2021中考數(shù)學壓軸題題型：專題4二次函數(shù)與相似全等問題（含原卷及解析卷）-學案下載-教習網

函數(shù)中因動點產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑
① 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。
②或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。
③若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。

相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等．
判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來，按照對應邊成比例，分和兩種情況列方程．
應用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等．
應用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應成比例列連比式解方程（組）．
還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉化為討論另一個三角形是直角三角形的問題．
求線段的長，要用到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯．理解記憶比較好．
如圖1，如果已知A、B兩點的坐標，怎樣求A、B兩點間的距離呢？
我們以AB為斜邊構造直角三角形，直角邊與坐標軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了．水平距離BC的長就是A、B兩點間的水平距離，等于A、B兩點的橫坐標相減；豎直距離AC就是A、B兩點間的豎直距離，等于A、B兩點的縱坐標相減．
圖1
【例1】（2020?貴州省銅仁市中考第25題）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經過兩點A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設△PBC的面積為S，求S關于m的函數(shù)表達式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；
（3）點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標．
【例2】（2020?湖南省婁底市模擬第26題）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸相交于點C．
（1）求該函數(shù)的表達式；
（2）點P為該函數(shù)在第一象限內的圖象上一點，過點P作PQ⊥BC，垂足為點Q，連接PC．
①求線段PQ的最大值；
②若以點P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．
【例3】（2020?湖北省隨州市中考第24題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+1的對稱軸為直線x=32，其圖象與x軸交于點A和點B（4，0），與y軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線的解析式和∠CAO的度數(shù)；
（2）動點M，N同時從A點出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度在線段AB上運動，點N以每秒2個單位的速度在線段AC上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t（t＞0）秒，連接MN，再將線段MN繞點M順時針旋轉90°，設點N落在點D的位置，若點D恰好落在拋物線上，求t的值及此時點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，設P為拋物線上一動點，Q為y軸上一動點，當以點C，P，Q為頂點的三角形與△MDB相似時，請直接寫出點P及其對應的點Q的坐標．（每寫出一組正確的結果得1分，至多得4分）
【例4】（2020?湖北省鄂州市中考第24題）如圖，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．直線y=12x﹣2經過B、C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點D、M．PN⊥BC，垂足為N．設M（m，0）．
①點P在拋物線上運動，若P、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）．請直接寫出符合條件的m的值；
②當點P在直線BC下方的拋物線上運動時，是否存在一點P，使△PNC與△AOC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【例5】（2020?內蒙古赤峰市中考第25題）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，直線y=?12x+2經過B，C兩點．
（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式；
（2）平移直線BC，當直線BC與拋物線有唯一公共點Q時，求此時點Q的坐標；
（3）過（2）中的點Q作QE∥y軸，交x軸于點E．若點M是拋物線上一個動點，點N是x軸上一個動點，是否存在以E，M，N三點為頂點的直角三角形（其中M為直角頂點）與△BOC相似？如果存在，請直接寫出滿足條件的點M的個數(shù)和其中一個符合條件的點M的坐標；如果不存在，請說明理由．
【例6】（2020?廣東省中考第25題）如圖，拋物線y=3+36x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C，D，BC=3CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直線BD的函數(shù)解析式；
（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上．當△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．
【題組一】
1．（2020?聊城中考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，其對稱軸與線段BC交于點E，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點P和點F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點．
（1）求出二次函數(shù)y＝ax2+bx+4和BC所在直線的表達式；
（2）在動直線l移動的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點P的坐標；
（3）連接CP，CD，在動直線l移動的過程中，拋物線上是否存在點P，使得以點P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
2．（2020?成都中考）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求S1S2的最大值；
（3）如圖2，連接AC，BC，過點O作直線l∥BC，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點．試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3．（2020?連云港中考）在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y=12x2?32x﹣2的頂點為D，交x軸于點A、B（點A在點B左側），交y軸于點C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P．
