（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．
（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可；
（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時(shí)，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，F(xiàn)點(diǎn)不存在．
【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）；
（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，
∴＝＝；
（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，
∴E（﹣2，﹣1），
設(shè)F（x，0），
①當(dāng)EG＝EF時(shí)，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，
此時(shí)x無(wú)實(shí)數(shù)根；
綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【例2】（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)（2，1）是函數(shù)y＝圖象的“2階方點(diǎn)”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”的有 ②③ （填序號(hào)）；
（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；
（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；
（2）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，結(jié)合圖象求a的值即可；
（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”；
②（﹣1，﹣1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”；
③（1，1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函數(shù)y＝圖象的“1階方點(diǎn)”；
故答案為：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，1），
在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，a＝3，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，a＝﹣1，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
綜上所述：a的值為3或a＝﹣1；
（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，
如圖2，當(dāng)n＞0時(shí)，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，n＝﹣1（舍）或n＝；
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，n＝1；
∴≤n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象有“n階方點(diǎn)”；
綜上所述：≤n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在．
【例3】（2022春?芙蓉區(qū)校級(jí)期末）在y關(guān)于x的函數(shù)中，對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)a≤x≤b且b＝a+3時(shí)，函數(shù)y有最大值ymax，最小值ymin，設(shè)h＝y(tǒng)max﹣ymin，則稱h為y的“極差函數(shù)”（此函數(shù)為h關(guān)于a的函數(shù)）；特別的，當(dāng)h＝y(tǒng)max﹣ymin為一個(gè)常數(shù)（與a無(wú)關(guān)）時(shí)，稱y有“極差常函數(shù)”．
（1）判斷下列函數(shù)是否有“極差常函數(shù)”？如果是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)（ ）內(nèi)畫(huà)“√”，如果不是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)（ ）內(nèi)畫(huà)“×”．
①y＝2x （ √ ）；
②y＝﹣2x+2 （ √ ）；
③y＝x2 （ × ）．
（2）y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝px+q，它與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為1，且它有“極差常函數(shù)”h＝3，求一次函數(shù)解析式；
（3）若，當(dāng)a≤x≤b（b＝a+3）時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)y＝ax2﹣bx+4的“極差函數(shù)”h；并求4ah的取值范圍．
【分析】（1）①由一次函數(shù)的性質(zhì)可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，則y＝2x是“極差常函數(shù)”；
②由一次函數(shù)的性質(zhì)可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，則y＝﹣2x+2是“極差常函數(shù)”；
③由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a+3≤0時(shí)，h＝﹣9﹣6a不是常數(shù)，則y＝x2 不是“極差常函數(shù)”，
（2）根據(jù)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得＝2，再分兩種情況討論：當(dāng)p＞0時(shí)，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；當(dāng)p＜0時(shí)，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分別求出p、q的值即可求函數(shù)的解析式；
（3）函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝+，由a的范圍確定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到對(duì)稱軸的距離大于a到對(duì)稱軸的距離，則當(dāng)x＝a+3時(shí)，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范圍確定4ah的范圍即可．
【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而增大，
∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“極差常函數(shù)”，
故答案為：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而減小，
∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，
∴y＝﹣2x+2是“極差常函數(shù)”，
故答案為：√；
∵y＝x2 是二次函數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝0，
當(dāng)a+3≤0時(shí)，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；
當(dāng)a≥0時(shí)，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；
∴y＝x2 不是“極差常函數(shù)”，
故答案為：×；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝q，
∴函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0，q），
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣，
∴函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（﹣，0），
∴S＝×|q|×|﹣|＝1，
∴＝2，
當(dāng)p＞0時(shí)，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，
∴p＝1，
∴q＝±，
∴函數(shù)的解析式為y＝x；
當(dāng)p＜0時(shí)，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，
∴p＝﹣1，
∴q＝±，
∴函數(shù)的解析式為y＝﹣x；
綜上所述：函數(shù)的解析式為y＝x或y＝﹣x；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝，
∵b＝a+3，
∴x＝＝+，
∵，
∴≤+≤，≤a+3≤，
∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，
∵，
∴2a+2﹣＞0，
∴a+3到對(duì)稱軸的距離，大于a到對(duì)稱軸的距離，
∴當(dāng)x＝a+3時(shí)，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，
當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值4﹣＝4﹣，
∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），
∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，
∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，
∴≤2a2+5a﹣3≤9，
∴≤4ah≤81．
【例4】（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）【閱讀理解】
定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），若x，y都可以用同一個(gè)字母表示，那么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是確定的．若根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過(guò)程叫做將點(diǎn)“去隱”．
例如，將點(diǎn)M（m+1，﹣m+1）（m為任意實(shí)數(shù)）“去隱”的方法如下：
設(shè)x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
