?2023年陜西省咸陽市武功縣普集高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（5月份）（三）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}，則A∩B＝（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＞4}
C．{x|﹣2＜x＜0或1＜x＜4} D．{x|1＜x＜4}
2．（5分）已知（1+i）2z＝3+2i，則|z|＝（　　）
A． B．3 C． D．
3．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝4，則＝（　?。?br />
A．32 B．18 C．16 D．8
4．（5分）如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．72 B．64 C．56 D．32
5．（5分）如圖是國家統(tǒng)計(jì)局2021年11月發(fā)布的全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況，現(xiàn)有如下說法：
①2021年10月份，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比和環(huán)比均呈現(xiàn)增漲趨勢；
②2020年10月至2021年10月，全國居民消費(fèi)價(jià)格同比增漲的月份個(gè)數(shù)是下跌的5倍；
③從2020年10月至2021年10月中任取1個(gè)月，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的概率為；
則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）若數(shù)列{an}滿足a1＝﹣3，an+1＝，則a2022的值為（　?。?br /> A．2 B．﹣3 C． D．
7．（5分）如果一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而且每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究了正多面體的作圖，并證明了每個(gè)正多面體都有外接球．若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長之比為（　?。?br /> A． B． C． D．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）滿足：f（2﹣x）+f（x）＝2，對任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2），[f（x2）﹣f（x1）]?（x2﹣x1）＞0恒成立．若f（x4+ax2）+f（6﹣2x2）≥2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣2]∪{0} B．[﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
9．（5分）函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則（　　）

A．
B．f（x）圖象的一條對稱軸方程是x＝﹣
C．f（x）圖象的對稱中心是（k，0），k∈Z
D．函數(shù)是奇函數(shù)
10．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，M（，y0）為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．△MF1F2的周長為6
B．△MF1F2的面積為
C．△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為
D．△MF1F2的外接圓的直徑為
11．（5分）在△ABC中，BC＝，AB＝1，tan∠ABC＝﹣2，將△ABC繞AB旋轉(zhuǎn)至△ABP處，使平面ABP⊥平面ABC，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡長度為（　?。?br />
A．π B． C．2π D．
12．（5分）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€(gè)圓的周長和面積同時(shí)平分，那么稱這個(gè)函數(shù)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．則下列說法中錯(cuò)誤的有（　?。?br />
A．函數(shù)可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
B．函數(shù) f（x）＝x3+x2+x+1可以是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
C．函數(shù)可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
D．若函數(shù)y＝f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)y＝f（x）的圖象一定是中心對稱圖形
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）二項(xiàng)式（x+a）（2x﹣）3的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，則（x+a）（2x﹣）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 　 ?。?br /> 14．（5分）若數(shù)列{an}第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為二階等差數(shù)列，已知數(shù)列{an}是一個(gè)二階等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝7，a3＝13，則an＝　 ?。?br /> 15．（5分）數(shù)學(xué)中有很多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2﹣2|x|﹣2|y|＝0就是其中之一，則曲線C所圍成的封閉圖形的面積是 　 ?。?br /> 16．（5分）對于函數(shù)f（x）＝，若關(guān)于x的方程f（x）＝m（m＜0）恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1+x2+x3＝　 　．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．
17．（12分）在△ABC中，是A，B，C所對應(yīng)的分邊別為a，b，c，且滿足asinB＝bsin2A．
（1）求∠A；
（2）若a＝2，△ABC的面積為，求三角形的周長．