（1）若拋物線L2經過點（2，﹣12），求L2對應的函數(shù)表達式；
（2）當BP﹣CP的值最大時，求點P的坐標；
（3）設點Q是拋物線L1上的一個動點，且位于其對稱軸的右側．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點P的坐標．
4．（2020?陜西中考）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經過點（3，12）和（﹣2，﹣3），與兩坐標軸的交點分別為A，B，C，它的對稱軸為直線l．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）P是該拋物線上的點，過點P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點．要使以P、D、E為頂點的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點P，點E的坐標．
【題組二】
5．（2020?濰坊中考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，連接PB，PC，當S△PBC=35S△ABC時，求點P的坐標；
（3）點N是對稱軸l右側拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
6．（2020?煙臺中考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，且OA＝2OB，與y軸交于點C，連接BC，拋物線對稱軸為直線x=12，D為第一象限內拋物線上一動點，過點D作DE⊥OA于點E，與AC交于點F，設點D的橫坐標為m．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當線段DF的長度最大時，求D點的坐標；
（3）拋物線上是否存在點D，使得以點O，D，E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
7．（2020?山西模擬）如圖，二次函數(shù)y＝0.5x2+bx+c的圖象過點B（0，1）和C（4，3）兩點，與x軸交于點D、點E，過點B和點C的直線與x軸交于點A．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上有一動點P，隨著點P的移動，存在點P使△PBC是直角三角形，請你求出點P的坐標；
（3）若動點P從A點出發(fā)，在x軸上沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，同時動點Q也從A點出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，直接寫出a的值；若不存在，說明理由．
8．（2019?錦州中考）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?34x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，F(xiàn)是第一象限內拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點．連接DF，F(xiàn)G，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標．
【題組三】
9．（2019?萊蕪區(qū)中考）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標；
（3）如圖2，D為拋物線的頂點，在線段AD上是否存在點M，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
10．（2020?柘城縣模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣1，0），B兩點，且與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸是直線x＝1．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點，P點在x軸上且位于點B的左側，若以P、B、C為頂點的三角形與△ABE相似，求點P的坐標；
（3）F是直線BC上一動點，M為拋物線上一動點，若△MBF為等腰直角三角形，請直接寫出點M的坐標．
11．（2020?灌云縣一模）如圖，以D為頂點的拋物線y=?12x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線BC的表達式為y＝﹣x+6．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在直線BC上有一點P，使PO+PA的值最小，求點P的坐標；
（3）在x軸上是否存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
12．（2020?宛城區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是y軸正半軸上的一點，OM=2，點Q在對稱軸左側的拋物線上運動，直線OQ交拋物線的對稱軸于點N，連接MN，當MN平分∠OND時，求點Q的坐標；
（3）直線AC交對稱軸于點E，P是坐標平面內一點，當△PCE與△BCD全等時，請直接寫出點P的坐標．
【題組四】
13．（2020?碑林區(qū)校級四模）如圖，拋物線M：y＝﹣x2﹣3x+4與x軸的交點分別為A、B，與y軸交點為C．
（1）求A、B、C三點的坐標．
（2）將拋物線M向右平移m（m＞32）個單位得到拋物線M'，設拋物線M'的頂點為D，它的對稱軸與x軸交點為E，要使△ODE與△OAC相似，求m的值．
14．（2020?市中區(qū)模擬）如圖，將拋物線W1：y＝﹣x2+3平移后得到W2，拋物線W2經過拋物線W1的頂點C，且與x軸相交于A、B兩點，其中B（1，0），拋物線W2頂點是D．
（1）求拋物線W2的關系式；
（2）設點E在拋物線W2上，連接AC、DC，如果CE平分∠DCA，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線W1沿x軸方向平移，點C的對應點為F，當△DEF與△ABC相似時，請求出平移后拋物線的表達式．
15．（2020?常州一模）如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸于點A（0，4），交x軸于點B（4，0），點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線PQ，過點A作AQ⊥PQ于點Q，連接AP（AP不平行x軸）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上運動，若△AQP∽△AOC（點P與點C對應），求點P的坐標；
（3）如圖2，若點P位于拋物線的對稱軸的右側，將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點Q'，當點Q'落在x軸上時，求點P的坐標．
16．（2020?濰坊一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+1相交于點A（0，1）和點B（3，﹣2），交x軸于點C，頂點為點F，點D是該拋物線上一點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，若點D在直線AB上方的拋物線上，求△DAB的面積最大時點D的坐標；
