（1）求b的值；
（2）①當(dāng)m＜0時，圖C與x軸交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)P．當(dāng)△MNP為直角三角形時，求m的值；
②在①的條件下，當(dāng)圖象C中﹣4≤y＜0時，結(jié)合圖象求x的取值范圍；
（3）已知兩點(diǎn)A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當(dāng)線段AB與圖象C恰有兩個公共點(diǎn)時，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）由二次函數(shù)的對稱軸直接可求b的值；
（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出方程即可求解；
②求出拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y＝x2﹣4x﹣1關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0）當(dāng)﹣x2+4x+1＝﹣4時，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（﹣1，﹣4），結(jié)合圖像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+時，﹣4≤y＜0；
（3）通過畫函數(shù)的圖象，分類討論求解即可．
【解析】（1）∵已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如圖1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M(jìn)在N的左側(cè)，
∴M（2﹣，0），N（2+，0），
∴MN＝2，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∵△MNP為直角三角形，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
當(dāng)﹣x2+4x+1＝﹣4時，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+時，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如圖2，當(dāng)y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經(jīng)過點(diǎn)A時，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），當(dāng)x＝5時，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）與線段AB有一個交點(diǎn)，
∴m＝﹣4時，當(dāng)線段AB與圖象C恰有兩個公共點(diǎn)；
如圖3，當(dāng)y＝x2﹣4x+m（x≥0）經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時，m＝﹣1，
此時圖象C與線段AB有三個公共點(diǎn)，
∴﹣4≤m＜﹣1時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點(diǎn)；
如圖4，當(dāng)y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時，m＝1，
此時圖象C與線段AB有兩個公共點(diǎn)，
當(dāng)y＝x2﹣4x+m（x≥0）的頂點(diǎn)在線段AB上時，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此時圖象C與線段AB有一個公共點(diǎn)，
∴1≤m＜3時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點(diǎn)；
綜上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點(diǎn)．
【例2】．（2022?湖北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AC的解析式；
（2）當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點(diǎn)始終在直線AC上移動，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點(diǎn)時，設(shè)此時拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，請直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可；
（2）分四種情況討論：①當(dāng)m＞1時，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②當(dāng)m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③當(dāng)m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④當(dāng)m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直線BA的解析式為y＝x﹣5，聯(lián)立方程組，由Δ＝0時，解得h＝，此時拋物線的頂點(diǎn)為（，﹣），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點(diǎn)；②當(dāng)拋物線向右平移k個單位，則向下平移k個單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點(diǎn)，由此可求解．
【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)A（1，﹣4），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x軸，
∴B（2，﹣3），
設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸為直線x＝1，
①當(dāng)m＞1時，
x＝m時，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2時，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②當(dāng)m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m時，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2時，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③當(dāng)m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1時，q＝﹣4，
x＝m+2時，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④當(dāng)m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1時，q＝﹣4，
x＝m時，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，
綜上所述：m的值﹣1或1﹣；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如圖1，當(dāng)拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
設(shè)直線BA的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
聯(lián)立方程組，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
當(dāng)Δ＝0時，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此時拋物線的頂點(diǎn)為（，﹣），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點(diǎn)；
②如圖2，當(dāng)拋物線向右平移k個單位，則向下平移k個單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點(diǎn)，
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點(diǎn)，
∴綜上所述：1＜n≤4或n＝．
【例3】（2022?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點(diǎn)M以每秒1個單位的速度從點(diǎn)C沿CE向點(diǎn)E運(yùn)動，同時點(diǎn)N以每秒2個單位的速度從點(diǎn)E沿EF向點(diǎn)F運(yùn)動，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止．當(dāng)以M、E、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時，求運(yùn)動時間t的值；
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)G是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸下方拋物線上的動點(diǎn)．若過點(diǎn)Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個公共點(diǎn)，且分別與線段GA、GB相交于點(diǎn)H、K，求證：GH+GK為定值．
【分析】（1）二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：y＝ax2+bx+3，將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)t秒后點(diǎn)M的運(yùn)動距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點(diǎn)N的運(yùn)動距離為EN＝2t．分兩種情形，當(dāng)△EMN∽△OBC時，得，解得t＝；當(dāng)△EMN∽△OCB時，得，解得t＝；
（3）首先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AG和BG的解析式，再根據(jù)直線l：y＝kx+m與拋物線只有一個公共點(diǎn)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，可得Δ＝0，再求出點(diǎn)H和k的橫坐標(biāo)，從而解決問題．