18．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為邊AB的中點(diǎn)．以CM為折痕把△BCM折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，且∠PMB＝，連接PA，PB，PD．
（1）證明：平面PMC⊥平面AMCD；
（2）若E是線段DP上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)P，D重合），二面角E﹣CM﹣P的大小為，試確定點(diǎn)E的位置．

19．（12分）2019年3月5日，國務(wù)院總理李克強(qiáng)作出的政府工作報(bào)告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”．教育部2014年印發(fā)的《學(xué)術(shù)論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)術(shù)論文送3位同行專家進(jìn)行評議，3位專家中有2位以上（含3位）專家評議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”．有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將再送另外2位同行專家（不同于前3位專家）進(jìn)行復(fù)評，2位復(fù)評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”．設(shè)每篇學(xué)術(shù)論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p（0＜p＜1），且各篇學(xué)術(shù)論文是否被評議為“不合格”相互獨(dú)立．
（1）若，求抽檢一篇學(xué)術(shù)論文，被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率；
（2）現(xiàn)擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評的總評審費(fèi)用1500元；若某次評審抽檢論文總數(shù)為3000篇，求該次評審費(fèi)用期望的最大值及對應(yīng)p的值．
20．（12分）已知拋物線y2＝2px（x＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離與雙曲線的離心率相等．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（t，﹣2）在拋物線上，過P作拋物線的兩弦PM與PN，若兩弦所在直線的斜率之積為﹣4，求證：直線MN過定點(diǎn)．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣x﹣ax2，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a＝時(shí)，證明：f（x）≤0；
（Ⅱ）若函數(shù)H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t∈R，t為參數(shù)，α∈（0，））．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求半圓C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l的傾斜角的2倍，△ABD的面積為1+，求α的值．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣|+|x+b+c|（a，b，c均為正實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，求f（x）得最小值；
（2）當(dāng)f（x）的最小值為3時(shí)，求a2+b2+c2的最小值．

2023年陜西省咸陽市武功縣普集高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（5月份）（三）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}，則A∩B＝（　?。?br /> A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＞4}
C．{x|﹣2＜x＜0或1＜x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【分析】先化簡，再運(yùn)算，即可得解．
【解答】解：根據(jù)題意化簡兩集合分別為：
A＝{x|x＜0或x＞1}，B＝{x|x＜﹣2或x＞4}，
∴A∩B＝{x|x＜﹣2或x＞4}．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查分式不等式與一元二次不等式的求解，集合的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知（1+i）2z＝3+2i，則|z|＝（　?。?br /> A． B．3 C． D．
【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．
【解答】解：∵（1+i）2z＝3+2i，
∴2iz＝3+2i，即z＝＝，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝4，則＝（　?。?br />
A．32 B．18 C．16 D．8
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可．
【解答】解：設(shè)AC∩BD＝O，
則＝＝，
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
4．（5分）如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．72 B．64 C．56 D．32
【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為正四棱柱挖去一個(gè)正四棱錐，再由棱柱體積減去棱錐體積得答案．
【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為正四棱柱挖去一個(gè)正四棱錐，
正四棱柱的底面邊長為4，高為5，正四棱錐的底面邊長為，高為3．
∴該幾何體的體積為V＝．
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．
5．（5分）如圖是國家統(tǒng)計(jì)局2021年11月發(fā)布的全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況，現(xiàn)有如下說法：
①2021年10月份，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比和環(huán)比均呈現(xiàn)增漲趨勢；
②2020年10月至2021年10月，全國居民消費(fèi)價(jià)格同比增漲的月份個(gè)數(shù)是下跌的5倍；
③從2020年10月至2021年10月中任取1個(gè)月，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的概率為；