（3）如圖2，若點D在對稱軸左側的拋物線上，且點E（1，t）是射線CF上一點，當以C、B、D為頂點的三角形與△CAE相似時，求所有滿足條件的t的值．
【題組五】
17．（2020?鎮(zhèn)平縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中拋物線y＝ax2+bx+c經過原點，且與直線y＝﹣kx+6交于則A（6，3）、B（﹣4，8）兩點．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線上，解決下列問題：
①在直線AB下方的拋物線上求點P，使得△PAB的面積等于20；
②連接OA，OB，OP，作PC⊥x軸于點C，若△POC和△ABO相似，請直接寫出點P的坐標．
18．（2020?成都模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E（m，2）是直線AC上方的拋物線上一點，連接EA、EB、EC，EB與y軸交于D．
①點F是x軸上一動點，連接EF，當以A、E、F為頂點的三角形與△BOD相似時，求出線段EF的長；
②點G為y軸左側拋物線上一點，過點G作直線CE的垂線，垂足為H，若∠GCH＝∠EBA，請直接寫出點H的坐標．
19．（2020?英德市一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2經過點A（4，0）、B（1，0）兩點，點C為拋物線與y軸的交點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是x軸上方拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，問：是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上找一點D，過點D作x軸的垂線，交AC于點E，是否存在這樣的點D，使DE最長，若存在，求出點D的坐標，以及此時DE的長，若不存在，請說明理由．
20．（2020?老城區(qū)校級二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上一點，設P點的橫坐標為m．過點P作PD⊥x軸，交BC于點D，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，連接PE，當△PDE和△BOC相似時，求點P的坐標；
（3）連接AC，Q是線段BC上一動點，過Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，連接FG．請直接寫出FG的最小值和此時點Q的坐標．
【題組六】
21．（2020?碑林區(qū)校級模擬）如圖，直線y=?43x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y=?83x2+bx+c經過點A，B．
（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；
（2）M（m，0）為線段OA上的動點，過點M作垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N；若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標．
22．（2020?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為A（﹣3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設拋物線的頂點為D，連接AD，AC，CD，BC，將拋物線沿著y軸平移，點C的對應點為點M，是否存在點M使得以M，B，C為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出平移后的拋物線表達式；若不存在，請說明理由．
23．（2020?廣東二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（1，0），B（﹣7，0），頂點D坐標為（﹣3，?23），點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉得到△CFE，點A恰好旋轉到點F，連接BE．過頂點D作DD1⊥x軸于點D1．
（1）求拋物線的表達式；
（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形．
（3）點P是拋物線上一動點，當P在B點左側時，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，請問是否存在P點使得△PAM與△DD1A相似，如果存在，請寫出點P的橫坐標．
24．（2020?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖1，二次函數(shù)y=?18x2+14x+3的圖象交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于C點，連結AC，過點C作CD⊥AC交AB于點D．
（1）求點D的坐標；
（2）如圖2，已知點E是該二次函數(shù)圖象的頂點，在線段AO上取一點F，過點F作FH⊥CD，交該二次函數(shù)的圖象于點H（點H在點E的右側），當五邊形FCEHB的面積最大時，求點H的橫坐標；
（3）如圖3，在直線BC上取一點M（不與點B重合），在直線CD的右上方是否存在這樣的點N，使得以C、M、N為頂點的三角形與△BCD全等？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【題組七】
25．（2020?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知點A在x軸的正半軸上，且與原點的距離為3，拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）經過點A，其頂點為C，直線y＝1與y軸交于點B，與拋物線交于點D（在其對稱軸右側），聯(lián)結BC、CD．
（1）求拋物線的表達式及點C的坐標；
（2）點P是y軸的負半軸上的一點，如果△PBC與△BCD相似，且相似比不為1，求點P的坐標；
（3）將∠CBD繞著點B逆時針方向旋轉，使射線BC經過點A，另一邊與拋物線交于點E（點E在對稱軸的右側），求點E的坐標．
26．（2020?楊浦區(qū)二模）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經過點A（﹣3，0）和點B（3，2），與y軸相交于點C．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）點P是拋物線在第一象限內一點，聯(lián)結AP，如果點C關于直線AP的對稱點D恰好落在x軸上，求直線AP的截距；
（3）在（2）小題的條件下，如果點E是y軸正半軸上一點，點F是直線AP上一點．當△EAO與△EAF全等時，求點E的縱坐標．
27．（2020?余干縣模擬）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點C（0，﹣2），頂點D的坐標為（1，?83），與x軸交于A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和AEAB的值．
28．（2019秋?河東區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）若點D在x軸的上方，以A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，平移這條拋物線，使平移后的拋物線經過點B與點D，請你寫出平移過程，并說明理由．

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