【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2+bx+3，
將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，
又∵＝，＝＝，
∴頂點(diǎn)為D；
（2）依題意，t秒后點(diǎn)M的運(yùn)動距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點(diǎn)N的運(yùn)動距離為EN＝2t．
①當(dāng)△EMN∽△OBC時，
∴，
解得t＝；
②當(dāng)△EMN∽△OCB時，
∴，
解得t＝；
綜上所述，當(dāng)或時，以M、E、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似；
（3）∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，
∴，
∵直線l：y＝kx+m與拋物線只有一個公共點(diǎn)，
∴只有一個實(shí)數(shù)解，
∴Δ＝0，
即：，
解得：，
利用待定系數(shù)法可得直線GA的解析式為：，直線GB的解析式為：，
聯(lián)立，結(jié)合已知，
解得：xH＝，
同理可得：xK＝，
則：GH＝＝，GK＝＝×，
∴GH+GK＝+×＝，
∴GH+GK的值為．
【例4】（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），與x軸的另一個交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．
（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是直線AD下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1＝2S2時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下的部分組成新的曲線記為C1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)為G′，將曲線C1沿y軸向下平移n個單位長度（0＜n＜6）．曲線C1與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個公共點(diǎn)記作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形C′G′QP是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式和直線AD的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)E（t，t2﹣t﹣3），F(xiàn)（x，y），過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖1，根據(jù)三角形面積關(guān)系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直線AD的解析式即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意可得：點(diǎn)C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的圖象解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后拋物線剩下部分的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系數(shù)法可得：直線BC的解析式為y＝x﹣3，直線C′G′的解析式為y＝x+3，由四邊形C′G′QP是平行四邊形，分類討論即可．
【解析】（1）①∵拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
當(dāng)y＝0時，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1；
（2）設(shè)點(diǎn)E（t，t2﹣t﹣3），F(xiàn)（x，y），過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），F(xiàn)N＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵點(diǎn)F在直線AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（2，﹣4），
當(dāng)x＝0時，y＝3，即點(diǎn)C （0，﹣3），
∴點(diǎn)C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的圖象解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后拋物線剩下部分的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，
設(shè)直線BC的解析式為y＝k′x+d′（k′≠0），
把點(diǎn)B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
同理直線C′G′的解析式為y＝x+3，
∴BC∥C′G′，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（s，s﹣3），
∵點(diǎn)C′（0，3），G′（2，4），
∴點(diǎn)C′向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點(diǎn)G′，
∵四邊形C′G′QP是平行四邊形，
∴點(diǎn)Q（s+2，s﹣2），
當(dāng)點(diǎn)P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時，
則，
解得：（不符合題意，舍去），
當(dāng)點(diǎn)P在向上翻折部分平移后的圖象上，點(diǎn)Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時，
則，
解得：或（不合題意，舍去），
當(dāng)點(diǎn)P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點(diǎn)Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，
則，
解得：或（不合題意，舍去），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，）或（1﹣，）．
一．解答題（共20小題）
1．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m+的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣），P是拋物線在直線AC上方圖象上一動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線在點(diǎn)A、B之間的部分（含點(diǎn)A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個公共點(diǎn)，請直接寫出圖象M的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)n的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y＝﹣x﹣，如圖1，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AC于點(diǎn)H，則PH＝﹣t2﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝﹣（t+）2+，即可運(yùn)用二次函數(shù)求最值的方法求得答案；
（3）運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)可得圖象G的函數(shù)解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），進(jìn)而根據(jù)平移規(guī)律可得：圖象M的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，﹣n﹣），當(dāng)圖象M經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣）時，可求得：n＝﹣1或n＝2，當(dāng)圖象M的端點(diǎn)B在PC上時，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：圖象M的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
【解析】（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+m+與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣，
如圖1，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AC于點(diǎn)H，
則H（t，﹣t﹣），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝?PH?（xP﹣xA）+?PH?（xC﹣xP）
＝?PH?（xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝﹣（t+）2+，
∴當(dāng)t＝﹣時，S△PAC取得最大值，
此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；
（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2﹣3x﹣在點(diǎn)A、B之間的部分（含點(diǎn)A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，頂點(diǎn)為（﹣3，2），
∴圖象G的函數(shù)解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），
∵圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M，頂點(diǎn)運(yùn)動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴圖象M的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，﹣n﹣），
∴圖象M的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
當(dāng)圖象M經(jīng)過點(diǎn)C（0，﹣）時，
則：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