則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根據(jù)題意，依次分析3個(gè)說法是否正確，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析3個(gè)說法：
對于①，2021年10月份，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比和環(huán)比都是正數(shù)，即同比和環(huán)比均呈現(xiàn)增漲趨勢，正確；
對于②，由圖表可得：同比增漲的月份有10個(gè)，下降的月份有3個(gè)，錯(cuò)誤；
對于③，在2020年10月至2021年10月的13個(gè)月中，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的有10個(gè)月，
則從2020年10月至2021年10月中任取1個(gè)月，全國居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的概率為，③正確；
其中正確的有2個(gè)；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡單的合情推理，注意同比、環(huán)比的定義，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）若數(shù)列{an}滿足a1＝﹣3，an+1＝，則a2022的值為（　　）
A．2 B．﹣3 C． D．
【分析】由已知可先求出數(shù)列的項(xiàng)，進(jìn)而確定數(shù)列的周期，從而可求．
【解答】解：由題意得a2＝﹣，a3＝，a4＝2，a5＝﹣3，
所以數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，
故a2022＝a2＝﹣．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，周期的確定是求解問題的關(guān)鍵．
7．（5分）如果一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而且每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究了正多面體的作圖，并證明了每個(gè)正多面體都有外接球．若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長之比為（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用正四面體的棱長與外接球的半徑的關(guān)系的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：①設(shè)正四面體的棱長為a，
所以利用勾股定理的應(yīng)用：，解得a＝．
②正方體的棱長為b，則：（2r）2＝b2+b2+b2，解得：b＝．
③設(shè)正八面體的棱長為c，
所以：，解得c＝r，
所以：a：b：c＝＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正多面體和外接球的關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）滿足：f（2﹣x）+f（x）＝2，對任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2），[f（x2）﹣f（x1）]?（x2﹣x1）＞0恒成立．若f（x4+ax2）+f（6﹣2x2）≥2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2]∪{0} B．[﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
【分析】由題意可得f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）＝2﹣f（2﹣x），從而將問題轉(zhuǎn)化為以x4+（a﹣2）x2+4≥0在[1，+∞）上恒成立，令t＝x2，從而得t2+（a﹣2）t+4≥0在[1，+∞）上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：因?yàn)閷θ我鈞1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2），[f（x2）﹣f（x1）]?（x2﹣x1）＞0，
所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閒（2﹣x）+f（x）＝2，
所以f（x）＝2﹣f（2﹣x），
所以f（x4+ax2）+f（6﹣2x2）≥2?f（x4+ax2）≥2﹣f（6﹣2x2）＝2﹣f[2﹣（2x2﹣4）]＝f（2x2﹣4），
所以x4+ax2≥2x2﹣4在[1，+∞）上恒成立，
即以x4+（a﹣2）x2+4≥0在[1，+∞）上恒成立，
令t＝x2，則t≥1，
問題轉(zhuǎn)化為t2+（a﹣2）t+4≥0在[1，+∞）上恒成立，
又因?yàn)棣ぃ剑╝﹣2）2﹣16，
當(dāng)Δ≤0，即﹣2≤a≤6時(shí)，滿足題意；
當(dāng)Δ＞0時(shí)，則有，
解得：a＞6，
綜上所述，a的取值范圍為[﹣2，+∞）．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、利用函數(shù)的單調(diào)性解決恒成立問題，屬于中檔題．
9．（5分）函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則（　?。?br />
A．
B．f（x）圖象的一條對稱軸方程是x＝﹣
C．f（x）圖象的對稱中心是（k，0），k∈Z
D．函數(shù)是奇函數(shù)
【分析】由函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）的圖象求出T、ω和φ，寫出f（x）的解析式，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）的圖象知，T＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，
所以ω＝＝2，f（x）＝3sin（2x+φ），
又因?yàn)閒（﹣）＝3sin（φ﹣）＝3，所以φ﹣＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z；
因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝，f（x）＝3sin（2x+）；
對于A，f（x）＝3sin（2x+），所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于B，f（﹣）＝3sin（﹣+）＝3sin（﹣）＝﹣3，選項(xiàng)B正確；
