一、單選題
1．已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（ ）
A．第11項(xiàng)B．第12項(xiàng)C．第13項(xiàng)D．第14項(xiàng)
【答案】B
【分析】根據(jù)被開方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】數(shù)列，即數(shù)列，
由數(shù)列的前幾項(xiàng)觀察歸納，知被開方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
所以通項(xiàng)公式，
令，解得.
故選：B.
2．直線過圓的圓心，并且與直線垂直，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求圓心坐標(biāo)，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.
【詳解】由可知圓心為，
又因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以直線的斜率為，
由點(diǎn)斜式得直線，
化簡得直線的方程是．
故選：D．
3．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且雙曲線的離心率等于，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合離心率求出方程作答.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
而雙曲線的離心率為，令其實(shí)半軸長為，則，即有，虛半軸長，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B
4．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至?大寒?雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】D
【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).
【詳解】設(shè)冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長為，
，解得：，，
所以冬至的日影長為尺.
故選：D
5．若數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．B．－2C．3D．
【答案】A
【分析】代入計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出周期后可得結(jié)論．
【詳解】，則，，，，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，且周期是4，因此，
故選：A．
6．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差中項(xiàng)求解即可.
【詳解】因?yàn)?，為等差?shù)列，
所以，，所以，
故選：D
7．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.
【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得，，，，則，，
所以.
又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段的中點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】由題意可得為直角三角形，再結(jié)合A為線段的中點(diǎn)，可得AO垂直平分，可表示出直線，再聯(lián)立漸近線方程可以得到，，的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線離心率
【詳解】由題意可知，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)分別在第二和第三象限時(shí)不符合，
A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)在軸上方或軸下方時(shí)，根據(jù)對稱性結(jié)果是一樣的，選擇一種即可，如圖.
根據(jù)雙曲線可得，，，兩條漸近線方程，
，為的中點(diǎn)，
，又A為線段BF1的中點(diǎn)，垂直平分，
可設(shè)直線為①，直線為②，直線為③，
由②③得，交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)還在直線上，，可得，
，所以雙曲線C的離心率，
故選：B
二、多選題
9．已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】BCD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)垂直得到數(shù)量積為0，列出方程，求出，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，根據(jù)向量平行列出方程組，求出；
C選項(xiàng)，根據(jù)向量運(yùn)算法則計(jì)算出，利用模長公式列出方程，求出；
D選項(xiàng)，先利用向量夾角余弦公式計(jì)算出兩向量夾角的余弦，進(jìn)而計(jì)算出正弦值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，故A錯(cuò)誤；
令，則，，故B正確；
，所以，解得：，故C正確；
當(dāng)，，
因?yàn)?，，故D正確．
故選：BCD
10．橢圓C的方程為，焦點(diǎn)為，，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的焦距為3B．橢圓C的長軸長為10
C．橢圓C的離心率為D．橢圓C上存在點(diǎn)P，使得為直角
【答案】BC
【分析】由橢圓方程，計(jì)算，由焦距、長軸、離心率的定義可判斷ABC，當(dāng)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)時(shí)，最大，分析可判斷D
【詳解】由題意，
橢圓的焦距為，A錯(cuò)誤；
橢圓的長軸長為，B正確；
橢圓的離心率，C正確；
當(dāng)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)又為銳角，可得，故，因此橢圓C上不存在點(diǎn)P，使得為直角，D錯(cuò)誤
故選：BC
11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．是遞減數(shù)列B．
C．D．當(dāng)最小時(shí)，
【答案】BCD
【分析】由數(shù)列前項(xiàng)和為，可求數(shù)列通項(xiàng)，然后逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).
【詳解】，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
注意到時(shí)也滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，
，是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，B選項(xiàng)正確；
，C選項(xiàng)正確；
，，當(dāng)最小時(shí)，，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
12．已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法中正確的是（ ）
A．B．準(zhǔn)線方程為
C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切D．直線的斜率之積為定值
【答案】CD
【分析】由直線l過定點(diǎn)，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B錯(cuò)誤；過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，求得，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn)，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線l上，可得，則，所以A錯(cuò)誤；
對于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B錯(cuò)誤；
對于C中，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為D點(diǎn)，
過D點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；
對于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，
整理得，可得，則，
所以D正確.
故選：CD.
三、填空題
13．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，，，則實(shí)數(shù) .
【答案】0
【分析】由這3項(xiàng)成等差數(shù)列可求得．
【詳解】由題意，解得，
故答案為：0.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，等差數(shù)列中連續(xù)的3項(xiàng)仍然成等差數(shù)列．
14．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為 .
【答案】
【分析】求出圓的圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，就是所求圓的圓心，而半徑不變，從而可求出圓的方程
【詳解】圓的圓心為，半徑為2，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，則
，解得，即，
所以圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為
，
故答案為：
15．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，且，，則 .
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，建立方程組，可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，
解得，則.
故答案為：.
16．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是 ．
【答案】13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
故答案為：13.

四、解答題
17．平面直角坐標(biāo)系中，已知△三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求△的面積.
【答案】(1)；
(2)5.
【分析】（1）根據(jù)已知兩點(diǎn)，求得直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求得直線的方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得三角形的高，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式以及三角形面積公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）直線的斜率，故直線的方程為，
即.
（2）點(diǎn)A到直線的距離，
又，
則△的面積.
18．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列回到基本量，解出首項(xiàng)和公差即可求解；
（2）先求前項(xiàng)和，再建立方程求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?br>所以.
解得.
所以.
（2）.
因?yàn)?，所以，解得?
因?yàn)椋?
19．已知圓圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線l過點(diǎn)．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l被圓所截得的弦長為，求直線l的方程．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）直接由圓心到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；
（2）先由弦長公式求出，斜率不存在時(shí)符合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由解出直線斜率，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)圓心到直線到的距離為，則，解得；當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，易得，此時(shí)圓心到的距離，符合題意；
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則，解得，即，
故直線l的方程為或.
20．已知數(shù)列滿足：，.
(1)計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)；
(2)求證：是等差數(shù)列；
(3)求的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)，，，；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，依次計(jì)算.
（2）將給定的等式兩邊取倒數(shù)，再結(jié)合等差數(shù)列定義推理即得.
（3）利用（2）的結(jié)論，求出的通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）數(shù)列中，，，則，，，
所以數(shù)列的前4項(xiàng)為，，，．
（2）由（1）知，，將等號兩端取倒數(shù)得，，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
（3）由（2）知，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
21．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，E是的中點(diǎn)，且，.
(1)證明：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）設(shè)，連接，證明 ，，原題即得證；
（2）證明平面，再以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【詳解】（1）證明：設(shè)，連接.
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以O(shè)是的中點(diǎn).
因?yàn)?，所?
因?yàn)樗倪呅问橇庑危?
因?yàn)槠矫?，平面，且?br>所以平面.
（2）因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)?，又平?
所以平面.
因?yàn)镺，E分別是，的中點(diǎn)，所以，所以平面.
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，
令，得.
設(shè)平面的法向量，則，
令，得.設(shè)二面角為，
則.
所以.
22．橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；
（2）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.
【詳解】（1）解：，
離心率為.
（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，
易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

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