解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根．
一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．
解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．
如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．

我們先看三個問題：
1．已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？
2．已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？
3．已知點A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點B的坐標．
圖1 圖2 圖3
如圖1，點C在垂線上，垂足除外．
如圖2，點C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點除外．
如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個正方形，除了O、A兩點以外的頂點和正方形對角線的交點，都是符合題意的點B，共6個．
如圖4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的頂點C在y軸上，求點C的坐標．
我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點C．
如果作BD⊥y軸于D，那么△AOC∽△CDB．
設(shè)OC＝m，那么．
這個方程有兩個解，分別對應圖中圓與y軸的兩個交點．
對于代數(shù)法，可以采用兩條直線的斜率之積來解決.
【例1】（2022?濱州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接AC、BC．
（1）求線段AC的長；
（2）若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當PA＝PC時，求點P的坐標；
（3）若點M為該拋物線上的一個動點，當△BCM為直角三角形時，求點M的坐標．
【例2】．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，4），點D為x軸上方拋物線上的動點，射線OD交直線AC于點E，將射線OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點D在第二象限且＝時，求點D的坐標；
（3）當△ODF為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．
【例3】．（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，其中點B坐標為（0，﹣4），點C坐標為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標．
【例4】．（2022?柳州）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸交于點C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如圖1，點D是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，且點D在第一象限內(nèi)，過點D作x軸的平行線交拋物線于點E，作y軸的平行線交x軸于點G，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，當四邊形DEFG的周長最大時，求點D的坐標；
（3）如圖2，點M是拋物線的頂點，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點Q，在對稱軸上找一點P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點P的坐標．
1．（2022?公安縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，BC⊥x軸于點C，且點A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是拋物線AB之間的一個動點（不與A，B重合），求S△ABE的最大值以及此時E點的坐標；
（3）根據(jù)問題（2）的條件，判斷是否存在點E使得△ABE為直角三角形，如果存在，求出E點的坐標，如果不存在，說明理由．
2．（2022?高郵市模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0），與y軸交于點C，過點C作BC∥x軸，交拋物線于點B，連接AC、AB，AB交y軸于點D，若．
（1）求點B的坐標；
（2）點P為拋物線對稱軸上一點，且位于x軸上方，連接PA、PC，若△PAC是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標．
3．（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點．
（1）求b，c的值；
（2）點E為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一點，且點E在x軸上方，連接BE，以點E為直角頂點，BE為直角邊，作等直角△BED，使得點D恰好落在直線y＝x上，求出滿足條件的所有點E的坐標．
4．（2022?雁峰區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y＝x+1與x軸交于點E，與y軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上的點，連接OP交直線DE于Q，當Q是OP中點時，求點P的坐標；
（3）M在直線DE上，當△CDM為直角三角形時，求出點M的坐標．
5．（2022?平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）直線l過點A與拋物線交于點P，當∠PAB＝45°時，求點P的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
6．（2022?太原一模）綜合與實踐
如圖，拋物線y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．點D在直線AC下方的拋物線上運動，過點D作y軸的平行線交AC于點E．
（1）求直線AC的函數(shù)表達式；
（2）求線段DE的最大值；
（3）當點F在拋物線的對稱軸上運動，以點A，C，F(xiàn)為頂點的三角形是直角三角形時，直接寫出點F的坐標．
7．（2022?桐梓縣模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點D，直線L經(jīng)過C，D兩點，連接AC．
（1）求A，B兩點的坐標及直線L的函數(shù)表達式；
（2）探索直線L上是否存在點E，使△ACE為直角三角形，若存在，求出點E的坐標；若不存在，說明理由．
8．（2022?沈陽模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點M是拋物線上B，C之間的一個動點，線段MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MN，當點N恰好落在y軸上時，求點M，點N的坐標．
（3）如圖2，若點E坐標為（2，0），EF⊥x軸交直線BC于點F，將△BEF沿直線BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移動過程中，是否存在使△ACE'為直角三角形的情況？若存在，請直接寫出所有符合條件的點E′的坐標；若不存在，請說明理由．
9．（2022?東坡區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝x2﹣（m+2）x+4的頂點C在x軸的正半軸上，直線y＝x+2與拋物線交于A，B兩點，且點A在點B的左側(cè)．
（1）求m的值；
（2）點P是拋物線y＝x2﹣（m+2）x+4上一點，當△PAB的面積是△ABC面積的2倍時，求點P的坐標；
（3）將直線AB向下平移k（k＞0）個單位長度，平移后的直線與拋物線交于D，E兩點（點D在點E的左側(cè)），當△DEC為直角三角形時，求k的值．
10．（2022?海滄區(qū)二模）拋物線y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，點M（m，n）在該拋物線上，點P是拋物線的最低點．