當(dāng)圖象M的端點(diǎn)B在PC上時，
∵線段PC的解析式為：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），點(diǎn)B（﹣1，0）運(yùn)動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴聯(lián)立可得：，
解得：，
將代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴圖象M的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
2．（2022?保定一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的圖象記為L，點(diǎn)P是L上對稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，作PQ⊥y軸，與L在對稱軸左側(cè)交于點(diǎn)Q；點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（1，1），連接AB．
（1）若t＝1，設(shè)點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為m，n，求n關(guān)于m的關(guān)系式；
（2）若L與線段AB有公共點(diǎn)，求t的取值范圍；
（3）當(dāng)2t﹣3＜x＜2t﹣1時，y的最小值為﹣，直接寫出t的值．
【分析】（1）當(dāng)t＝1時，拋物線為y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的對稱軸為直線x＝1，由點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線x＝1對稱得m+n＝2，即可求得n關(guān)于m的關(guān)系式；
（2）將y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成頂點(diǎn)式y(tǒng)＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，則拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t2+2t﹣6），再說明線段AB在直線x＝1上，由L與線段AB有公共點(diǎn)可列不等式組得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式組求出它的解集即可；
（3）分三種情況，一是直線x＝2t﹣1在拋物線的對稱軸的左側(cè)，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖象不存在最低點(diǎn)，因此不存在y的最小值；二是直線x＝1在直線x＝2t﹣3與直線x＝2t﹣1之間時，拋物線的頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合題意的t值；三是直線x＝2t﹣3在拋物線的對稱軸的右側(cè)，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖象不存在最低點(diǎn)，因此不存在y的最小值．
【解析】（1）如圖1，當(dāng)t＝1時，L為拋物線y＝x2﹣2x﹣2，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵點(diǎn)P、Q分別是對稱軸右側(cè)、左側(cè)L上的點(diǎn)，且PQ⊥y軸，
∴m+n＝2，
∴n＝﹣m+2（m＞1）．
（2）如圖2，L為拋物線y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，
∴L的對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t2+2t﹣6），
∵A（1，0），B（1，1），
∴線段AB在直線x＝1上，
∵L與線段AB有公共點(diǎn)，
∴0≤t2+2t﹣6≤1，
解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，
∴t的取值范圍是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．
（3）當(dāng)2t﹣1＜1，即t＜1時，如圖3，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖象不存在最低點(diǎn)，
∴此時不存在y的最小值；
當(dāng)2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2時，如圖4，
∵L的頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，
∴t2+2t﹣6＝﹣，
解得t1＝，t2＝，
∵＜1，
∴t2＝不符合題意，舍去；
當(dāng)2t﹣3＞1，即t＞2時，如圖5，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖象不存在最低點(diǎn)，
∴此時不存在y的最小值，
綜上所述，t的值為．
3．（2022?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y1＝2x和函數(shù)y2＝﹣x+6，不論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．
（1）求函數(shù)y1和y2圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)有二次函數(shù)y＝x2﹣8x+c，若函數(shù)y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結(jié)論下，若函數(shù)y0和y的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，求c的取值范圍．
【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出x≥2，再根據(jù)二次函數(shù)解析式求出對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得x＜4，從而得解；
（3）①若函數(shù)y＝x2﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點(diǎn)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式整理得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范圍內(nèi)，則符合；②若函數(shù)y＝x2﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點(diǎn)，先利用根的判別式求出c的取值范圍，先求出x＝2與x＝4時的函數(shù)值，然后利用一個解在x的范圍內(nèi)，另一個解不在x的范圍內(nèi)列出不等式組求解即可．
【解析】（1）∵，
∴，
∴函數(shù)y1和y2圖象交點(diǎn)坐標(biāo)（2，4）；
y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y0＝ ；
（2）∵對于函數(shù)y0，y0隨x的增大而減小，
∴y0＝﹣x+6（x ≥2），
又∵函數(shù)y＝x 2﹣8x+c的對稱軸為直線x＝4，且a＝1＞0，
∴當(dāng)x＜4時，y隨x的增大而減小，
∴2≤x ＜4；
（3）①若函數(shù)y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)在2＜x ＜4范圍內(nèi)，
則x 2﹣8x+c＝﹣x+6，即x 2﹣7x+（ c﹣6）＝0，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4（ c﹣6）＝73﹣4c＝0，
解得c＝ ，
此時x1＝x2＝ ，符合2＜x ＜4，
∴c＝ ；
②若函數(shù)y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點(diǎn)，其中一個在2＜x ＜4范圍內(nèi)，另一個在2＜x ＜4范圍外，
∴Δ＝73﹣4c＞0，
解得c ＜ ，
∵對于函數(shù)y0，當(dāng)x＝2時，y0＝4；當(dāng)x＝4時y0＝2，
又∵當(dāng)2＜x ＜4時，y隨x的增大而減小，
若y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6在2＜x ＜4內(nèi)有一個交點(diǎn)，
則當(dāng)x＝2時y＞y0；當(dāng)x＝4時y＜y0，
即當(dāng)x＝2時，y≥4；當(dāng)x＝4時，y≤2，
∴，
解得16＜c ＜18，
又c ＜ ，
∴16＜c ＜18，
綜上所述，c的取值范圍是：c＝ 或16＜c ＜18．
4．（2022?金華模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m為常數(shù)）的圖象記作G，圖象G上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2m．
（1）當(dāng)m＝1，求圖象G的最低點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）平面內(nèi)有點(diǎn)C（﹣2，2）．當(dāng)AC不與坐標(biāo)軸平行時，以AC為對角線構(gòu)造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平行．
①若矩形ABCD為正方形時，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
②圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點(diǎn)時，求m的取值范圍．
【分析】（1）由m＝1代入拋物線解析式，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解；
（2）①將x＝2m代入拋物線解析式求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)即可求解；
②分類討論，數(shù)形結(jié)合解題，根據(jù)A點(diǎn)在圖象G上，再在圖象G上找一個點(diǎn)可以滿足條件，然后根據(jù)m的取值范圍進(jìn)行分類討論進(jìn)行解題即可．
【解析】（1）m＝1時，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴頂點(diǎn)為（1，5），
∵x≤2，
∴圖象G的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）；
（2）①當(dāng)x＝2m時，y＝6m，
∴A（2m，6m），
∵C（﹣2，2），
∵正方形ABCD中，AB與x軸平行，BC與y軸平行，
