域，如圖中陰影，其中，

變形目標函數(shù)為，平移直線可知，當直線過點時，在軸上的截距最小，即有最大值.
則的最大值在處取得，．
故選：C
7．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結論中正確的是（ ）
A．的實部為1
B．的共軛復數(shù)為1
C．在復平面內對應的點在第一象限
D．的模長為1
【答案】D
【分析】根據(jù)歐拉公式及復數(shù)的概念，利用共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義，結合復數(shù)的模公式逐項判斷即得.
【詳解】由歐拉公式知，則的實部為，共軛復數(shù)為，AB錯誤；
由歐拉公式知，在復平面內對應的點為，
而，因此在復平面內對應的點在第二象限，C錯誤；
顯然的模長為，D正確.
故選：D
8．已知，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數(shù)公式轉化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．
（3）“給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
9．已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
10．已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的前32項之和為（ ）
A．128B．64C．32D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，可得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成等差數(shù)列，分組求和即可.
【詳解】數(shù)列中，，，且,
則當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，
因此數(shù)列的奇數(shù)項構成首項為2，公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項構成首項為0，公差為的等差數(shù)列，
則.
故選：C
11．設，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調性并比較，再利用對數(shù)函數(shù)單調性比較大小即得.
【詳解】當時，令，求導得，
則函數(shù)在上單調遞增，有，即有，
因此，顯然，
所以.
故選：D
12．已知函數(shù)在上有兩個極值點，且在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)在上有兩個極值點，轉化為在上有不等于的解，令，利用奧數(shù)求得函數(shù)的單調性，得到且，又由在上單調遞增，得到在上恒成立，進而得到在上恒成立，借助函數(shù)在為單調遞增函數(shù)，求得，即可得到答案.
【詳解】由題意，函數(shù)，
可得，
又由函數(shù)在上有兩個極值點，
則，即在上有兩解，
即在上有不等于2的解，
令，則，
所以函數(shù)在為單調遞增函數(shù)，
所以且，
又由在上單調遞增，則在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
又由函數(shù)在為單調遞增函數(shù)，所以，
綜上所述，可得實數(shù)的取值范圍是，即，故選C.
【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用.
二、填空題
13．已知函數(shù)，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
14．設是公比不為1的等比數(shù)列，若為的等差中項，則的公比為 ．
【答案】
【分析】設出公比，得到方程，求出公比.
【詳解】由題意得，設公比為，則，
因為等比數(shù)列中，，故，
解得或1（舍去）.
故答案為：-2
15．在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
【答案】12
【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.
【詳解】不妨設正方體棱長為2，中點為，取，中點，側面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，
同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，
所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點總數(shù)為12.
故答案為：12
16．在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
三、解答題
17．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，求a．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，進而可求B的值；
（2）由已知利用三角形內角和定理可求A的值，進而利用正弦定理即可求解a的值．
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
所以，即，
因為B為三角形內角，，
所以，由，所以；
（2）因為，，所以，
由正弦定理，可得，
所以.
18．已知數(shù)列、，滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知對任意的，，推導出數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；
（2）求出的表達式，然后利用裂項相消法可求得的表達式.
【詳解】（1）解：因為，，則，，，
以此類推可知，對任意的，，所以，
即，，
又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以的通項公式為.
（2）解：，則，
所以，，
故.
19．如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關系即可解出．
【詳解】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，
因為，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設，，．
，，又，平面平面．
以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，
設平面與平面的一個法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因為，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
20．已知，且函數(shù)．
(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程與單調遞增區(qū)間；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)對稱軸方程為；單調遞增區(qū)間為
(2)
【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式、輔助角公式化簡，然后利用公式求解出對稱軸方程和單調遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)條件得到的值，然后可求的值，根據(jù)角的配湊可得，結合二倍角公式可求結果.
【詳解】（1），
令，得，
所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為；
令，解得，
故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．
（2）因為，即，所以，
又，所以，
所以，
所以．
21．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若，求函數(shù)的最小值；
(3)若有兩個零點，，證明：.
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求導后解不等式、即可求得極值.
（2）運用導數(shù)研究的單調性，進而可求得其最小值.
（3）由已知可得，構造函數(shù)，根據(jù)其單調性可得，構造函數(shù)并研究其單調性，構造函數(shù)并研究其單調性，當時，依次結合函數(shù)、的單調性即可證得結果.
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，，
，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極大值，極大值為，無極小值.
（2）由題意知函數(shù)的定義域為.
，
則，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
所以.
（3）不妨設，則由（2）知，.
設，由，得，
即，
因為函數(shù)在R上單調遞增，所以成立.
構造函數(shù)，則，
，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
構造函數(shù)，則，
所以函數(shù)在上單調遞增，
所以當時，，即當時，，
所以，
又在上單調遞減，
所以，即.
【點睛】極值點偏移問題的方法指導：
(1)(對稱化構造法)構造輔助函數(shù)：對結論型，構造函數(shù)；對結論型，構造函數(shù)，通過研究的單調性獲得不等式．
(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調性證明．
22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線和的極坐標方程分別為和和與曲線分別相交于兩點（兩點異于坐標原點）.
(1)求的極坐標方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓的參數(shù)方程可得曲線的普通方程，再結合極坐標與直角坐標之間的轉化運算求解；
（2）根據(jù)題意結合極坐標的幾何意義運算求解.
【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
轉換為直角坐標方程為，
整理得，
根據(jù)，轉換為極坐標方程為，
即.
（2）根據(jù)題意可設兩點的極坐標分別為，
則，
所以.

23．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱．
(1)求m的值，及的最小值；
(2)設，均為正數(shù)，且，求的最小值.
【答案】(1)，4
(2)
【分析】（1）先整理，再利用題意中的對稱求出，然后用三角不等式求出最小值即可；
（2）由（1）可得，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解.
【詳解】（1）因為，
令，解得；令，解得，
因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，
所以，解得，
則，可得，
所以符合題意，
可得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為4.
（2）由（1）可得，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.

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