能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.
1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ .
2.直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cs〈u，n〉|＝ ＝ .
3.平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝ .
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(　　)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(　　)
(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sin θ＝cs〈u，n〉. (　　)
1.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cs 〈m，n〉＝ ，則直線l與平面α所成的角為A.30° B.60°C.120° D.150°
2.已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為
因?yàn)閟1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
3.平面α的一個(gè)法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(2,2,1)，則平面α與平面β夾角的正切值為
例1　(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為 ，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)直線AB1與CD1所成的角為θ，
又0°＜θ ≤90°，∴θ＝60°，∴直線AB1與CD1所成的角為60°.
(2)(2022·杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)D在 上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為
因?yàn)椤螦OD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，
連接CO，則CO⊥平面ABD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓O的半徑為2，
設(shè)異面直線AD與BC所成的角為θ，
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)注意兩異面直線所成角的范圍是 ，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為_____.
設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD.因?yàn)椤鰽BC和△BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)異面直線AB和CD所成的角為θ，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
例2　(12分)(2022·全國(guó)甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝ .(1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長(zhǎng)](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]
利用空間向量求線面角的解題步驟
(1)證明：AB⊥PD；
取AB的中點(diǎn)M，連接PM，DM，如圖，因?yàn)镻A＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM?平面PDM，所以AB⊥平面PMD，又PD?平面PMD，所以AB⊥PD.
(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值.
于是CM2＋PM2＝16＝PC2，所以PM⊥CM，又PM⊥AB，AB∩CM＝M，MC，AB?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，以M為原點(diǎn)，MC，MB，MP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
平面PAB的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，
設(shè)CE與平面PAB所成的角為θ，
令2＋λ＝t，t∈[2,3]，則λ＝t－2，
于是(tan θ)max＝2.所以直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值為2.
例3　(2023·泰安模擬)如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝ .
(1)求證：平面ABE⊥平面ABC；
取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接DM，MN，EN.
∴四邊形MNED是平行四邊形，∴EN∥DM，EN＝DM，又AC⊥平面BCD，AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵DC＝DB，∴DM⊥BC，
又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM?平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又EN?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC.
(2)求平面ABE與平面BEC夾角的余弦值.
由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接CN，
設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，
又AC＝BC，則CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN?平面ABC，
設(shè)平面ABE與平面BEC的夾角為θ，
利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過(guò)這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小.
跟蹤訓(xùn)練3　(2022·貴陽(yáng)模擬)如圖，AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，PA為圓柱OO′的一條母線，且AP＝AC.
∵AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，∴∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，∵PA為圓柱OO′的一條母線，∴PA⊥AB，∵PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CB，過(guò)C的母線所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，
設(shè)平面PDC的法向量為m＝(a，b，c)，
令b＝2，則a＝0，c＝－1，∴m＝(0,2，－1)，設(shè)平面DPC與平面PCB的夾角為θ，
1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)锳C∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值.
設(shè)AC∩BD＝O.因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，
設(shè)PB與AC所成的角為θ，
2.如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；
由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF?平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.
如圖，作PH⊥EF，垂足為H.由(1)得PH⊥平面ABFD.
設(shè)BF＝1，由(1)可得DE⊥PE.
又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF，
設(shè)DP與平面ABFD所成的角為θ，
3.如圖①，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對(duì)稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖②，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.
(1)證明：OD⊥平面PAQ；
由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長(zhǎng)為m，則O(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,6,0)，C(0,3,6)，D(3,0,6)，Q(6，m,0).∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，
即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q，AQ，PQ?平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.
(2)若BE＝2AE，求平面CBQ與平面ABQ夾角的余弦值.
設(shè)平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，
令z＝1，則y＝2，x＝1，n1＝(1,2,1).易得平面ABQ的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1).設(shè)平面CBQ與平面ABQ的夾角為θ，
4.(2022·新高考全國(guó)Ⅱ改編)如圖，PO是三棱錐P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn).
(1)證明：OE∥平面PAC；
如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接DP，DO，DE.因?yàn)镻A＝PB，所以PD⊥AB.因?yàn)镻O為三棱錐P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因?yàn)锳B?平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD?平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因?yàn)镺D?平面POD，所以AB⊥OD，
又AB⊥AC，AB，OD，AC?平面ABC，所以O(shè)D∥AC.因?yàn)镺D?平面PAC，AC?平面PAC，所以O(shè)D∥平面PAC.因?yàn)镈，E分別為BA，BP的中點(diǎn)，所以DE∥PA.因?yàn)镈E?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE?平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE?平面ODE，所以O(shè)E∥平面PAC.
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面AEC與平面AEB夾角的正弦值.
連接OA，因?yàn)镻O⊥平面ABC，OA，OB?平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，以過(guò)A且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，
設(shè)平面AEB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
令z1＝2，則m＝(0，－3,2)，設(shè)平面AEC與平面AEB的夾角為θ，
5.(2023·莆田模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F(xiàn)為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB∥平面AFC；
連接BD交AC于點(diǎn)O，因?yàn)锳BCD是菱形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).連接OF.因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，所以O(shè)F為△PBD的中位線，所以O(shè)F∥PB.因?yàn)镺F?平面AFC，PB?平面AFC，所以PB∥平面AFC.
(2)請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求平面ACF與平面ACD夾角的余弦值.
在菱形ABCD 中，AC⊥BD.因?yàn)锳B＝AP＝2，
所以O(shè)(0,0,0)，A(0，－1,0)，C(0,1,0)，
顯然m＝(0,0,1)為平面ACD的一個(gè)法向量.設(shè)平面ACF與平面ACD的夾角為θ，
設(shè)平面ACF的法向量為n＝(x，y，z)，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PCA為PC與平面ABCD所成的角，
6.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.
(1)證明：l⊥平面PDC；
在正方形ABCD中，AD∥BC，因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC，又因?yàn)锳D?平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l，因?yàn)樵谒睦忮FP－ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC，且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，因?yàn)镈C∩PD＝D，所以l⊥平面PDC.
(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.
因?yàn)镻D＝AD＝1，則有D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，設(shè)Q(m,0,1)，
設(shè)平面QCD的法向量為n＝(x，y，z)，
令x＝1，則z＝－m，所以平面QCD的一個(gè)法向量為n＝(1,0，－m)，
根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，

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