對于C，令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ﹣，k∈Z，所以f（x）的對稱中心是（kx﹣，0），k∈Z，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)g（x）＝f（x+）＝3sin（2x++）＝3sin（2x+）＝3cos2x，則g（x）的定義域?yàn)镽，g（x）為偶函數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
10．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，M（，y0）為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．△MF1F2的周長為6
B．△MF1F2的面積為
C．△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為
D．△MF1F2的外接圓的直徑為
【分析】由橢圓的方程，可得a，b，c的值，將M的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得M的縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而求出|MF1|，|MF2|的值，分別對所給的命題進(jìn)而求解，判斷出它們的真假．
【解答】解：由橢圓的方程可得a＝2，b＝，c＝＝＝1，
A中：△MF1F2的周長為2a+2c＝4+2＝6，所以A正確；
B中，將M的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得+＝1，可得|y0|＝，
所以S＝|F1F2|?|y0|＝×2×＝，所以B正確；
C中，設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，則（2a+2c）?r＝|F1F2|?|y0|，即6×r＝×2×，可得r＝，所以C正確；
D中，S＝|MF1|?|MF2|sin∠F1MF2＝|F1F2|?|y0|＝，
即??|sin∠F1MF2＝，
解得|sin∠F1MF2＝，
設(shè)三角形外接圓的半徑為R，則2R＝＝＝，所以D不正確．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及三角形外接圓，內(nèi)切圓半徑的求法，屬于中檔題．
11．（5分）在△ABC中，BC＝，AB＝1，tan∠ABC＝﹣2，將△ABC繞AB旋轉(zhuǎn)至△ABP處，使平面ABP⊥平面ABC，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡長度為（　　）

A．π B． C．2π D．
【分析】延長AB，過C作CD⊥AB，交AB的延長線于D，求得PD＝2，又在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是以D為圓心，半徑為PD的圓的，即可求解．
【解答】解：延長AB，過C作CD⊥AB，交AB的延長線于D，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識可知PD⊥AB，
由于平面ABP⊥平面ABC，且交線為AB，PD?平面ABP，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD⊥CD，
又BC＝，AB＝1，tan∠ABC＝﹣2所以tan∠CBD＝2，∠CBD為銳角，
∵，PD2+BD2＝BC＝5，∴PD＝2，
在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是以D為圓心，半徑為2的圓的，其長度為＝π．
故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查立體幾何知識的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
12．（5分）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)⒛硞€(gè)圓的周長和面積同時(shí)平分，那么稱這個(gè)函數(shù)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．則下列說法中錯(cuò)誤的有（　　）

A．函數(shù)可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
B．函數(shù) f（x）＝x3+x2+x+1可以是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
C．函數(shù)可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”
D．若函數(shù)y＝f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)y＝f（x）的圖象一定是中心對稱圖形
【分析】對于A，通過判斷函數(shù)的奇偶性結(jié)合“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷，對于B，通過二次求導(dǎo)求出三次函數(shù)的對稱中心，再結(jié)合“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷，對于C，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出其對稱中心，再結(jié)合“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷，對于D，舉例判斷．
【解答】解：對于A，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以f（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)可以是單位圓的“優(yōu)美函數(shù)”，所以A正確，
對于B，由f（x）＝x3+x2+x+1，得f'（x）＝3x2+2x+1，令g（x）＝f'（x）＝3x2+2x+1，則g'（x）＝6x+2，令g'（x）＝0，得，
則，
所以f（x）＝x3+x2+x+1的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以f（x）＝x3+x2+x+1可以是圓的“優(yōu)美函數(shù)”，這樣的圓有無數(shù)個(gè)，所以B正確，
對于C，，則由，得，所以的對稱中心為，所以以為圓心，R（0＜R≤2）為半徑的圓都能被函數(shù)的圖象平分，所以C正確，
對于D，若y＝f（x）的圖象是中心對稱圖形，則此函數(shù)一定是“優(yōu)美函數(shù)”，但“優(yōu)美函數(shù)”不一定是中心對稱圖形，如圖所示，

所以D錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題以新定義為載體，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）二項(xiàng)式（x+a）（2x﹣）3的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，則（x+a）（2x﹣）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 　﹣40?。?br /> 【分析】采用賦值法求出a的值，再寫出（2x﹣）3 展開式中的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式，求解即可．