∴B（﹣2，6m），
同理得D（2m，2），
∵AD＝CD，
∴|6m﹣2|＝|2m+2|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）或（2，6）；
②∵點(diǎn)A在圖象G上，
∴圖象G與矩形ABCD已經(jīng)有一個公共點(diǎn)A，
∵圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點(diǎn)，
∴只需圖象G與矩形ABCD的邊再由一個公共點(diǎn)即可；
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2m，
∴A（2m，6m），
當(dāng)x＝﹣2時，y＝4+10m，
當(dāng)4+10m＝6m時，m＝﹣1，
如圖1，當(dāng)m＜﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，
∴矩形與圖象G只有一個交點(diǎn)A；
當(dāng)m＝﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)﹣1＜m≤0時，圖象G與矩形有兩個交點(diǎn)；
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時，4+10m＝2，
解得m＝﹣，
∴m＞﹣時，圖象G與矩形有兩個交點(diǎn)；
如圖3，
當(dāng)6m＝2時，即m＝，
當(dāng)0＜m＜時，2m＞m，
∵x2﹣2mx+4m＝6m，
整理得，x2﹣2mx＝0，
∵Δ＝4m2≥0，
∵m≠0，
∴Δ＞0，
此時圖象G與AB邊有另一個交點(diǎn)，
∴此時圖象G與矩形ABCD有三個交點(diǎn)，
當(dāng)m＝時，A點(diǎn)坐標(biāo)為（，2），此時AC不與x軸平行，不符合題意；
當(dāng)m＞時，此時圖象G與矩形ABCD有兩個交點(diǎn)；
綜上所述：﹣1＜m≤0或m＞時，圖象G與矩形ABCD有兩個交點(diǎn)．
5．（2022?清鎮(zhèn)市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)B．
（1）拋物線的對稱軸為直線x＝ a ；（用含字母a的代數(shù)式表示）
（2）若AB＝2，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）已知點(diǎn)P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）由拋物線對稱軸為直線x＝﹣求解．
（2）由拋物線對稱軸及點(diǎn)A坐標(biāo)可得點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
（3）分類討論a＞0與a＜0，根據(jù)點(diǎn)A，B，P，Q的坐標(biāo)，結(jié)合圖象求解．
【解析】（1）∵y＝ax2﹣2a2x+1，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝a．
故答案為：a．
（2）∵A，B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴AB＝|2a|＝2，
當(dāng)a＞0時，a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1，
當(dāng)a＜0時，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+1．
（3）將x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，1），
當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，點(diǎn)Q（0，2）在點(diǎn)A（0，1）上方，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2a，1），
∴當(dāng)a+4≥2a時，點(diǎn)P在拋物線上或在拋物線外部，符合題意，
解得a≤4，
當(dāng)a＜0時，點(diǎn)Q在拋物線上方，點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，
當(dāng)點(diǎn)P在拋物線內(nèi)部時，滿足題意，
∴2a≤a+4≤0，
解得a≤﹣4，
綜上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．
6．（2022?五華區(qū)三模）已知拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）若拋物線與y軸的公共點(diǎn)為（0，﹣1），拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)，若有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由；
（3）當(dāng)2≤x≤4時，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值為M，最小值為N，若＝，求m的值．
【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a；
（2）由（1）知a＝﹣，再由拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1）可以求出m的值，然后由Δ＝0，可以得拋物線與x軸有一個公共點(diǎn)，再令y＝0解方程求出x即可；
（3）先求出拋物線對稱軸，然后分﹣2m＜2，2≤﹣2m≤4，﹣2m＞4三種情況分別求出函數(shù)的最大值M和最小值N，由＝求出m的值．
【解析】（1）∵拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣4），
∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
解得：a＝﹣；
（2）由（1）知a＝﹣，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，
∵拋物線與y軸的公共點(diǎn)為（0，﹣1），
∴2m﹣3＝﹣1，
解得m＝1，
∴y＝﹣x2﹣x﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，
∴拋物線與x軸是有一個公共點(diǎn)，
令y＝0，則﹣x2﹣x﹣1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
∴公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0）；
（3）由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，
∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2m，
①當(dāng)﹣2m＜2，即m＞﹣1時，
∵a＜0，拋物線開口向下，
∴當(dāng)2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝2時，M＝y(tǒng)max＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
當(dāng)x＝4時，N＝y(tǒng)min＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m＝﹣，不符合題意；
②當(dāng)2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1時，
若直線x＝2與直線x＝﹣2m接近時，
則當(dāng)x＝﹣2m時y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m﹣3，
當(dāng)x＝4時，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合題意，舍去）；
若直線x＝4與直線x＝﹣2m接近時，
則當(dāng)x＝﹣2m時y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m﹣3，
當(dāng)x＝2時，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
∵＝，
∴＝，
解得：m1＝，m2＝（不符合題意，舍去）；
③當(dāng)﹣2m＞4即m＜﹣2時，
∵a＜0，拋物線開口向下，
∴當(dāng)2≤x≤4時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝2時，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
當(dāng)x＝4時，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m＝﹣（不符合題意，舍去），
綜上所述，m的值為﹣或．
7．（2022?秦淮區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，一個二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若該二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的圖象有2個公共點(diǎn)，求n的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，再將（0，5）代入即可求解；
（2）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的圖象有兩個交點(diǎn)可列出方程a（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解析】（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是（2，1），
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣2）2+1，
將點(diǎn)（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的圖象有2個公共點(diǎn)，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化簡得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2個公共點(diǎn)，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范圍為：n．
8．（2022?鹽城二模）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+a+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），其中a、b為常數(shù)．
