中考數(shù)學二輪復習壓軸題培優(yōu)訓練專題4二次函數(shù)與相似問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑
① 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。
②或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。
③若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。

相似三角形常見的判定方法：
（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；
這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．
（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
判定定理“兩邊及其夾角法”是常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來，按照對應邊成比例，分和兩種情況列方程．
應用判定定理“兩角法”解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等．
應用判定定理“三邊法”解題不多見，根據(jù)三邊對應成比例列連比式解方程（組）．
還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉化為討論另一個三角形是直角三角形的問題．
【例1】（2022?貴港）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，﹣）兩點，直線AB與x軸相交于點C，P是直線AB上方的拋物線上的一個動點，PD⊥x軸交AB于點D．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）若PE∥x軸交AB于點E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標．
【例2】．（2022?衡陽）如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．
（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式；
（2）若直線y＝﹣x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；
（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【例3】．（2022?桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B的左側），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）過點P作PM⊥y軸于點M，當△CPM和△QBN相似時，求點Q的坐標．
【例4】（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點A，B（2，0）（A在B的左側），與y軸交于點C，對稱軸是直線x＝，P是第一象限內拋物線上的任一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D為線段OC的中點，則△POD能否是等邊三角形？請說明理由；
（3）過點P作x軸的垂線與線段BC交于點M，垂足為點H，若以P，M，C為頂點的三角形與△BMH相似，求點P的坐標．
1．（2020秋?興城市期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（4，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C，D為第一象限拋物線上的動點，連接AC，BC，DA，DB，DB與AC相交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，設△ADE的面積為S1，△BCE的面積為S2，當S1＝S2+5時，求點D的坐標；
（3）如圖2，過點C作CF∥x軸，點M是直線CF上的一點，MN⊥CF交拋物線于點N，是否存在以C，M，N為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
2．（2020秋?郴州期末）已知拋物線y＝x2﹣3x+與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）如圖1，若點D是拋物線上在第四象限的點，連接DA并延長，交y軸于點P，過點D作DE⊥x軸于點E．當△APO與△ADE的面積比為＝時．求點D的坐標；
（3）如圖2，拋物線與y軸相交于點F．若點Q是線段OF上的動點，過點Q作與x軸平行的直線交拋物線于M，N兩點（點M在點N的左邊）．請問是否存在以Q，A，M為頂點的三角形與△QNA相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
3．（2020秋?長垣市期末）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸、y軸分別交于點B（6，0）和點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，其橫坐標為m，連接PB、PC，當△PBC的面積為時，求m值；
（3）如圖2，點M是線段OB上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線BC和拋物線交于D，E兩點，是否存在以C，D，E為頂點的三角形與△BDM相似，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
4．（2021秋?鄒城市期末）如圖，已知拋物線y＝x2+2x的頂點為A，直線y＝x+2與拋物線交于B，C兩點．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）作CD⊥x軸于點D，求證：△ODC∽△ABC；
（3）若點P為拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，則是否還存在除C點外的其他位置的點，使以O，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出這樣的P點坐標；若不存在，請說明理由．
5．（2021秋?攸縣期末）如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．
（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．
①求點M和點N的坐標；
②在拋物線的對稱軸上找一點Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，請直接寫出點Q的坐標；
③是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；
（2）當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
6．（2022?禹城市模擬）如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線在第一象限上的一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若拋物線上有一點D（點D位于直線AC的上方且不與點B重合）使得S△DCA＝S△ABC，直接寫出點D的坐標．
7．（2022?祥云縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C（0，3），點M是該拋物線上第一象限內的一個動點，ME垂直x軸于點E，交線段BC于點D，MN∥x軸，交y軸于點N．
（1）求拋物線y＝ax2+bx+c的表達式；
（2）若四邊形MNOE是正方形，求該正方形的邊長；
（3）連結OD，AC，拋物線上是否存在點M，使得以C，O，D為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