將③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
則直線y＝﹣x+2是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑．
【遷移應(yīng)用】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a為任意實(shí)數(shù)）的運(yùn)動(dòng)路徑是拋物線．
（1）請(qǐng)將點(diǎn)Q“去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；
（2）記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，現(xiàn)將W進(jìn)行平移，平移后的拋物線W'始終過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'．
?。┰嚧_定點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
ⅱ）在直線x＝﹣2的左側(cè)，是否存在點(diǎn)C'，使△ACC'為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）設(shè)x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；
（2）?。┰O(shè)拋物線W'的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；
ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，則C點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣2的對(duì)稱點(diǎn)為C'（﹣6，4），此時(shí)AC＝AC'，△ACC'為等腰三角形；設(shè)C'（m，m2+m+1），當(dāng)AC'＝CC'時(shí)，C（﹣4﹣2，6+2）；當(dāng)CA＝CC'時(shí)，C'只能在x＝﹣2右側(cè)不符合題意．
【解答】解：（1）設(shè)x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，
由①得a＝﹣x③，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴C（2，4），
令y＝0，則﹣x2+x+3＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
?。┰O(shè)拋物線W'的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k，
∴C'（h，k），
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），
∴k＝（2+h）2，
令x＝h，y＝k＝（2+h）2，
∴y＝（x+2）2；
ⅱ）存在點(diǎn)C'，使△ACC'為等腰三角形，理由如下：
∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，
∴C點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣2的對(duì)稱點(diǎn)為C'（﹣6，4），
此時(shí)AC＝AC'，△ACC'為等腰三角形；
設(shè)C'（m，m2+m+1），
當(dāng)AC'＝CC'時(shí)，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，
解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），
∴C（﹣4﹣2，6+2）；
當(dāng)CA＝CC'時(shí)，C'只能在x＝﹣2右側(cè)，此時(shí)不符合題意；
綜上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．
一．解答題（共20題）
1．（2022?甘井子區(qū)校級(jí)模擬）定義：將函數(shù)C1的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180，得到新的函數(shù)C2的圖象，我們稱函數(shù)C2是函數(shù)C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．
例如：當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)y＝（x﹣3）2+9關(guān)于點(diǎn)P（1，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，
①一次函數(shù)y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 y＝﹣x﹣7 ．
②點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值．
（2）函數(shù)y＝（x﹣2）2+6關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，則m＝ 6 ．
（3）當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，求m的值．
【分析】（1）①由相關(guān)函數(shù)的定義，將y＝﹣x+7旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7；②先求出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)，然后求出相關(guān)函數(shù)，再把點(diǎn)A代入，即可得到答案；
（2）兩函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式獲得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而獲得m的值；
（3）先確定相關(guān)函數(shù)，然后根據(jù)m的取值范圍，對(duì)m進(jìn)行分類討論，以對(duì)稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，中部，右側(cè)，三種情況分類討論，獲得對(duì)應(yīng)的m的值．
【解答】解：（1）①根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，
y＝﹣x+7關(guān)于點(diǎn)P（0，0）旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝﹣x﹣7，
故答案為：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴y＝ax2﹣2ax+a關(guān)于點(diǎn)P（0，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣a（x+1）2，
∵點(diǎn)A（5，﹣6）在二次函數(shù)y＝﹣a（x+1）2的圖象上，
∴﹣6＝﹣a（5+1）2，
解得：a＝；
（2）y＝（x﹣2）2+6的頂點(diǎn)為（2，6），
y＝﹣（x﹣10）2﹣66的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（10，﹣6）；
∵兩個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P （m，0）成中心對(duì)稱，
∴m＝＝6，
故答案為：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x+m）2+5m2．
①當(dāng)﹣m≤m﹣1，即m≥時(shí)，當(dāng)x＝m﹣1時(shí)，y有最大值為8，
∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m1＝﹣2﹣（不符合題意，舍去），m2＝﹣2+；
②當(dāng)m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜時(shí)，當(dāng)x＝﹣m時(shí)，y有最大值為8，
∴5m2＝8，
解得：m＝±（不合題意，舍去）；
③當(dāng)﹣m＞m+2，即m＜﹣1時(shí)，當(dāng)x＝m+2，y有最大值為8，
∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合題意，舍去），
綜上，m的值為﹣2+或4﹣2．
2．（2022?江都區(qū)二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“梅嶺點(diǎn)”．
（1）若點(diǎn)P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m＝ ﹣1 ；
若點(diǎn)P（m，m）是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，則m＝ 3或﹣1 ；
（2）若點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），且圖象上存在兩個(gè)不同的“梅嶺點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，請(qǐng)直接寫(xiě)出k的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)“梅嶺點(diǎn)”的定義，P（3．p）的橫縱坐標(biāo)相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的橫縱坐標(biāo)相等，即m＝，分別求解即得答案；
（2）由題意得：拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點(diǎn)為P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫(xiě)為（x+2）2＝0，對(duì)比兩個(gè)方程的系數(shù)，即可求出b，c，進(jìn)而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅嶺點(diǎn)”的定義證明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝，x1?x2＝，進(jìn)而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1計(jì)算出a的取值范
圍，即可求出k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的梅嶺點(diǎn)，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵點(diǎn)P（m，m）是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點(diǎn)”，
∴m＝，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，
∴m＝3或﹣1；
故答案為：﹣1；3或﹣1；