【解答】解：令x＝1，得 的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1+a＝1，解得a＝0，
則，（2x﹣）3 展開式中的通項(xiàng)為（2x）5﹣r（﹣）r＝?25﹣r?（﹣1）r?x5﹣2r，
令5﹣2r＝﹣1，得r＝3， 展開式中x﹣1項(xiàng)的系數(shù)為﹣40，
∴ 展開式中常數(shù)項(xiàng)為﹣40．
故答案為：﹣40．
【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）若數(shù)列{an}第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為二階等差數(shù)列，已知數(shù)列{an}是一個(gè)二階等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝7，a3＝13，則an＝　n2+n+1　．
【分析】利用已知條件求出二階等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再求出二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用累加法即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解答】解：∵a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，且數(shù)列{an}是一個(gè)二階等差數(shù)列，
∴an+1﹣an＝4+（n﹣1）?2＝2n+2，∴，
由累加法得，
∴．
而a1＝3也符合上式，
所以an＝n2+n+1．
故答案為：n2+n+1．
【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
15．（5分）數(shù)學(xué)中有很多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2﹣2|x|﹣2|y|＝0就是其中之一，則曲線C所圍成的封閉圖形的面積是 　8+4π?。?br /> 【分析】方程x2+y2﹣2|x|﹣2|y|＝0，對x，y分類討論，畫出圖象即可得出面積．
【解答】解：方程x2+y2﹣2|x|﹣2|y|＝0，對x，y分類討論，
①x≥0，y≥0時(shí)，化為：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；
②x≥0，y≤0時(shí)，化為：（x﹣1）2+（y+1）2＝2；
③x≤0，y≥0時(shí)，化為：（x+1）2+（y﹣1）2＝2；
④x≤0，y≤0時(shí)，化為：（x+1）2+（y+1）2＝2；

所表示的曲線所圍成的圖形面積．
故答案為：8+4π．
【點(diǎn)評】本題主要考查了曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．（5分）對于函數(shù)f（x）＝，若關(guān)于x的方程f（x）＝m（m＜0）恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1+x2+x3＝　?。?br /> 【分析】作出函數(shù)y＝f（x）的圖象，由函數(shù)的圖象可得x1+x2＝3，x3＝，即可得答案．
【解答】解：由題意，作出函數(shù)f（x）＝的圖象，如圖所示，

若關(guān)于x的方程f（x）＝m（m＜0）恰有3個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，
不妨設(shè)x1＜x2＜x3，
則x1+x2＝3，x3＝，
所以x1+x2+x3＝3+＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．
17．（12分）在△ABC中，是A，B，C所對應(yīng)的分邊別為a，b，c，且滿足asinB＝bsin2A．
（1）求∠A；
（2）若a＝2，△ABC的面積為，求三角形的周長．
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)恒等變形公式對已知式子化簡變形可求出∠A；
（2）由三角形的面積可得bc＝8，再利用余弦定理可求出b+c，從而可求出三角形的周長．
【解答】解：（1）因?yàn)閍sinB＝bsin2A，由正弦定理可知：，
則，所以sin2A＝sinA，即2cosA＝1，
又因?yàn)?＜A＜π，所以；
（2）因?yàn)?，所以bc＝8，
又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA得，，
所以b2+c2＝12，又由，
所以△ABC的周長為：．
【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為邊AB的中點(diǎn)．以CM為折痕把△BCM折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，且∠PMB＝，連接PA，PB，PD．
（1）證明：平面PMC⊥平面AMCD；
（2）若E是線段DP上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)P，D重合），二面角E﹣CM﹣P的大小為，試確定點(diǎn)E的位置．

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可證明；
（2）建系，根據(jù)向量法，方程思想即可求解；
【解答】解：（1）證明：因?yàn)锳B＝2AD，M為邊AB的中點(diǎn)，所以BC＝BM，
取線段CM的中點(diǎn)O，連接BO，PO，
則Rt△BCM?Rt△PCM，
因?yàn)锽C＝BM，所以BO⊥CM，
因?yàn)镻C＝PM，所以PO⊥CM，
即，
即，
又因?yàn)椋?br /> 所以△PBM是等邊三角形，所以PB＝PM，
又，所以CM2＝2PM2＝2PB2，即，
所以BO2+PO2＝PB2，所以PO⊥BO，
又CM∩BO＝OCM?平面AMCDBO?平面AMCD，
所以PO⊥平面AMCD，又PO?平面PMC，
所以平面PMC⊥平面AMCD；
（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
設(shè)，則CM＝2，PO＝BO＝1，
連接DM，則DM⊥CM，且DM＝2，
所以P（0，0，1），C（1，0，0），D（﹣1，2，0），M（﹣1，0，0），
所以，
設(shè)，
則，
設(shè)平面ECM的法向量，
則，取，
又平面PCM的一個(gè)法向量，
所以，
即3λ2+2λ﹣1＝0，
解得λ＝﹣1（舍）或，
所以當(dāng)點(diǎn)E在線段DP上，滿足時(shí)，二面角E﹣CM﹣P的大小為．

【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解二面角問題，方程思想，屬中檔題．