（1）用含有字母a的代數(shù)式表示拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)B（﹣，1）、C（2，1）為坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，連接B、C兩點(diǎn)．
①若拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上，求a的值；
②若拋物線與線段BC有且只有一個公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)A（1，0）代入拋物線解析式，可得b＝﹣2﹣2a，繼而求出拋物線對稱軸即可求解；
（2）①根據(jù)題意將x＝1+，y＝1，代入拋物線解方程即可求解；
②分a＞0；a＜0且a≠﹣1；a＝﹣1三種情況進(jìn)行討論求解即可得a的取值范圍．
【解析】（1）∵y＝ax2+bx+a+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），
即當(dāng)x＝1時，y＝a+b+a+2＝0，
∴b＝﹣2﹣2a，
∴y＝ax2﹣（2a+2）x+a+2，
∴對稱軸x＝﹣＝＝1+，
∴拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+；
（2）①拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上，且點(diǎn)B（﹣，1）、C（2，1），
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，且﹣≤1+≤2，
當(dāng)x＝1+時，y＝1，即a（1+）2﹣（2a+2）（1+）+a+2＝1，
整理得：﹣＝1，
解得：a＝﹣1，
檢驗(yàn)，當(dāng)a＝﹣1時，a≠0，
∴a＝﹣1；
②∵對稱軸x＝1+，
當(dāng)a＞0時，對稱軸x＝1+在點(diǎn)A（1，0）的右側(cè)，即xx＝1+＞1，
∵拋物線與線段BC有且只有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)B（﹣，1）、C（2，1），
∴當(dāng)x＝2時，y＜1，即4a﹣2（2a+2）+a+2＜1，
解得：a＜3，
當(dāng)x＝﹣時，y＞1，即a+（2a+2）+a+2≥1，
解得：a≥﹣，
∴0＜a＜3，
當(dāng)a＜0，且a≠﹣1時，對稱軸x＝1+在點(diǎn)A （1，0）的左側(cè)，即x＝1+＜1，拋物線開口向下，且過點(diǎn)A （1，0），
當(dāng)x＝﹣時，y＞1，即a+（2a+2）+a+2＞1，
解得：a＞﹣，
∵a＜0，
∴﹣＜a＜0；
由①知，當(dāng)a＝﹣1時，拋物線頂點(diǎn)恰好在線段BC上，
∴當(dāng)a＝﹣1時，拋物線與線段BC有且只有一個公共點(diǎn)，
綜上所述，拋物線與線段BC有且只有一個公共點(diǎn)時，a的取值范圍是0＜a＜3或﹣＜a＜0或a＝﹣1．
9．（2022?滑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+2x+c與x軸正半軸交于點(diǎn)B（另一個交點(diǎn)為A），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；
（3）已知點(diǎn)P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個公共點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)B（m，0），可得C（0，﹣3m），代入y＝x2+2x+c即可解得拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0可得A（﹣3，0），由圖象即得不等式x2+2x+c≥kx+b的解集為x≤﹣3或x≥0；
（3）設(shè)直線x＝2與拋物線y＝x2+2x﹣3交于K，當(dāng)Q在K及K下方時，線段PQ與拋物線y＝x2+2x﹣3有且只有一個公共點(diǎn)，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝5，根據(jù)2t+1≤5，可得t的取值范圍是t≤2．
【解析】（1）設(shè)B（m，0），則OB＝m，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3m，C（0，﹣3m），
將B（m，0），C（0，﹣3m）代入y＝x2+2x+c得：
，
解得（此時B不在x軸正半軸，舍去）或，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
由圖象可知，當(dāng)x≤﹣3或x≥0時，拋物線在直線上方，即x2+2x+c≥kx+b，
∴不等式x2+2x+c≥kx+b的解集為x≤﹣3或x≥0；
（3）設(shè)直線x＝2與拋物線y＝x2+2x﹣3交于K，如圖：
由圖可知，當(dāng)Q在K及K下方時，線段PQ與拋物線y＝x2+2x﹣3有且只有一個公共點(diǎn)，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝22+2×2﹣3＝5，
∴2t+1≤5，
解得t≤2，
答：線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個公共點(diǎn)，t的取值范圍是t≤2．
10．（2022春?龍鳳區(qū)期中）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x的圖象交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B在右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)恰好為a，動點(diǎn)P、Q同時從原點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒和2個單位長度運(yùn)動，經(jīng)過t秒后，以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標(biāo)軸平行．
（1）求a的值及t＝1秒時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)時，求時間t的取值范圍；
（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點(diǎn)R，作關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對稱點(diǎn)為R′，當(dāng)點(diǎn)M恰在拋物線上時，求R′M長度的最小值，并求此時點(diǎn)R的坐標(biāo)．
【分析】（1）將A（a，﹣2a）代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2可求a的值，設(shè)P（m，﹣2m），由OP＝，可求m的值，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別求出P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），根據(jù)在矩形移動的過程中，M點(diǎn)最先與拋物線有交點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線與矩形最后有交點(diǎn)，即可求t的范圍；
（3）設(shè)R（m，﹣m2﹣2m+2），則R'（﹣m，m2+2m﹣2），由R′M＝，可得當(dāng)（m+1）2＝時，R'M有最小值，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1，即可求R（﹣1，）或（﹣﹣1，）．
【解析】（1）當(dāng)x＝a時，y＝﹣2a，
∴A（a，﹣2a），
∴﹣2a＝﹣a2﹣2a+4﹣a2，
解得a＝，
由題意可知a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x+2，
當(dāng)t＝1時，OP＝，
設(shè)P（m，﹣2m），
∴m＝，
∴m＝1，
∴P（1，﹣2）；
（2）由題意可知，OP＝t，OQ＝2t，
∴P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），
∵四邊形PMQN是矩形，
∴M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），
在矩形移動的過程中，M點(diǎn)最先與拋物線有交點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線與矩形最后有交點(diǎn)，
當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上時，﹣4t2﹣4t+2＝﹣2t，
解得t＝或t＝﹣1（舍），
當(dāng)N點(diǎn)在拋物線上時，﹣t2﹣2t+2＝﹣4t，
解得t＝1+或t＝﹣1﹣（舍），
∴≤t≤1+時，矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)；
（3）設(shè)R（m，﹣m2﹣2m+2），
∴R'（﹣m，m2+2m﹣2），
由（2）知，M（1，﹣1），
∴R′M＝＝，
當(dāng)（m+1）2＝時，R'M有最小值，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
當(dāng)y＝0時，﹣x2﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（﹣1+，0），（﹣1﹣，0），
∵R點(diǎn)在x軸上方，
∴﹣1﹣＜m＜﹣1+，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
∴R（﹣1，）或（﹣﹣1，）．
11．（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）當(dāng)a＝﹣時，求拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）請直接寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線（用含a的代數(shù)式表示）及二次函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是 （1，0） ．
（3）若當(dāng)1≤x≤5時，函數(shù)值有最大值為8，求二次函數(shù)的解析式；
（4）已知點(diǎn)A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個公共點(diǎn)，請直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）利用對稱軸公式求得對稱軸為直線x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用對稱軸公式求得對稱軸，把解析式變形得到y(tǒng)＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函數(shù)經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