（2）點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點(diǎn)”，
即拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點(diǎn)為P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫(xiě)為（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b﹣1＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2圖象上存在兩個(gè)不同的“梅嶺點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1?x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，
∴．
3．（2022?梁子湖區(qū)二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（2，2）是函數(shù)y＝2x﹣2的圖象的“等值點(diǎn)”．
（1）函數(shù)y＝2x+2的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)是 （﹣2，﹣2） ；
函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)是 （0，0）或（4，4） ；（直接填結(jié)果）
（2）設(shè)函數(shù)y＝，y＝﹣x+b圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為4時(shí)，求b的值．
【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；
（2）先根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義求出函y＝的圖象上有“等值點(diǎn)”A（2，2），同理求出B（b，b），根據(jù)△ABC的面積為4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分類求解即可．
【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2
∴函數(shù)y＝2x+2的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)是（﹣2，﹣2）；
在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”（0，0）或（4，4）；
故答案為：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；
（2）在函數(shù)y＝中，令x＝，
解得：x＝2，
∴A（2，2），
在函數(shù)y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x軸，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面積為4，
∴×|b|×|2﹣b|＝4，
當(dāng)b＜0時(shí)，b2﹣4b﹣32＝0，
解得b＝﹣4，
當(dāng)0≤b＜2時(shí)，b2﹣4b+32＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，
∴方程b2﹣4b+32＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)b≥2時(shí)，b2﹣4b﹣32＝0，
解得：b＝8，
綜上所述，b的值為﹣4或8．
4．（2022?洛陽(yáng)模擬）定義：如果兩個(gè)函數(shù)代入同一個(gè)自變量，可以得到兩個(gè)相等的函數(shù)值，我將這樣的函數(shù)稱為“鳳凰函數(shù)”，對(duì)應(yīng)的自變量的值稱為這兩個(gè)函數(shù)的“鳳凰根”．
（1）函數(shù)y1＝﹣x+m與y2＝﹣是否互為“鳳凰函數(shù)”？如果是，求出當(dāng)m＝1時(shí)，兩函數(shù)的“鳳凰根”；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖所示的是y＝|x2+2x|的圖象，它是由二次函數(shù)y＝x2+2x的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變得到的．若y1＝﹣x+m與y2＝|x2+2x|互為“鳳凰函數(shù)”，且有兩個(gè)“鳳凰根”，求m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)“鳳凰函數(shù)”的定義，當(dāng)數(shù)y1＝﹣x+m與y2＝﹣有兩個(gè)交點(diǎn)，即可判定函數(shù)y1＝﹣x+m與y2＝﹣互為“鳳凰函數(shù)”，當(dāng)m＝1時(shí)，解方程即可求得；
（2）由圖象可知直線在l1和l2之間平移（不含兩條直線）或在直線l3的右側(cè)平移時(shí)，直線y1＝﹣x+m與y＝|x2+2x|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此即可求得m的取值范圍．
【解答】解：（1）由y1＝y(tǒng)2得，
整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2+8＞0，
∴y1＝﹣x+m與是互為“鳳凰函數(shù)”，
當(dāng)m＝1時(shí)，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x+m與的“鳳凰根”．
（2）如圖：y1＝﹣x+m與有兩個(gè)的“鳳凰根”，
則直線在l1和l2之間平移（不含兩條直線）或在直線l3的右側(cè)平移．
解方程，得x1＝﹣4，x2＝0，
故y與x軸交點(diǎn)P和交點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）和（0，0）．
將（﹣4，0）和（0，0）代入y1＝﹣x+m，
得m＝﹣4和m＝0．
故當(dāng)﹣4＜m＜0時(shí)，y1與y2有兩個(gè)的“鳳凰根”；
當(dāng)y1＝﹣x+m與相切時(shí)，
聯(lián)立可得方程，
整理，得，
∴．
當(dāng)y1＝﹣x+m在直線l3的右側(cè)平移，
即時(shí)，y1與y2有兩個(gè)“鳳凰根”．
綜上所述，當(dāng)﹣4＜m＜0或時(shí)，y1與y2互為“鳳凰根”，且有兩個(gè)“鳳凰根”．
5．（2022?淮安二模）我們把函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)定義為這個(gè)函數(shù)圖象上的“互反點(diǎn)”．例如在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，存在一點(diǎn)P（﹣1，1），則P為二次函數(shù)y＝x2圖象上的“互反點(diǎn)”．
（1）分別判斷y＝﹣x+3、y＝x2+x的圖象上是否存在“互反點(diǎn)”？如果存在，求出“互反點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．
（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y＝（x＜0），y＝x+b的圖象上的“互反點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為5時(shí)，求b的值；
（3）如圖②，Q（m，0）為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作直線l⊥x軸，若函數(shù)y＝﹣x2+2（x≥m）的圖象記為W1，將W1沿直線l翻折后的圖象記為W2，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
【分析】（1）由定義可知，函數(shù)與y＝﹣x的交點(diǎn)即為“互反點(diǎn)”；
（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，求出b的值；
（3）函數(shù)y＝﹣x2+2關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2m）2+2，聯(lián)立方程組，當(dāng)Δ＝0時(shí)，m＝﹣，因此當(dāng)m＜﹣時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”；函數(shù)y＝﹣x2+2與直線x＝m的交點(diǎn)為（m，﹣m2+2），當(dāng)點(diǎn)（m，﹣m2+2）在直線y＝﹣x上時(shí)，解得m＝﹣1或m＝2，結(jié)合圖象可知：﹣1＜m＜2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，
∴y＝﹣x+3的圖象上不存在“互反點(diǎn)”；
y＝x2+x中，當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x＝x2+x，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的圖象上的“互反點(diǎn)”；
（2）y＝（x＜0）中，當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x＝，
解得x＝﹣，
∴A（﹣，），
y＝x+b中，當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x＝x+b，
解得x＝﹣b，
∴B（﹣b，b），
∴BC＝|b|，
∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，
解得b＝4或b＝﹣2；
（3）函數(shù)y＝﹣x2+2關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2m）2+2，
由定義可知，“互反點(diǎn)”在直線y＝﹣x上，
聯(lián)立方程組，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，
解得m＝﹣，
當(dāng)m＜﹣時(shí)，y＝﹣（x﹣2m）2+2與y＝﹣x沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)y＝﹣x與y＝﹣x2+2有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴m＜﹣時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”；
當(dāng)x＝m時(shí)，y＝﹣m2+2，
∴函數(shù)y＝﹣x2+2與直線x＝m的交點(diǎn)為（m，﹣m2+2），
當(dāng)點(diǎn)（m，﹣m2+2）在直線y＝﹣x上時(shí)，﹣m2+2＝﹣m，
解得m＝﹣1或m＝2
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個(gè)“互反點(diǎn)”，
∴m＞﹣1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”；
當(dāng)m＝2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有1個(gè)“互反點(diǎn)”，