19．（12分）2019年3月5日，國務(wù)院總理李克強(qiáng)作出的政府工作報(bào)告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”．教育部2014年印發(fā)的《學(xué)術(shù)論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)術(shù)論文送3位同行專家進(jìn)行評議，3位專家中有2位以上（含3位）專家評議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”．有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將再送另外2位同行專家（不同于前3位專家）進(jìn)行復(fù)評，2位復(fù)評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”．設(shè)每篇學(xué)術(shù)論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p（0＜p＜1），且各篇學(xué)術(shù)論文是否被評議為“不合格”相互獨(dú)立．
（1）若，求抽檢一篇學(xué)術(shù)論文，被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率；
（2）現(xiàn)擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評的總評審費(fèi)用1500元；若某次評審抽檢論文總數(shù)為3000篇，求該次評審費(fèi)用期望的最大值及對應(yīng)p的值．
【分析】（1）一篇學(xué)術(shù)論文初評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為，一篇學(xué)術(shù)論文復(fù)評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為，從而一篇學(xué)術(shù)論文被認(rèn)定為“存在 問題學(xué)術(shù)論文”的概率為＝﹣3p5+12p4﹣17p3+9p2．由此能求出抽檢一篇的學(xué)術(shù)論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率．
（2）設(shè)每篇學(xué)術(shù)論文的評審費(fèi)為X元，則X的可能取值為900，1500，分別求出相應(yīng)的概率，求出．令g（p）＝p（1﹣p）2，p∈（0，1），g'（p）＝（1﹣p）2﹣2p（1﹣p）＝（3p﹣1）（p﹣1）．由此能求出評審最高費(fèi)用的最在值和對應(yīng)的p．
【解答】解：（1）因?yàn)橐黄獙W(xué)術(shù)論文初評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為，
一篇學(xué)術(shù)論文復(fù)評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為，
所以一篇學(xué)術(shù)論文被認(rèn)定為“存在 問題學(xué)術(shù)論文”的概率為
＝3p2（1﹣p）+p3+3p（1﹣p）2[1﹣（1﹣p）2]＝﹣3p5+12p4﹣17p3+9p2．
∴時(shí)，
所以抽檢一篇的學(xué)術(shù)論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為．
（2）設(shè)每篇學(xué)術(shù)論文的評審費(fèi)為X元，則X的可能取值為900，1500.，，
所以．
令g（p）＝p（1﹣p）2，p∈（0，1），g'（p）＝（1﹣p）2﹣2p（1﹣p）＝（3p﹣1）（p﹣1）．
當(dāng)時(shí)，g'（p）＞0，g（p）在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，g'（p）＜0，g（p）在上單調(diào)遞減．
所以g（p）的最大值為．
所以評審最高費(fèi)用為（萬元）．對應(yīng)．
【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
20．（12分）已知拋物線y2＝2px（x＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離與雙曲線的離心率相等．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（t，﹣2）在拋物線上，過P作拋物線的兩弦PM與PN，若兩弦所在直線的斜率之積為﹣4，求證：直線MN過定點(diǎn)．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得雙曲線的離心率e＝＝2，則p＝2，即可得出答案．
（Ⅱ）設(shè)直線PM的斜率為k，直線PN的斜率為，則直線PM的方程為y+2＝k（x﹣t），聯(lián)立拋物線的方程，解得M點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得N點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線MN的方程，化簡，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閤2﹣＝1，
所以a2＝1，b2＝3，
所以c2＝a2+b2＝4，
所以c＝2，
所以雙曲線的離心率e＝＝2，
因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（x＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離與雙曲線的離心率相等，
所以p＝2，
所以拋物線的方程為y2＝4x．
（Ⅱ）設(shè)直線PM的斜率為k，直線PN的斜率為，
直線PM的方程為y+2＝k（x﹣t），
聯(lián)立，
得ky2﹣4y﹣8﹣4kt＝0，
所以yp+yM＝，
所以yM＝﹣yP＝﹣（﹣2）＝+2，
所以xM＝＝＝++1，
所以M（++1，+2）
用﹣代替k，得N（﹣k+1，﹣k+2），
所以直線MN的方程為
y﹣（+2）＝（x﹣﹣﹣1），
所以y﹣（+2）＝（x﹣﹣﹣1），
所以y＝x﹣﹣﹣++2，
所以y＝x﹣，
所以y＝x﹣+﹣，
所以y＝（x﹣2）+，
所以y＝（x﹣2）+2，
所以直線MN恒過定點(diǎn)（2，2）．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣x﹣ax2，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a＝時(shí)，證明：f（x）≤0；
（Ⅱ）若函數(shù)H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）當(dāng)a＝時(shí)，f（x）＝xlnx﹣x﹣，求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出f（x）max≤0，即可得出答案．