（3）根據(jù)（2）可知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1+，分a＞0或a＜0兩種情況，分對稱軸在已知范圍的左邊，中間，右邊分類討論最值即可解答；
（4）分類討論頂點(diǎn)在線段AB上，a＞0，a＜0，由點(diǎn)A，B和拋物線的位置結(jié)合圖象求解．
【解析】（1）a＝﹣時，y＝﹣x2﹣x+
∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴對稱軸為直線x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函數(shù)經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
故答案為：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1+，
分兩種情況：
①當(dāng)a＜0時，1+＜1，
在自變量x的值滿足1≤x≤5的情況下，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝1時，y＝0，
而當(dāng)1≤x≤5時，函數(shù)值有最大值為8，
所以此種情況不成立；
②當(dāng)a＞0時，1+＞1，
i）當(dāng)1＜1+≤3時，即a≥，
當(dāng)x＝5時，二次函數(shù)的最大值為y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此時二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x+3；
ii）當(dāng)1+＞3時，
在自變量x的值滿足1≤x≤5的情況下，y隨x的增大而減小，即x＝1有最大值，
所以此種情況不成立；
綜上所述：此時二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三種情況：
①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上時，拋物線與線段AB只有一個公共點(diǎn)，
即當(dāng)y＝﹣3時，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
當(dāng)a＝時，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合題意，如圖1），
②當(dāng)a＞0時，如圖2，
當(dāng)x＝0時，y＞﹣3；當(dāng)x＝5時，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③當(dāng)a＜0時，如圖3，
當(dāng)x＝0時，y＞﹣3；當(dāng)x＝5時，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
綜上所述，a的取值范圍是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
12．（2022?綏江縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經(jīng)過（3，0）．
（1）求二次函數(shù)的對稱軸；
（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到點(diǎn)B，若二次函數(shù)的圖象與線段AB有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后利用對稱軸方程求解；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求得B（2，3），然后由“二次函數(shù)的圖象與線段AB有公共點(diǎn)”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通過解該不等式求得答案．
【解析】（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經(jīng)過（3，0），
∴把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a，得
9a+3b﹣3a＝0，
化簡，得b＝﹣2a，
∴二次函數(shù)的對稱軸為：．
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到點(diǎn)B，
∴B（2，3），
∵a＜0，開口向下，
∴二次函數(shù)圖象與線段AB有交點(diǎn)時，4a﹣4a﹣3a≤3，
解得a≥﹣1，
故a的取值范圍是：﹣1≤a＜0．
13．（2022?南京一模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)（0，y1），（3，y2）在函數(shù)圖象上，比較y1與y2的大??；
（3）當(dāng)0＜x＜3時，y＜2，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的兩個解，且兩個解不相等即可得出結(jié)論；
（2）先求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），然后分三種情況討論即可；．
（3）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在0＜x＜3范圍內(nèi)分a＞0和a＜0兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；
（2）∵點(diǎn)（0，y1），（3，y2）在函數(shù)圖象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴當(dāng)a＜0或a＞1時，y1＞y2，
當(dāng)a＝1時，y1＝y(tǒng)2，
當(dāng)0＜a＜1時，y1＜y2；
（3）∵二次函數(shù)v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：當(dāng)y＝0時，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函數(shù)的圖象交軸于（﹣1，0）和（1+a，0）兩點(diǎn)，
對稱軸x＝﹣＝，
當(dāng)x＝時，
y＝a（﹣1）（﹣1﹣a）＝a××（﹣）＝﹣
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），
由（2）可知：當(dāng)x＝0時，y1＝a2+a，
當(dāng)t＝3時，y2＝﹣2a2+4a，
當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，
∵0＜x＜3，
∴，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)圖象開口向下，
∵對稱軸x＝，
當(dāng)0＜＜3，即_2＜a＜0時，
二次函數(shù)圖象在頂點(diǎn)處取得最大值，
∴﹣＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
當(dāng)≤0，即a≤﹣2，
由題意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
綜上所述，當(dāng)0＜x＜3時，y＜2，a的取值范圍是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
14．（2022?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），
（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時x的取值范圍．
（2）請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點(diǎn)，并說明理由．
【分析】（1）將（3，m），（n，﹣6）代入直線解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過待定系數(shù)法求解，根據(jù)圖象可得y1＜y2時x的取值范圍．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解析】（1）將（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
將（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），（﹣2，﹣6），
將（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由圖象可得﹣2＜x＜3時，拋物線在直線上方，
∴y1＜y2時x的取值范圍是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
當(dāng)Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0時，兩函數(shù)圖象只有一個公共點(diǎn)，
∴b＝2，c＝﹣2，滿足題意．
15．（2022?花溪區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點(diǎn)
（1）求分別以A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）求b的值，判斷此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，并說明理由；
（3）設(shè)（m，0）是該函數(shù)圖象與x軸的一個公共點(diǎn)．當(dāng)﹣3＜m＜﹣1時，結(jié)合函數(shù)圖象，寫出a的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）把已知點(diǎn)代入解析式，兩式聯(lián)立即可求出b的值；
（3）把m代入ax2+bx+c＝0中，寫出判別式的值，根據(jù)圖象經(jīng)過（﹣2，1），（2，﹣3）兩點(diǎn)，分a＞0和a＜0兩種情況討論即可．
【解析】（1）當(dāng)頂點(diǎn)為A時，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x+2）2+1，
把B的坐標(biāo)代入得，﹣3＝16a+1，
解得a＝﹣，
故當(dāng)A為頂點(diǎn)時的二次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+2）2+1；
當(dāng)頂點(diǎn)為B時，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣3，
把A的坐標(biāo)代入得，1＝16a﹣3，
解得a＝，