8．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝x2﹣bx+c過點B（3，0），C（0，﹣3），D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式以及頂點坐標；
（2）連接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
（3）點C關于拋物線y＝x2﹣bx+c對稱軸的對稱點為E點，連接BE，直線BE與對稱軸交于點M，在（2）的條件下，點P是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點P使△CDB和△BMP相似，若存在，求點P坐標，若不存在，請說明理由．
9．（2022?平江縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，連接PB，PC，設四邊形PBOC和△AOC的面積分別為S四邊形PBOC和S△AOC，記S＝S四邊形PBOC﹣S△AOC，求S最大值點P的坐標及S的最大值；
（3）點N是對稱軸l右側拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
10．（2022?萊州市一模）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+c經(jīng)過點A（4，3），頂點為點B，點P為拋物線上的一個動點，l是過點（0，﹣2）且垂直于y軸的直線，連接PO．
（1）求拋物線的表達式，并求出頂點B的坐標；
（2）試證明：經(jīng)過點O的⊙P與直線l相切；
（3）如圖②，已知點C的坐標為（1，2），是否存在點P，使得以點P，O及（2）中的切點為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
11．（2022?鞏義市模擬）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3 的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于C點，點A的坐標為（﹣1，0），且 OB＝OC．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）當0≤x≤4 時，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）設點C'與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．在y軸上是否存在點P，使△PCC'與△POB相似，且PC與PO是對應邊？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
12．（2022?澄邁縣模擬）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及頂點C的坐標；
（2）設該拋物線上一動點P的橫坐標為t．
①在圖1中，當﹣3＜t＜0時，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關系式，并求S的最大值；
②在圖2中，若點P在該拋物線上，點E在該拋物線的對稱軸上，且以A，O，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
③在圖3中，若P是y軸左側該拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P使得以點P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
13．（2022?豐南區(qū)二模）如圖①、②，在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉180°到△C′ED的位置．
（1）直接寫出C′的坐標，并求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式；
（2）點P在第四象限的拋物線上，求△C′OP的最大面積；
（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
14．（2022?萊蕪區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過A和點C（0，﹣3）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖1，平移線段AC，點A的對應點D落在二次函數(shù)在第一象限的圖象上，點C的對應點E落在直線AB上，直接寫出四邊形ACED的形狀，并求出此時點D的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CD，交x軸于點M，點P為直線CD下方拋物線上一個動點，過點P作PF⊥x軸，交CD于點F，連接PC，是否存在點P，使得以點P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△COM相似？若存在，求出線段FP的長度；若不存在，請說明理由．
15．（2022?臨清市三模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點D坐標為（1，4），且與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側，與y軸相交于點C，點E在x軸上方且在對稱軸左側的拋物線上運動，點F在拋物線上并且和點E關于拋物線的對稱軸對稱，作矩形EFGH，其中點G，H都在x軸上．
（1）求拋物線解析式；
（2）設點F橫坐標為m，
①用含有m的代數(shù)式表示點E的橫坐標為（直接填空）；
②當矩形EFGH為正方形時，求點G的坐標；
③連接AD，當EG與AD垂直時，求點G的坐標；
（3）過頂點D作DM⊥x軸于點M，過點F作FP⊥AD于點P，直接寫出△DFP與△DAM相似時，點F的坐標．
16．（2022?成都模擬）如圖①，已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+k交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，P是拋物線上的動點，且滿足OB＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在第一象限，直線y＝x+b經(jīng)過點P且與直線BC交于點E，設點P的橫坐標為t，當線段PE的長度隨著t的增大而減小時，求t的取值范圍；
（3）如圖②，過點A作BC的平行線m，與拋物線交于另一點D．點P在直線m上方，點Q在線段AD上，若△CPQ與△AOC相似，且點P與點O是對應點，求點P的坐標．
17．（2022?東莞市校級一模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+2kx+2k2+1與x軸的左交點為A，右交點為B，與y軸的交點為C，對稱軸為直線l，對于拋物線上的兩點（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），當x1+x2＝2時，y1﹣y2＝0恒成立．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點M是第二象限內直線AC上方的拋物線上的一點，過點M作MN⊥AC于點N，求線段MN的最大值，并求出此時點M的坐標；
（3）點P是直線l右側拋物線上的一點，PQ⊥l于點Q，AP交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PQF與△ACO相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
18．（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，若C（0，2）．
（1）請直接寫出A、B的坐標；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線表達式；
（3）l為拋物線對稱軸，P是直線l右側拋物線上的點，過點P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點．要使以P、D、E為頂點的三角形與△ABC全等，求滿足條件的點P，點E的坐標．

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