∴m＜2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”；
∴﹣1＜m＜2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”；
綜上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“互反點(diǎn)”．
6．（2022?荷塘區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且（x1＜0＜x2），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求該二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②定義：若點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱點(diǎn)P為這個(gè)函數(shù)的“零和點(diǎn)”，求證：此二次函數(shù)有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”；
（2）如圖，過(guò)D、C兩點(diǎn)的直線交x軸于點(diǎn)E，滿足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．
【分析】（1）①運(yùn)用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出答案；
②由y＝﹣x與y＝ax2+bx+c聯(lián)立可得x2﹣3x﹣4＝0，運(yùn)用根的判別式可得Δ＞0，即可得出結(jié)論；
（2）如圖，連接AC，先求出直線CD的解析式為y＝x+c，可得E（﹣，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再證明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE?BE，即c2+＝（+）（+），化簡(jiǎn)即可得出答案．
【解答】解：（1）①當(dāng)a＝﹣1，b＝2，c＝4時(shí)，
拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為D（1，5）；
②當(dāng)y＝﹣x時(shí)，﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+4有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”；
（2）如圖，連接AC，
∵y＝ax2+bx+c，
∴C（0，c），頂點(diǎn)D（﹣，），
設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+n，
則，
解得：，
∴直線CD的解析式為y＝x+c，
∴E（﹣，0），
∵A（，0），B（，0），
∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣）＝+，
∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝，
∴CE2＝AE?BE，
在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，
∴c2+＝（+）（+），
化簡(jiǎn)得：ac＝﹣1，
故ac的值為﹣1．
7．（2022秋?海安市校級(jí)月考）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（1，1）是函數(shù)y＝x+的圖象的“等值點(diǎn)”．
（1）判斷函數(shù)y＝x+2的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；
（2）求函數(shù)y＝x2﹣2的圖象的“等值點(diǎn)”坐標(biāo)；
（3）若函數(shù)y＝x2﹣2（x≥m）的圖象記為W1，將其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2．當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，求出m的值．
【分析】（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；
（2）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；
（3）根據(jù)（2）中求出的y＝x2﹣2的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．
【解答】解：（1）不存在，理由：
在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函數(shù)y＝x+2的圖象上不存在“等值點(diǎn)”；
（2）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函數(shù)y＝x2﹣2的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”（﹣1，﹣1）或（2，2）；
（3）①當(dāng)m＜﹣1時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上必有2個(gè)“等值點(diǎn)”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的圖象上不存在“等值點(diǎn)”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜﹣，
②當(dāng)m＝﹣1時(shí)，有3個(gè)“等值點(diǎn)”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③當(dāng)﹣1＜m＜2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”，
④當(dāng)m＝2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上恰有1個(gè)“等值點(diǎn)”（2，2），
⑤當(dāng)m＞2時(shí)，W1，W2兩部分組成的圖象上沒(méi)有“等值點(diǎn)”，
綜上所述，當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有3個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，m＝1．
8．（2022秋?長(zhǎng)沙期中）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n≥0）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（，）是函數(shù)y＝x圖象的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)（﹣1，1）是函數(shù)y＝﹣x圖象的“1階方點(diǎn)”．
（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三點(diǎn)中，是正比例函數(shù)y＝﹣2x圖象的“1階方點(diǎn)”的有 ②③ （填序號(hào)）；
（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；
（3）若函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)“n階方點(diǎn)”中的點(diǎn)（n，n），則點(diǎn)（n，n）稱為此函數(shù)圖象的“不動(dòng)n階方點(diǎn)”，若y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的圖象上存在唯一的一個(gè)“不動(dòng)n階方點(diǎn)”，且當(dāng)2≤p≤3時(shí)，q的最小值為t，求t的值．
【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；
（2）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，結(jié)合圖象求a的值即可；
（3）在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形ABCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【解答】解：（1）（﹣1，2）到x軸距離為2，不符合題意，
（0，0）到兩坐標(biāo)軸的距離都等于0，符合題意，
③（，﹣1）到x軸距離為1，到y(tǒng)軸距離為，符合題意，
故答案為：②③．
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，1），
在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
由圖可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函數(shù)y＝ax﹣3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，﹣2）時(shí)，﹣2＝2a﹣3a+1，
解得a＝3，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2，2）時(shí)，2＝2a﹣3a+1，
解得a＝﹣1，此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
綜上所述：a的值為3或a＝﹣1．
（3）∵點(diǎn)（n，n）在直線y＝x上，
∴y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的圖象上存在唯一的一個(gè)“不動(dòng)n階方點(diǎn)”時(shí)，方程x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2＝x有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（p﹣t）2﹣q﹣t+2＝0，
∴q＝（p﹣t）2﹣t+2，
∵當(dāng)2≤p≤3時(shí)，q的最小值為t，
若p＝t，則q的最小值為﹣t+2，則﹣t+2＝t，
解得t＝p＝1，不符合題意．
當(dāng)t＜2時(shí)，若p＝2，則q取最小值，即q＝（2﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝3+（舍）或t＝3﹣，
當(dāng)t＞3時(shí)，若p＝3，則q取最小值，即q＝（3﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝4﹣（舍）或t＝4+，
綜上所述，t＝3﹣或4+．
9．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）定義：一個(gè)函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“1倍點(diǎn)”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣1，﹣1）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“1倍點(diǎn)”，點(diǎn)（，﹣3）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“2倍點(diǎn)”．