故當(dāng)B為頂點(diǎn)時的二次函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣2）2﹣3；
（2）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
兩式相減得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點(diǎn)，
∴此二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點(diǎn)．
（3）∵b＝﹣1，
∴y＝ax2﹣x+c，
∵經(jīng)過A（﹣2，1），
∴4a+2+c＝1，
∴c＝﹣1﹣4a，
由題意得：am2﹣m+c＝0，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
△＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
當(dāng)a＞0時，
則當(dāng)x＝﹣1時，y＝a+1﹣1﹣4a＜0，解得a＞0；
當(dāng)a＜0時，
則當(dāng)x＝﹣3時，y＝9a+3﹣1﹣4a＝5a+2＜0，解得a＜﹣．
則a＜﹣．
綜上：a＞0或a＜﹣．
16．（2022?無錫模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，﹣3），（0，4），點(diǎn)P（m，0）（m≠0）是x軸上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC⊥BP于點(diǎn)D，直線AC與x軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交AC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動時，是否存在點(diǎn)P，使△OCD與△OBD相似？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
（2）小明通過研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)E（x，y）也相應(yīng)的在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上運(yùn)動，為了確定函數(shù)解析式小明選取了一些點(diǎn)P的特殊的位置，計算了點(diǎn)E（x，y）的坐標(biāo)，列表如下：
請?zhí)顚懕碇锌崭?，并根?jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的函數(shù)解析式；
（3）把（2）中所求的拋物線向左平移n個單位長度，把直線y＝﹣2x﹣4向下平移n個單位長度，如果平移后的拋物線對稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點(diǎn)，那么請直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）由圖形可知，∠ABD＝∠ACO，當(dāng)∠OPD＝∠PDO時，△OCD與△OBD相似，通過證∠BAP＝∠PAD，△BOP∽△BDA，利用相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角分線的性質(zhì)即可求出m值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C，點(diǎn)O重合時，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，問題可解；
（3）先求出平移后的拋物線和平移后的直線的解析式，將平移后的直線方程代入平移后的拋物線解析式求出m的值即可求出n的取值范圍．
【解析】（1）存在點(diǎn)P，使△OCD與△OBD相似，理由如下：
如圖，
∵BP⊥AC，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠ABD＝∠ACO，
當(dāng)∠COD＝∠BDO時，OP＝PD，△OCD∽△DBO，
連接AP，則∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∵A（0，﹣3），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝AD＝3，
∵AP＝AP，
∴△AOP≌△ADP（SAS），
∴∠BAP＝∠DAP，OP＝DP，
∴BP：OP＝BP：PD＝AB：AD，
∵P（m，0），OP＝PD＝m，AB＝OB+OA＝7，AD＝AO＝3，
∴BP：m＝7：3，
∴BP＝m，
由△BOP∽△BDA得，OP：AD＝OB：BD，BD＝BP+PD＝m，
∴m：3＝4：（m），解得m＝（負(fù)值舍去）；
∴m的值為．
（2）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，分兩種情況：
①當(dāng)m＞0時，如圖，
∵∠APB＝90°，PO⊥AB，
∴Rt△OPB∽Rt△OAP，
∴OP：OA＝OB：OP，
∴OP：3＝4：OP，
∴OP＝2，
∴P（2，0），即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）；
同理，當(dāng)m＜0時，如圖，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0）；
當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣3）；
填寫表格如下：
∴拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于y軸對稱，b＝0，c＝﹣3，
∴12a﹣3＝0，解得a＝，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3．
（3）∵拋物線y＝x2﹣3向左平移n個單位后為：y＝（x+n）2﹣3，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（﹣n，﹣3），
直線y＝﹣2x﹣4向下平移n個單位為：y＝﹣2x﹣4﹣n，
將頂點(diǎn)（﹣n，﹣3）代入y＝﹣2x﹣4﹣n得，﹣2（﹣n）﹣4﹣n＝﹣3，解得n＝1，
∴平移后的拋物線對稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點(diǎn)時n的取值范圍為n＞1．
17．（2022?朝陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m為常數(shù)）的圖象記作G，圖象G上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2m．平面內(nèi)有點(diǎn)C（﹣2，﹣2）．當(dāng)AC不與坐標(biāo)軸平行時，以AC為對角線構(gòu)造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平行．
（1）當(dāng)m＝﹣2，求圖象G的最高點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若圖象G過點(diǎn)（3，﹣9），求出m的取值范圍；
（3）若矩形ABCD為正方形時，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（4）圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點(diǎn)時，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）由m＝﹣2代入拋物線解析式，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．
（2）由拋物線解析式可得拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（3，﹣9），根據(jù)3≤2m求解．
（3）將x＝2m代入拋物線解析式求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)可得|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，進(jìn)而求解．
（4）分類討論，根據(jù)AB與CD，AD與BC的位置關(guān)系，結(jié)合對應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)位置結(jié)合圖象求解．
【解析】（1）m＝﹣2時，y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16（x≤﹣4），
∴拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，16），
∵﹣4＜﹣2，
∴x＝﹣4時，y＝﹣16+16+12＝12為函數(shù)最大值，
∴圖象G的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，12）．
（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣（x﹣m）2+m2﹣6m，
∴拋物線對稱軸為直線x＝m，
將x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣9，
∴拋物線過定點(diǎn)（3，﹣9），
∴2m≥3，
解得m≥．
（3）將x＝2m代入y＝﹣x2+2mx﹣6m得y＝﹣6m，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（2m，﹣6m），
∵C（﹣2，﹣2），
∴|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，0）或（2，﹣6）．
（4）點(diǎn)A為拋物線與矩形交點(diǎn)，
當(dāng)m＞0時，拋物線對稱軸在線段AD左側(cè)，y軸右側(cè)，
當(dāng)﹣6m＜﹣2時，AB在CD下方，m＞，
∴當(dāng)拋物線頂點(diǎn)（m，m2﹣6m）在CD下方時滿足題意，
∴m2﹣6m＜﹣2，
解得3﹣＜m＜3+，
當(dāng)﹣1＜m≤0時，AD在BC右側(cè)，拋物線對稱軸在AD右側(cè)，拋物線在矩形內(nèi)部的部分y隨x增大而增大，滿足題意，
當(dāng)m＜﹣1時，圖象G與矩形只有1交點(diǎn)為A，
綜上所述，3﹣＜m＜3+或﹣1＜m≤0．
18．（2022?如東縣一模）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)P中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”．
（1）函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為 y＝x﹣1 ，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為 y＝﹣（x+2）2﹣1 ；