（Ⅱ）根據(jù)題意可得H′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令p（x）＝，x∈（0，+∞），只需a≤p（x）min，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）證明：當(dāng)a＝時(shí)，f（x）＝xlnx﹣x﹣?x2＝xlnx﹣x﹣，
f′（x）＝lnx+x?﹣1﹣＝lnx﹣，
令g（x）＝lnx﹣，（x＞0），
g′（x）＝﹣＝，
所以在（0，）上，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
所以g（x）max＝g（）＝ln﹣＝ln﹣1＝ln＞0，
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→﹣∞；x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，
所以在（0，）上存在x0，使得g（x0）＝0，
在（，+∞）上存在x1，使得g（x1）＝0，即lnx1＝，①
所以在（0，x0），（x1，+∞）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
在（x0，x1）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
由x→0時(shí)，f（x）→0；x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，
由①方程lnx＝在（，+∞）上的根為函數(shù)h（x）＝lnx﹣在（，+∞）上的根，
h′（x）＝﹣＝，x∈（，+∞），
所以在（，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
又h（e2）＝0，
所以x1＝e2，
所以f（x）極大值＝f（x1）＝x1lnx1﹣x1﹣x12＝e2lne2﹣e2﹣?（e2）2＝0，
所以f（x）≤0．
（Ⅱ）函數(shù)H（x）＝xlnx﹣x﹣ax2﹣（x﹣1）ex+ax2+x＝ax2+xlnx﹣（x﹣1）ex，
若函數(shù)H（x）＝f（x）﹣（x﹣1）ex+ax2+x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
則H′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
所以ax+lnx+1﹣xex≤0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤在（0，+∞）上恒成立，
令p（x）＝，x∈（0，+∞），
p′（x）＝＝＝，
令q（x）＝x2ex+lnx，x∈（0，+∞），
q′（x）＝2xex+x2ex+＞0，
所以q（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→﹣∞；x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
所以存在x0∈（0，+∞），使得q（x0）＝0，即x02e+lnx0＝0，①
所以在（0，x0）上，q（x）＜0，p′（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減，
在（x0，+∞）上，q（x）＞0，p′（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增，
所以p（x）min＝p（x0）＝＝e﹣，
由①得x02e＝﹣lnx0，
所以x0e＝﹣lnx0＝（﹣lnx0）?e，
令t（x）＝xex（x＞0），
t′（x）＝（x+1）ex＞0，
所以函數(shù)t（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x0＝﹣lnx0，即e＝，
所以p（x）min＝﹣＝1，
所以a≤1，
所以a的取值范圍為（﹣∞，1]．
【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t∈R，t為參數(shù)，α∈（0，））．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求半圓C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l的傾斜角的2倍，△ABD的面積為1+，求α的值．
【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；
（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：（1）直線l的參數(shù)方程為（t∈R，t為參數(shù)，α∈（0，）），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為y＝tanαx﹣2（0＜α＜），
半圓C的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2＝2y（y＞1），轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為（0＜α＜π）．
（2）由題意得：A（），B（0，﹣2）D（cos2α，1+sin2α），
所以點(diǎn)D到直線l的距離d＝，
|AB|＝，
所以，
解得tan，
由于α∈（0，），
所以．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，三角形的面積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣|+|x+b+c|（a，b，c均為正實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，求f（x）得最小值；
（2）當(dāng)f（x）的最小值為3時(shí)，求a2+b2+c2的最小值．
【分析】（1）代入a，b，c的值，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出f（x）的最小值即可；
（2）求出+b+c＝3，再根據(jù)柯西不等式求出代數(shù)式的最小值即可．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，f（x）＝|x﹣|+|x+2|≥|﹣x+x+2|＝，
當(dāng)且僅當(dāng)（x﹣）（x+2）＜0時(shí)“＝”成立，
（2）f（x）＝|x﹣|+|x+b+c|≥|﹣x+x+b+c|＝|+b+c|，
∵f（x）min＝3，∴|+b+c|＝3，即+b+c＝3，
由柯西不等式（a2+b2+c2）[+12+12]≥＝9，
∴a2+b2+c2≥＝4．
【點(diǎn)評】本題考查了絕對值不等式問題，考查柯西不等式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/8/1 14:21:12；用戶：15290311958；郵箱：15290311958；學(xué)號：48861359

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