（1）函數(shù)y＝x2﹣8的圖象上是否存在“2倍點(diǎn)”？如果存在，求出“2倍點(diǎn)”；
（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個(gè)“1倍點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時(shí)，求：c的取值范圍．
（3）將函數(shù)y＝x2﹣8（x≥m）的圖象記為W1，其沿直線x＝m翻折后的圖象記為W2，W1和W2構(gòu)成的整體記為W，若W恰有2個(gè)“2倍點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．
【分析】（1）聯(lián)立方程求解．
（2）令ax2+5x+c＝x，根據(jù)根的判別式Δ＝0可得ac的值，進(jìn)而求解．
（3）令x2﹣8＝2x，求出拋物線y＝x2﹣8與直線y＝2x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由函數(shù)y＝x2﹣8（x≥m）求出翻折后函數(shù)解析式，結(jié)合圖象求解．
【解答】解：（1）由題意可得“2倍點(diǎn)”在直線y＝2x上，
聯(lián)立方程，
解得，，
∴函數(shù)y＝x2﹣8的圖象上存在“2倍點(diǎn)”，點(diǎn)（﹣2，﹣4），（4，8）是該圖象的“2倍點(diǎn)”．
（2）令ax2+5x+c＝x，整理得ax2+4x+c＝0，
由題意得Δ＝42﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴c＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜4．
（3）圖象y＝x2﹣8（x≥m）關(guān)于直線x＝m翻折后解析式為y＝（x﹣2m）2﹣8（x＜m），
令x2﹣8＝2x，
解得x＝﹣2或x＝4，
當(dāng)m＝4時(shí)，如圖，
圖象W有1個(gè)“2倍點(diǎn)”，
∴m＜4時(shí)符合題意，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，如圖，
圖象W有3個(gè)“2倍點(diǎn)”，
∴﹣2＜m＜4符合題意．
令（x﹣2m）2﹣8＝2x，整理得x2﹣（4m+2）x+4m2﹣8＝0，
當(dāng)Δ＝（4m+2）2﹣4（4m2﹣8）＝0時(shí)，
解得m＝﹣，
∴m＜﹣時(shí)符合題意．
綜上所述，﹣2＜m＜4或m＜﹣．
10．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）定義：將函數(shù)C的圖象繞點(diǎn)P（0，n）旋轉(zhuǎn)180°，得到新的函數(shù)C1的圖象，我們稱函數(shù)C1是函數(shù)C關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．例如：當(dāng)n＝1時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P（0，1）的相關(guān)函數(shù)為．
（1）當(dāng)n＝0時(shí)．
①二次函數(shù)y＝x2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 y＝﹣x2 ；
②點(diǎn)A（2，3）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值．
（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是，則n＝ ﹣ ．
【分析】（1）①n＝0時(shí)，點(diǎn)P（0，0），則相關(guān)函數(shù)為：y＝﹣x2，即可求解；
②二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a的頂點(diǎn)為：（1，0），新函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣1，0），則新函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣a（x+1）2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣；
（2）兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)分別為：（0，3）、（0，﹣5），由中點(diǎn)公式即可求解．
【解答】解：（1）①n＝0時(shí)，點(diǎn)P（0，0），則相關(guān)函數(shù)為：y＝﹣x2，
故答案為：y＝﹣x2；
②二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a的頂點(diǎn)為：（1，0），新函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣1，0），
則新函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣a（x+1）2，
將點(diǎn)A（2，3）代入得3＝﹣a（2+1）2，
解得：a＝﹣；
（2）兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)分別為：（0，3）、（0，﹣5），
由中點(diǎn)公式得：n＝＝﹣，
故答案為：﹣．
11．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）定義：一個(gè)函數(shù)圖象上若存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“1倍點(diǎn)”，若存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣1，﹣1）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“1倍點(diǎn)”，點(diǎn)（﹣，﹣3）是函數(shù)y＝4x+3圖象的“2倍點(diǎn)”．
（1）函數(shù)y＝x2﹣8的圖象上是否存在“2倍點(diǎn)”？如果存在，求出“2倍點(diǎn)”；
（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個(gè)“1倍點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)a＞1時(shí)，求：
①c的取值范圍；
②直接寫(xiě)出∠EMN的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)“2倍點(diǎn)”的概念直接作答即可；
（2）①根據(jù)有且只有一個(gè)“1倍點(diǎn)”求出a與c的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)a的取值范圍求出c的取值范圍；
②先求點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后比較線段長(zhǎng)度，最后求出∠EMN的度數(shù)．
【解答】解：（1）存在，
設(shè)“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x，2x），
則2x＝x2﹣8，
解得：x＝﹣2或4，
∴“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）或（4，8）；
（2）①由題意可知，
y＝ax2+5x+c與y＝x有且只有交點(diǎn)，
則x＝ax2+5x+c，
整理得：ax2+4x+c＝0，則該方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，
即Δ＝16﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜4；
②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OM于點(diǎn)F，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知，ax2+4x+c＝0，
，
又∵兩個(gè)根相等，
∴，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），
∴EF＝OF＝，
由①可知，a＝，
則c＝，
∴y＝ax2+5x+c可以寫(xiě)成y＝ax2+5x+，
令y＝0，
則ax2+5x+＝0，
由求根公式可得，
x＝，
解得：，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），
∴OM＝，
∴MF＝OM﹣OF＝，
∴MF＝EF，
∵∠EFM＝90°，
∴∠EMN＝45°．
12．（2022秋?漢陰縣校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+4交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）定義：若點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱點(diǎn)P為這個(gè)函數(shù)的“零和點(diǎn)”，求證：此二次函數(shù)有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”；
（3）連接CD，點(diǎn)Q是第一象限直線CD上的點(diǎn)，過(guò)Q作QM⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，若Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△QMO的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式．
【分析】（1）利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后把一般式化為頂點(diǎn)式得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象上的“零和點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)為（x，﹣x），把P（x，﹣x）代入y＝﹣x2+2x+4得﹣x2+2x+4＝﹣x，由于解關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，從而判斷此二次函數(shù)有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y＝x+4，設(shè)Q（x，x+4）（x＞0），然后根據(jù)三角形的面積公式可得到S關(guān)于x的函數(shù)解析式．
【解答】（1）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+4＝4，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）；