（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)P（m，3）互為“伴隨函數(shù)”．若當(dāng)m＜x＜7時，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N關(guān)于點(diǎn)C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）結(jié)合新定義利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）利用數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合圖象，利用新定義的規(guī)定解得即可；
（3）利用分類討論的方法分三種情況解答：①當(dāng)“伴隨函數(shù)”的頂點(diǎn)在AB上時，求得函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用對稱性求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；②當(dāng)兩個函數(shù)的交點(diǎn)在AB上時，利用兩函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③當(dāng)“伴隨函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)B時，將坐標(biāo)代入函數(shù)N的解析式即可確定a的取值范圍．
【解析】（1）∵兩個函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”，
∴兩個函數(shù)的點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，
設(shè)函數(shù)y＝x+1上的任一點(diǎn)為（x，y），則它的對稱點(diǎn)為（﹣x，﹣y），
將（﹣x，﹣y）代入函數(shù)y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1；
同理可得，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案為：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）如圖，當(dāng)m＜x＜7時，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，
∵“伴隨函數(shù)”的開口方向向下，
∴在對稱軸的左側(cè)y隨自變量x的增大而增大，
∴m＜7，同時“伴隨函數(shù)”的對稱軸應(yīng)與直線x＝7重合或在直線x＝7的左側(cè)，
∴m≥，
∴m≥4，
綜上，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，m的取值范圍為4≤m＜7；
（3）a的取值范圍為a＝或a＝或a＞．理由：
①當(dāng)“伴隨函數(shù)”的頂點(diǎn)在AB上時，如圖，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a的對稱軸為直線x＝1，
∵點(diǎn)C（2，0）為對稱中心，
∴函數(shù)N的對稱軸為直線x＝3，
∴函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
∵（3，1）關(guān)于點(diǎn)C（2，0）對稱的點(diǎn)為（1，﹣1），
∴將（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②當(dāng)兩個函數(shù)的交點(diǎn)在AB上時，如圖，
二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）和（3，0），
∵點(diǎn)C（2，0）為對稱中心，
∴函數(shù)N與x軸的交點(diǎn)為（5，0）和（1，0），
∴函數(shù)N的解析式為y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
當(dāng)y＝1時，
，
解得：a＝；
③當(dāng)“伴隨函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)B時，如圖，
∵點(diǎn)B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
綜上，圖形W與線段AB恰有2個公共點(diǎn)，a的取值范圍為a＝或a＝或a＞．
19．（2022?南京模擬）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“距離”，記作d（M，N）．特別的，當(dāng)圖形M，N有公共點(diǎn)時，記作d（M，N）＝0．一次函數(shù)y＝kx+2的圖象為L，L與y軸交點(diǎn)為D，在△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（點(diǎn)D，△ABC）＝ 1 ；當(dāng)k＝1時，求d（L，△ABC）＝ ；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接寫出k的取值范圍 k≥2或k≤﹣2 ；
（3）函數(shù)y＝x+b的圖象記為W，若d（W，△ABC）≤2，則b的取值范圍是 ﹣1﹣2≤b≤1+2 ．
【分析】（1）將x＝0代入直線解析式求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后結(jié)合圖象求解．
（2）分別求出直線經(jīng)過點(diǎn)B，C時k的值，結(jié)合圖象求解．
（3）由y＝x+b與AB平行，結(jié)合圖象分別求出d（W，△ABC）＝2時b的值，進(jìn)而求解．
【解析】（1）將x＝0代入y＝kx+2得y＝2，
∴D（0，2），
∴d（點(diǎn)D，△ABC）＝點(diǎn)D（0，2）到點(diǎn)A（0，1）的距離，
即AD＝2﹣1＝1，
當(dāng)k＝1時，y＝x+2，直線L與AB平行，
如圖，作AE⊥直線y＝x+2，
∵三角形ADE為等腰直角三角形，AD＝1，
∴AF＝＝，
故答案為：1，．
（2）若d（L，△ABC）＝0，則直線L與三角形ABC有交點(diǎn)，
當(dāng)直線L經(jīng)過點(diǎn)B時，將（﹣1，0）代入y＝kx+2得0＝﹣k+2，
解得k＝2，
∴k≥2滿足題意，
當(dāng)直線L經(jīng)過點(diǎn)C時，將（1，0）代入y＝kx+2得0＝k+2，
解得k＝﹣2，
∴k≤﹣2滿足題意，
故答案為：k≥2或k≤﹣2．
（3）將x＝0代入y＝x+b得y＝b，
∴直線y＝x+b與y軸交點(diǎn)為（0，b），
如圖，當(dāng)b＞0時，設(shè)直線y＝x+b與y軸交點(diǎn)為M，與x軸交點(diǎn)為N，作AG⊥MN于點(diǎn)G，
∵直線MN∥AB，
∴當(dāng)AG＝2時，AM＝AG＝2，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，1+2），
∴b＝1+2，
當(dāng)b＜0時，設(shè)直線y＝x+b與y軸交點(diǎn)為Q，與x軸交點(diǎn)為P，作CH⊥PQ于點(diǎn)H，
同理，當(dāng)CH＝2時，CP＝CH＝2，
∴OQ＝OP＝OC+CP＝1+2，
∴b＝﹣1﹣2，
∴﹣1﹣2≤b≤1+2時符合題意．
故答案為：﹣1﹣2≤b≤1+2．
20．（2022?南京模擬）若一個函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，我們將其稱之為“反值點(diǎn)”，例如直線y＝x+2的圖象上的（﹣1，1）即為反值點(diǎn)．
（1）判斷反比例函數(shù)的圖象上是否存在反值點(diǎn)？若存在，求出反值點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（2）判斷關(guān)于x的函數(shù)（a是常數(shù)）的圖象上是否存在反值點(diǎn)？若存在，求出反值點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象向上平移m（m為常數(shù)，且m＞0）個單位后，若在其圖象上存在兩個反值點(diǎn)，求m的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)y＝﹣x時，由“反值點(diǎn)”的定義列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）若y＝﹣x，可得，即可判定此方程無解，據(jù)此即可解答；
（3）首先根據(jù)在其圖象上存在兩個反值點(diǎn)，可得x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，再根據(jù)一元二次方程根的判別式及m＞0，即可求得m的取值范圍．
【解析】（1）反比例函數(shù)的圖象上存在反值點(diǎn)．理由如下：
∵一個函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，我們將其稱之為“反值點(diǎn)“，
∴當(dāng)y＝﹣x時，即，
解得：x＝3或x＝﹣3，
當(dāng)x＝3時，，
當(dāng)x＝﹣3時，，
∴反值點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）關(guān)于x的函數(shù)（a是常數(shù)）的圖象上不存在反值點(diǎn)．理由如下：
∵一個函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，我們將其稱之為“反值點(diǎn)，
∴若y＝﹣x，則，
整理，得：x2+2x+a2+2＝0，
∴Δ＝22﹣4（a2+2）＝﹣4（a2+1），
∵a2+1＞0，
∴﹣4（a2+1）＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根，
∴假設(shè)不成立，
∴關(guān)于x的函數(shù)（a是常數(shù)）的圖象上不存在反值點(diǎn)；
（3）由題意可知：將二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象向上平移m（m為常數(shù)，且m＞0）個單位后所得函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3+m，
∵在其圖象上存在兩個反值點(diǎn)，
∴x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，
整理，得：x2﹣x+m﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣3）＝13﹣4m＞0，
解得：，
∵m＞0，
∴m的取值范圍是．
x
﹣2
0
2
y
0
﹣3
0
x
﹣2
0
2
y
0
﹣3
0

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