（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；
（2）記△PMB面積為S，證明：當1＜m＜3時，S＜2；
（3）將直線BP向上平移t個單位長度得直線y2＝kx+b（k≠0），與y軸交于點C，與拋物線交于點E，當x＜﹣1時，總有y1＞y2．當﹣1＜x＜1時，總有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
11．（2021?葫蘆島模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC，點A在y軸上，點C在x軸上，其中B（﹣2，3），已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A和點B．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖1，點D（﹣2，﹣1）在直線BC上，點E為y軸右側(cè)拋物線上一點，連接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E點坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，P為射線DB上一點，作PQ⊥直線DE于點Q，連接AP，AQ，PQ，若△APQ為直角三角形，請直接寫出P點坐標．
12．（2021?和平區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣，交y軸于點A，交x軸于B（﹣1，0），C（5，0）兩點，拋物線的頂點為D，連接AC，CD．
（1）求直線AC的函數(shù)表達式；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點D的坐標；
（3）過點D作x軸的垂線交AC于點G，點H為線段CD上一動點，連接GH，將△DGH沿GH翻折到△GHR（點R，點G分別位于直線CD的兩側(cè)），GR交CD于點K，當△GHK為直角三角形時．
①請直接寫出線段HK的長為 ；
②將此Rt△GHK繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直線MN分別與直線CD，直線DG交于點P，Q，當△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形時，請直接寫出點P的縱坐標為 ﹣或﹣ ．
13．（2021?萊蕪區(qū)三模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣1，0）和點B（﹣3，0），交y軸于點C（0，﹣3）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，點E為拋物線的頂點，點T（0，t）為y軸負半軸上的一點，將拋物線繞點T旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線，其中B，E旋轉(zhuǎn)后的對應點分別記為B′，E′，當四邊形BEB'E'的面積為12時，求t的值；
（3）如圖2，過點C作CD∥x軸，交拋物線于另一點D．點M是直線CD上的一個動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點P．當以點B、C、P為頂點的三角形是直角三角形時，求所有滿足條件的點M的坐標．
14．（2021?雁塔區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，BC垂直x軸于點C，且A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請畫出拋物線的圖象；
（3）點P是拋物線對稱軸上一個動點，是否存在這樣的點P，使三角形ABP為直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
15．（2021?武漢模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+12（b＜0）與x軸交于A，B兩點（A點在B點左側(cè)），且OB＝3OA．
（1）請直接寫出b＝ ﹣8 ，A點的坐標是 （2，0） ，B點的坐標是 （6，0） ；
（2）如圖（1），D點從原點出發(fā)，向y軸正方向運動，速度為2個單位長度/秒，直線BD交拋物線于點E，若BE＝5DE，求D點運動時間；
（3）如圖（2），F(xiàn)點是拋物線頂點，過點F作x軸平行線MN，點C是對稱軸右側(cè)的拋物線上的一定點，P點在直線MN上運動．若恰好存在3個P點使得△PAC為直角三角形，請求出C點坐標，并直接寫出P點的坐標．
16．（2021?北碚區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x+2與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P為直線BC上方拋物線上一動點．
（1）求直線BC的解析式；
（2）過點A作AD∥BC交拋物線于D，連接CA，CD，PC，PB，記四邊形ACPB的面積為S1，△BCD的面積為S2，當S1﹣S2的值最大時，求P點的坐標和S1﹣S2的最大值；
（3）如圖2，將拋物線水平向右平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點O，G為平移后的拋物線的對稱軸直線l上一動點，將線段AC沿直線BC平移，平移過程中的線段記為A'C'（線段A'C'始終在直線l左側(cè)），是否存在以A'，C'，G為頂點的等腰直角△A'C'G？若存在，請寫出滿足要求的所有點G的坐標并寫出其中一種結(jié)果的求解過程，若不存在，請說明理由．
17（2021?廣東模擬）如圖，直線y＝x﹣3與x軸，y軸分別交于B、C兩點．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B、C，與x軸另一交點為A，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P從點D出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動．設(shè)運動的時間為t秒．
①點P在運動過程中，若∠CBP＝15°，求t的值；
②當t為何值時，以P，A，C為頂點的三角形是直角三角形？求出所有符合條件的t值．
18.（2021?巴中）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點M，當最大時，求點P的坐標及的最大值；
（3）在（2）的條件下，過點P作x軸的垂線l，在l上是否存在點D，使△BCD是直角三角形，若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
19.（2021?畢節(jié)市）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x＝2，頂點為D，點B的坐標為（3，0）．
（1）填空：點A的坐標為 （1，0） ，點D的坐標為 （2，﹣1） ，拋物線的解析式為 y＝x2﹣4x+3 ；
（2）當二次函數(shù)y＝x2+bx+c的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最小值為，求m的值；
（3）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使△PAC是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
20.（2021?蘭溪市模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝a（x﹣m）2﹣m+4圖象的頂點為C，其中m＞0，與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點D，點M的坐標為（0，4）．
（1）當m＝2時，拋物線y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）經(jīng)過原點，求a的值；
（2）當a＝﹣1時，
①若點M，點D，點C三點組成的三角形是直角三角形，求此時點D的坐標．
②設(shè)反比例函數(shù)y＝﹣（x＞0）與拋物線y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）相交于點E（p，q）．當2＜p＜4時，求m的取值范圍．

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