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5）；
（2）證明：設(shè)二次函數(shù)圖象上的“零和點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)為（x，﹣x），
把P（x，﹣x）代入y＝﹣x2+2x+4得﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1）和（4，﹣4），
∴此二次函數(shù)有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”；
（3）解：設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，
把C（0，4），D（1，5）分別代入得，
解得，
∴直線CD的解析式為y＝x+4，
設(shè)Q（x，x+4）（x＞0），
∴S＝OM?QM＝x?（x+4）＝x2+2x，
即S關(guān)于x的函數(shù)解析式為S＝x2+2x（x＞0）．
13．（2022?紅河州二模）有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“和睦四邊形”，如菱形，正方形等都是“和睦四邊形”．
（1）如圖1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求證：四邊形ABCD為“和睦四邊形”；
（2）如圖2，直線AB與x軸，y軸分別交于A（12，0），B（0，9）兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是線段OA、AB上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)四邊形BOPQ為“和睦四邊形”時(shí)，求t的值；
（3）如圖3，拋物線y＝ax2+與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．當(dāng)四邊形COBD為“和睦四邊形”，且CD＝OC，求a的值．
【分析】（1）BD平分∠ABC及AD∥BC，推出AB＝AD，即可得出結(jié)論；
（2）求出B，A的坐標(biāo)，OB，OA，AB的長(zhǎng)度，用含t的代數(shù)式表示出AQ，AP，BQ，OP，連接PQ，證△AQP∽△ABO，推出∠APQ＝∠AOB＝90°，求出QP＝3t，根據(jù)“和睦四邊形”的定義分情況討論可求出t的值；
（3）用含字母的代數(shù)式表示頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，由CD＝OC，即可求解．
【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD為“和睦四邊形”；
（2）解：∵A（12，0），B（0，9），
∴OB＝9，OA＝12，
∴AB＝＝15，
由題意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝15﹣5t，OP＝12﹣4t，
連接PQ，
，，
∴，
又∵∠BAO＝∠QAP，
∴△AQP∽△ABO，
∴∠APQ＝∠AOB＝90°，
∴QP＝＝3t，
∵四邊形BOPQ為“和睦四邊形”，
①當(dāng)OB＝OP時(shí)，9＝12﹣4t，
∴；
②當(dāng)OB＝BQ時(shí)，9＝15﹣5t，
∴；
③當(dāng)OP＝PQ時(shí)，12﹣4t＝3t，
∴；
④當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，15﹣5t＝3t，
∴，
綜上所述，t的值為或或或；
（3）解：由題意可得：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，C（0，2），
∵CD＝OC，
∴CD2＝OC2，
∴，
化簡(jiǎn)得：，
∵a＜0，
∴．
14．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“好點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣1，1）是函數(shù)y＝x+2的圖象的“好點(diǎn)”．
（1）在函數(shù)①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的圖象上，存在“好點(diǎn)”的函數(shù)是 ③ ；（填序號(hào)）
（2）設(shè)函數(shù)y＝﹣（x＜0）與y＝kx+3的圖象的“好點(diǎn)”分別為點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求k的值；
（3）若將函數(shù)y＝x2+2x的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個(gè)新的圖象．當(dāng)該圖象上恰有3個(gè)“好點(diǎn)”時(shí)，求m的值．
【分析】（1）判斷y＝﹣x與各個(gè)函數(shù)圖像是否有公共點(diǎn)即可；
（2）先得出y＝﹣的“好點(diǎn)”，從而得出AC的長(zhǎng)，在y＝﹣x上的點(diǎn)B，使得AB＝AC，從而求得點(diǎn)B坐標(biāo)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx+3求得k的值；
（3）折疊前的拋物線上有兩個(gè)“好點(diǎn)”，所以折疊后的拋物線上有一個(gè)“好點(diǎn)”即可，即y＝﹣x與折疊后拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而求得折疊后的拋物線解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴y+x＝3，
∴①不是“好點(diǎn)”的函數(shù)，
∵y＝，x＞0，
∴xy＝3＞0
∴x+y≠0，
∴②不是“好點(diǎn)”的函數(shù)，
∵，
∴x2+3x+1＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，
∴方程組有解，
∴③是“好點(diǎn)”的函數(shù)，
故答案為：③；
（2）∵，x＜0，
∴，
∴A（﹣2，2），
如圖，
當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，AB＝AC＝2或BA＝BC，
當(dāng)AB＝AC時(shí)，
∵y＝﹣x，
∴B（x，﹣x），
∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣+2，
∴（﹣2）k+3＝﹣+2，
∴k＝，
當(dāng)x＝﹣﹣2時(shí)，y＝+2，
∴（﹣﹣2）k+3＝+2，
∴k＝﹣，
當(dāng)AB＝BC時(shí)，點(diǎn)B（﹣1，1），
∴﹣k+3＝1，
∴k＝2，
綜上所述：k＝或k＝2；
（3）設(shè)翻折后的拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+k，
∵y＝x2+2x的圖像上有兩個(gè)“好點(diǎn)”：（0，0）和（﹣3，0），
當(dāng)y＝﹣x2﹣2x+k上有一個(gè)“好點(diǎn)”時(shí)，
把y＝﹣x代入得，
﹣x＝﹣x2﹣2x+k，
化簡(jiǎn)整理得，
x2+x﹣k＝0，
∵Δ＝1+4k＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣，
由得，
2y＝﹣，
∴y＝﹣，
∴m＝﹣．
當(dāng)（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上時(shí)，
此時(shí)﹣x2﹣2x＝﹣x，
x＝0或x＝﹣1，
這時(shí)也有三個(gè)“好點(diǎn)”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），
∴m＝﹣或0．
15．（2022?海曙區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y＝ax﹣a為拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的函數(shù)表達(dá)式為 y＝﹣x+ ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （﹣2，2） ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （1，0） ．
（2）如圖，M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由定義求出“夢(mèng)想直線”為y＝﹣x+，再求直線與拋物線的交點(diǎn)即可；
（2）分兩種情況，①當(dāng)N點(diǎn)在y軸上時(shí)，②當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，分別求出N的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)E（﹣1，m），F(xiàn)（n，﹣n+），分所求情況討論：①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線，②當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線，③當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出E、F點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）由定義可得拋物線與其“夢(mèng)想直線”為y＝﹣x+，
∵﹣x2﹣x+2＝﹣x+，
解得x＝﹣2或x＝1，
∴A（﹣2，2），B（1，0），
故答案為：y＝﹣x+，（﹣2，2），（1，0）；
（2）令y＝0，則﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
①當(dāng)N點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)N（0，t），
由折疊可知，AN＝AC，
∵AC＝，
∴AN＝＝，
解得t＝2+3或t＝2﹣3，
當(dāng)t＝2+3時(shí)，N（0，2+3），此時(shí)M點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，不合題意；
當(dāng)t＝2﹣3時(shí)，N（0，2+3）；
②當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，此時(shí)M（0，0），
過(guò)點(diǎn)N作NG⊥x軸交于G點(diǎn)，設(shè)N（x，y），
由折疊可知，AN＝AC＝，CM＝MN＝3，
∴x2+y2＝9，（x+2）2+（y﹣2）2＝13，
解得x＝0（舍）或x＝，
∴N（，）；
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2+3）或（，）；
（3）存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
設(shè)E（﹣1，m），
∵拋物線與其“夢(mèng)想直線”為y＝﹣x+，
設(shè)F（n，﹣n+），
①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
﹣2﹣3＝﹣1+n，2＝m﹣n+，
