考點一 （雙）A字型相似 考點二 （雙）8字型相似
考點三 母子型相似 考點四 旋轉(zhuǎn)相似
考點五 K字型相似 考點六 三角形內(nèi)接矩形
考點一 （雙）A字型相似
1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．
【詳解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知：D、E是△ABC的邊AB、AC上的點，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求證：△ABC∽△AED．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)已知線段長度求出，再根據(jù)∠A=∠A推出相似即可．
【詳解】證明：在△ABC和△AED 中，
∵，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：有兩邊的對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似．
3．（2021·安徽·安慶市石化第一中學(xué)九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．
【答案】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出，將兩個式子相加，即可求出GH的長．
【詳解】解：∵，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∵，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
△BGH∽△BDC，
∴，
∴，
∵AB=2，CD=3，
∴，
解得：GH=．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·上海市金山初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．
（1）求證：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；
（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．
【詳解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
考點二 （雙）8字型相似
1．（2022·福建·福州華倫中學(xué)八年級期中）如圖，在平行四邊形中，為上一點，連接、，且、交于點，：：，則：（ ）
A．：B．：C．：D．：
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DCAB，DC=AB，得到△DFE△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵E為上一點，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東河源·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF 的面積為2，則△ABC的面積為( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，，則．
【詳解】∵平行四邊形ABCD
∴，AD=BC
∵E為邊AD的中點
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如圖，過點F作FH⊥AD于點H，F(xiàn)G⊥BC于點G，
則，
∴，
∵△AEF的面積為2
∴
故選C．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題．
3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，D、E分別在BA、CA延長線上，DE∥BC，，DE＝1，BC的長度是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)DE∥BC，可得 ，從而得到,即可求解．
【詳解】解：∵DE∥BC，
，
∴，
∴，
∵，DE＝1，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．
【答案】2
【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．
【詳解】解：延長CF、BA交于M，
∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運(yùn)用知識點進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．
5．（2021·云南·姚安縣光祿中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，梯形中，，點在上， 連結(jié)并延長與的延長線交于點．求證：；
【答案】見解析
【分析】根據(jù)ABCD，利用平行線的性質(zhì)求出∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，可證明△CDF∽△BGF．
【詳解】證明：∵在梯形ABCD中，ABCD，
∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
【點睛】本題考查了梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結(jié)BD．
（1）求證：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB?AF，
∴AD：AB=AF：AD，
而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD=CN：CD，
∴MC?CD=MD?CN，
而CD=AB，
∴CM?AB=DM?CN．
【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
考點三 母子型相似
1．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為______．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案為2
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．
（1）求證 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長．
【詳解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，AD＝BD．
(1)求證：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．
【答案】(1)見解析；
(2)4．
【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進(jìn)而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；
（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．
（1）
證明：如圖，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如圖，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【點睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．
4．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：AC2＝BC?CD；
（2）若AD是△ABC的中線，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．
【詳解】（1）證明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中線，
，
，即：，
∴．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．
考點四 旋轉(zhuǎn)相似
1．（2022·浙江舟山·九年級期末）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B、C重合）將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
【探究證明】（2）如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點C，D，E在同一直線時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；
【拓展延伸】（3）如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，將△ACD繞順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應(yīng)點E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α（0°＜α＜360°），當(dāng)點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長度為．
【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；
（2）連接BD，由題意易得∠BAD=∠CAE，進(jìn)而可證△BAD≌△CAE，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；
（3）如圖，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證△BAE∽△CAD，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE，
理由：如圖2，連接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如圖3，過A作AF⊥EC，
由題意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴，即，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝AC?BD＝BC?AC，
∴AC＝AE＝，AD＝，
∴AF=，CE＝2CF＝2×，
∴BE＝．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．
2．（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．
（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：PA＝DC；
（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（3）當(dāng)α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）或
【分析】（1）當(dāng)α＝60°時，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；
（2）過點作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；
（3）過點作于點，過點作于點，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長線上時，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時，∵AB＝AC
∴△ABC為等邊三角形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴△PBD為等邊三角形
∴，
∴
在和中
∴
∴
（2）過點作，如下圖：
∵當(dāng)α＝120°時，
∴，
∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴，
又∵
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）過點作于點，過點作于點，則點D到CP的距離就是的長度
當(dāng)在線段上時，如下圖：
由題意可得：
∵α＝120°，
∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：
設(shè)，則
由勾股定理可得：
即，解得
則
當(dāng)在線段延長線上，如下圖：
則，
由（2）得，
設(shè)，則
由勾股定理可得：
即，解得
則
綜上所述：點D到CP的距離為或
【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在中，，在斜邊上取一點D，過點D作，交于點E．現(xiàn)將繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點D在的內(nèi)部），使得．
（1）①求證：；
②若，求的長；
（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；
（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）
【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．
【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；
②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；
【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴，
∵
∴
在Rt△CDE中，
根據(jù)勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AE=DE，
∴
（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9k2=16-16k2，
∴或（舍），
（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=p，BD=n，
∴，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，，
∵，
，
∴4p2=9m2+4n2．
【點睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．
考點五 K字型相似
1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運(yùn)動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．
【答案】3．
【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計算，即可得出BE的長．
【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，
∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．
2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求證△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的邊長．
【答案】（1）證明見解析；（2）3．
【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；
（2）由，先求解，設(shè)，再利用相似三角形的性質(zhì)可得：，列方程，解方程即可得到答案．
【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴，
∵△ABP∽△PCD
，
設(shè)，則，