解得n＝﹣4，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F(xiàn)（﹣4，）；
②當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
m+2＝﹣n+，﹣2﹣＝n﹣3，
解得n＝0，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F(xiàn)（0，）；
③當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
n﹣2＝﹣3﹣1，m＝2+﹣n，
解得n＝﹣2，m＝，
∴E（﹣1，4），F(xiàn)（﹣2，2）（舍）；
綜上所述：E（﹣1，﹣），F(xiàn)（﹣4，）或E（﹣1，﹣），F(xiàn)（0，）．
16．（2022?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）我們定義：若點(diǎn)P在一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）圖象上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)（c≠0）圖象上，且滿足點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”，點(diǎn)P稱為“基點(diǎn)”，點(diǎn)Q稱為“靶點(diǎn)”．
（1）若二次函數(shù)y＝x2+2x+1是一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”，則a＝ 1 ，b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）若一次函數(shù)y＝x+b和反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，且“基點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)為1，求“靶點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）若一次函數(shù)y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函數(shù)的“衍生函數(shù)”經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6）．①試說(shuō)明一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上存在兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”；②設(shè)一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范圍．
【分析】（1）由定義直接求解即可；
（2）由題意先求出4c＝b2，則可求P（1，1+b），再求P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，將所求Q點(diǎn)代入反比例函數(shù)為y＝，求出b的值即可求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）①題意可知“衍生函數(shù)”為y＝ax2+2bx﹣2，將點(diǎn)（2，6）代入可得a+b＝2，再由題意可求1＜a＜2，設(shè)“靶點(diǎn)”Q（t，﹣），則P（﹣t，﹣），則﹣＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，由Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，即可證明；
②由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣，則|x1﹣x2|＝＝，再由1＜a＜2，即可求2＜|x1﹣x2|＜2．
【解答】解：（1）由定義可知，a＝1，b＝2，c＝1，
故答案為：1，2，1；
（2）由題意可知，“衍生函數(shù)”為y＝x2+bx+c，
∵頂點(diǎn)在x軸上，
∴4c＝b2，
∴一次函數(shù)為y＝x+b，
∵“基點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)為1，
∴P（1，1+b），
∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函數(shù)為y＝，
∴﹣b2＝1+b，
解得b＝﹣2，
∴“靶點(diǎn)”的坐標(biāo)（﹣1，﹣1）；
（3）證明：①由題意可知“衍生函數(shù)”為y＝ax2+2bx﹣2，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6），
∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＞2﹣a＞0，
∴1＜a＜2，
設(shè)“靶點(diǎn)”Q（t，﹣），則P（﹣t，﹣），
∴﹣＝at+2（2﹣a），
整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，
∴方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴一次函數(shù)y＝ax+2b圖象上存在兩個(gè)不同的“基點(diǎn)”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝＝，
∵1＜a＜2，
∴2＜＜4，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
17．（2022?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興起小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)，y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上的點(diǎn)A（x，y）的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)锳點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)A1（x，x+y）．他們把這個(gè)點(diǎn)A：定義為點(diǎn)A的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）所有簡(jiǎn)樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為y＝ax2+bx+c（a≠0）的“簡(jiǎn)樸曲線”．例如，二次函數(shù)y＝x2+x+1的“簡(jiǎn)樸曲線”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，請(qǐng)按照定義完成：
（1）點(diǎn)P（1，2）的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是 （1，3） ；
（2）如果拋物線y＝ax2﹣7x+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，﹣3），求該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”；
（3）已知拋物線y＝x2+bx+c圖象上的點(diǎn)B（x，y）的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是B1（﹣1，1），若該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），當(dāng)0≤c≤3時(shí)，求n的取值范圍．
【分析】（1）由“簡(jiǎn)樸曲線”的定義求解．
（2）將點(diǎn)M坐標(biāo)代入解析式求出a的值，進(jìn)而求解．
（3）由點(diǎn)B（x，y）的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是B（﹣1，1），可得b與c的關(guān)系，用含c代數(shù)式表示拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”并化為頂點(diǎn)式，從而可用含c代數(shù)式表示n，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得點(diǎn)P（1，2）的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是（1，1+2），即（1，3），
故答案為：（1，3）．
（2）將（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣7x+3，
∴拋物線y＝x2﹣7x+3的“簡(jiǎn)樸曲線”為y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．
（3）∵點(diǎn)B（x，y）的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是B（﹣1，1），
∴，
解得，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，
∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”為y＝x2+cx+c＝（x+）2+c﹣，
∵該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），
∴m＝﹣，n＝c﹣＝﹣（c﹣2）2+1，
∴c＝2時(shí)，n＝1為最大值，
把c＝0代入n＝c﹣得n＝0，
把c＝3代入n＝c﹣得n＝，
∴當(dāng)0≤c≤3時(shí)，0≤n≤1．
18．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（ac≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若線段OA、OB、OC的長(zhǎng)滿足OC2＝OA?OB，則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）為“黃金”拋物線，其與x軸交點(diǎn)為A，B（其中B在A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝4OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D．
①求PD的最大值；
②連接PC，當(dāng)△PCD與△ACO相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入拋物線的關(guān)系式求得結(jié)果；
（2）①作PF⊥AB于F交AC于E，求出AC的關(guān)系式，然后設(shè)點(diǎn)P（m，﹣﹣+2），E（m，），表示出PE＝﹣﹣2m，求出PE的最值，根據(jù)△PDE∽△AOC，進(jìn)而求出PD的最大值；
②當(dāng)△PCD∽△ACO時(shí)，作PF⊥OA于F，交AC于E，可推出PC＝PE，進(jìn)而求得結(jié)果，當(dāng)△PCD∽△CAO時(shí)，可得點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得，
OC＝2，OA＝4OB，
∵OA?OB＝OC2，
∴4OB2＝4，
∴OB＝1，OA＝4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
∴，
∴；
（2）①如圖1，
作PF⊥AB于F交AC于E，
∵OA＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝2，
可得AC的關(guān)系式是：y＝，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣﹣+2），E（m，），
∴PE＝（﹣﹣+2）﹣（）＝﹣﹣2m＝﹣（m+2）2+2，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，PE最大＝2，
∵∠PDE＝∠AFE＝90°，∠PED＝∠AEF，
∴∠DPE＝∠EAF，
∵∠PDE＝∠AOC，
∴△PDE∽△AOC，
∴＝，
∴PD＝＝＝?PE，
∴PD最大＝；
②如圖2，
當(dāng)△PCD∽△CAO時(shí)，∠PCD＝∠CAB，
∴PC∥AB，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴P（﹣3，2），
如圖3，
當(dāng)△PCD∽△ACO時(shí)，
作PF⊥OA于F，交AC于E，
由①知：△PED∽△ACO，
∴△PCD∽△PED，
∴△PCD≌△PED，
∴PC＝PE，
∴（﹣﹣2m）2＝m2+（﹣﹣）2，
∴m＝﹣，
當(dāng)m＝﹣時(shí)，y＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，
∴P（﹣，），
綜上所述，符合條件的P的坐標(biāo)（﹣3，2）或者．
19．（2022?撫州模擬）我們約定[a，﹣b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相關(guān)數(shù)”．
特例感知
“相關(guān)數(shù)”為[1，4，3]的二次函數(shù)的解析式為y1＝x2﹣4x+3；
“相關(guān)數(shù)”為[2，5，3]的二次函數(shù)的解析式為y2＝2x2﹣5x+3；
“相關(guān)數(shù)”為[3，6，3]的二次函數(shù)的解析式為y3＝3x2﹣6x+3；
（1）下列結(jié)論正確的是 ①②③ （填序號(hào)）．
①拋物線y1，y2，y3都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3）；
②拋物線y1，y2，y3與直線y＝3都有兩個(gè)交點(diǎn)；
③拋物線y1，y2，y3有兩個(gè)交點(diǎn)．
形成概念
把滿足“相關(guān)數(shù)”為[n，n+3，3]（n為正整數(shù)）的拋物線yn稱為“一簇拋物線”，分別記為y1，y2，y3，…，yn．拋物線yn與x軸的交點(diǎn)為An，Bn．
探究問(wèn)題
（2）①“一簇拋物線”y1，y2，y3，…，yn都經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （0，3），（1，0） ．
②拋物線yn的頂點(diǎn)為?n，是否存在正整數(shù)n，使△AnBn?n是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
③當(dāng)n≥4時(shí)，拋物線yn與x軸的左交點(diǎn)An，與直線y＝3的一個(gè)交點(diǎn)為Dn，且點(diǎn)Dn不在y軸上．判斷AnAn+1和DnDn+1是否相等，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）①當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝3；②由nx2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，從而得出結(jié)論；③由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，進(jìn)而得出結(jié)論；
①令x＝0和y＝0，從而求得結(jié)果；
②分為n＜3和n＞3兩種情形，先求得y＝nx2﹣（n+3）x+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及?n的縱坐標(biāo)，當(dāng)滿足?n到x軸的距離等于拋物線與x軸的兩點(diǎn)交點(diǎn)之間的距離的一半時(shí)，△AnBn?n是直角三角形，從而列出方程求得結(jié)果；
③求得當(dāng)n≥4時(shí)，拋物線yn與x軸的左交點(diǎn)An及拋物線yn+1與x軸的左交點(diǎn)An+1，求出Dn的橫坐標(biāo)，Dn+1的橫坐標(biāo)為：，計(jì)算AnAn+1，DnDn+1，從而得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝3，
∴拋物線均過(guò)（0，3），
②n由x2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，
當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝4，
當(dāng)n＝2時(shí)，x1＝，
當(dāng)n＝3時(shí)，x1＝2，
由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，
故答案為：①②③；
（2）①y＝nx2﹣（n+3）x+3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴點(diǎn)（0，3）在y＝nx2﹣（n+3）x+3上，
當(dāng)y＝0時(shí)，
nx2﹣（n+3）x+3＝0，
（nx﹣3）?（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1，
∴點(diǎn)（1，0）在y＝nx2﹣（n+3）x+3上，
故答案為：（0，3），（1，0）；
②由①得：y＝nx2﹣（n+3）x+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（1，0），（，0），
?n的縱坐標(biāo)為：，
∵n＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴?n到x軸的距離為：，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)＝2時(shí)，△AnBn?n是直角三角形，
∴n1＝1，n2＝3（舍去），
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)1﹣＝2時(shí)，△AnBn?n是直角三角形，
∴n3＝5，n4＝3（舍去），
綜上所述：n＝1或5；
③AnAn+1和DnDn+1相等，理由如下：
當(dāng)n≥4時(shí)，拋物線yn與x軸的左交點(diǎn)An（，0），拋物線yn+1與x軸的左交點(diǎn)An+1（，0），
當(dāng)nx2﹣（n+3）x+3＝3時(shí)，
x1＝，x2＝0（舍去），
∴Dn的橫坐標(biāo)為：，
同理可得：Dn+1的橫坐標(biāo)為：，
∴AnAn+1＝，DnDn+1＝＝，
∴AnAn+1＝DnDn+1．
20．（2022?蘭山區(qū)二模）如圖，直線l：y＝﹣m與y軸交于點(diǎn)A，直線a：y＝x+m與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝x2+mx的頂點(diǎn)為C，且與x軸左交點(diǎn)為D（其中m＞0）．
（1）當(dāng)AB＝12時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長(zhǎng)最??；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C到直線l距離的最大值；
（3）若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”．當(dāng)m＝2022時(shí)，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．
【分析】（1）由題意求出m＝6，得出拋物線L的解析式為y＝x2+6x，當(dāng)B、P、D三共線時(shí)，△OBP周長(zhǎng)最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，則可求出答案；
（2）求出L的頂點(diǎn)C（﹣，﹣），由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；
（3）聯(lián)立兩個(gè)解析式得出，解得x1＝﹣2022，x2＝1，求出線段和拋物線上各有2024個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則可得出答案．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0吋，y＝x+m＝m，
∴B （0，m），
∵AB＝12，
∵A（0，﹣m），
∴m﹣（﹣m）＝12，
∴m＝6，
∴拋物線L的解析式為：y＝x2+6x，
∴拋物線L的對(duì)稱軸x＝﹣3，D（﹣6，0），
∴O、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，OP＝DP，
∴OB+OP+PB＝OB+DP+PB，
∴當(dāng)B、P、D三共線時(shí)，△OBP周長(zhǎng)最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，
當(dāng)x＝﹣3吋，y＝x+6＝3，
∴P（﹣3，3 ）；
（2）y＝x2+mx＝（x+）2?，
∴拋物線y＝x2+mx的頂點(diǎn)C（﹣，﹣），
∵點(diǎn)C在l上方，
∴C與l的距離＝﹣?（?m）＝?（m?2）2+1≤1），
∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1；
（3）當(dāng)m＝2022時(shí)，拋物線解析式L：y＝x2+2022x，直線解析式a：y＝x+2022，
聯(lián)立上述兩個(gè)解析式，
可得：x1＝﹣2022，x2＝1，
∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣2022和1之間（包括﹣2022和1）共有2024個(gè)整數(shù)；
∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，
∴線段和拋物線上各有2024個(gè)整數(shù)點(diǎn)，
∴總計(jì)4048個(gè)點(diǎn)，
∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，
∴整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4048﹣2＝4046（個(gè)）；
故m＝2022時(shí)“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4046個(gè)．

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