∴

經(jīng)檢驗：是原方程的解，
所以三角形的邊長為：3．
【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·廣東·深圳市沙井中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．
（1）求證：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）8．
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先利用勾股定理求出PC的長，從而可得BP的長，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】（1），
，
，
在和中，，
；
（2）在中，，
，
，
，
由（1）已證：，
，即，
解得．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．
【詳解】（1）證明：如題圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
設(shè)，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝ ；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖2，若點E在線段AC上，則＝ （用含m，n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點E在直線AC上運(yùn)動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；
（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；
（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．
【詳解】解：當(dāng)時，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如圖3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如圖4圖5圖6，連接EF．
在中，，，
，
如圖4，當(dāng)E在線段AC上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，或舍
如圖5，當(dāng)E在AC延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，或舍，
③如圖6，當(dāng)E在CA延長線上時，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，或（舍），
綜上：或．
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點．
考點六 三角形內(nèi)接矩形
1．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長________．
【答案】
【分析】設(shè)AM交GF于H點，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
設(shè)正方形的邊長為，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2019·吉林長春·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點B運(yùn)動．過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點D，以PD為邊在PD右側(cè)做正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜4）．
（1）當(dāng)點D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為 （用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點E落在邊BC上時，求t的值．
（3）當(dāng)點D在邊AC上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）作射線PE交邊BC于點G，連結(jié)DF．當(dāng)DF＝4EG時，直接寫出t的值．
【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分兩種情況討論，根據(jù)重疊部分的圖形的形狀，可求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）分點E在△ABC內(nèi)部和△ABC外部兩種情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求t的值．
【詳解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案為2t，
（2）如圖，
∵四邊形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t＝；
（3）當(dāng)0＜t≤時，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為正方形PDEF的面積，
即S＝DP2＝4t2，
當(dāng)＜t≤2時，如圖，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為五邊形PDGHF的面積，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為.
（4）如圖，當(dāng)點E在△ABC內(nèi)部，設(shè)DF與PE交于點O，
∵四邊形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴，
∴，
∴t＝，
如圖，當(dāng)點E在△ABC外部，設(shè)DF與PE交于點O，
∵四邊形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵，
∴，
∴t＝，
綜上所述：t＝或.
【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例和重疊部分的面積等知識.先求特殊位置時對應(yīng)的t值，做到不重不漏，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，確定重疊部分圖形的形狀是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題14 投影與視圖（2份，原卷版+解析版）：

這是一份北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題14 投影與視圖（2份，原卷版+解析版），文件包含北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題14投影與視圖原卷版doc、北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題14投影與視圖解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共55頁， 歡迎下載使用。

北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題12 相似三角形的性質(zhì)（2份，原卷版+解析版）：

這是一份北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題12 相似三角形的性質(zhì)（2份，原卷版+解析版），文件包含北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題12相似三角形的性質(zhì)原卷版doc、北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題12相似三角形的性質(zhì)解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共59頁， 歡迎下載使用。

北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題11 相似三角形的判定方法（2份，原卷版+解析版）：

這是一份北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題11 相似三角形的判定方法（2份，原卷版+解析版），文件包含北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題11相似三角形的判定方法原卷版doc、北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題11相似三角形的判定方法解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共32頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題11 垂徑定理（2份，原卷版+解析版）

北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題11 垂徑定理（2份，原卷版+解析版）
北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題10 圓的概念與圓的對稱性（2份，原卷版+解析版）

北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題10 圓的概念與圓的對稱性（2份，原卷版+解析版）
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級上冊4.2 比較線段的長短鞏固練習(xí)

初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級上冊4.2 比較線段的長短鞏固練習(xí)
人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練專題07相似三角形的基本六大模型(原卷版+解析)

人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練專題07相似三角形的基本六大模型(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部