2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.3-等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(1,32)，則項(xiàng)數(shù)n為( )
A.3 B．4
C．5 D．6
2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且{an}滿足aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，若S3＝13，a1＝1，則eq \f(a3＋a4,a1＋a2)＝( )
A.3 B．4
C．9 D．16
3．已知數(shù)列{an}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝4，S3＝84，則lg2(a1a2a3…a8)的值為( )
A.70 B．72
C．74 D．76
4.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝( )
A.eq \f(15,2) B．eq \f(31,4)
C．eq \f(33,4) D．eq \f(17,2)
5.明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有一段著述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一.”注：“倍加增”意為“從塔頂?shù)剿?，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”.則該塔從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為( )
A.3 B．6
C．96 D．192
6.已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝c＋2·qn，n∈N*，且S3＝14，則a4＝( )
A.48 B．32
C．16 D．8
7.Sn是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S9是S3和S6的等差中項(xiàng)，則eq \f(S12,S6)＝( )
A.eq \f(5,4) B．eq \f(3,4)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
8.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.若S3＝4，S6＝12，則S9＝29
B.若a1＝1，q＝eq \f(3,4)，則Sn＝4－3an
C.若a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝－6
D.若a1＝1，a5＝4a3，則an＝2n－1
二、多選題
9.已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，q是其公比，下列說(shuō)法正確的是( )
A.a1>0 B．q>0
C.a1q>0 D．a(chǎn)1(q－1)>0
10.已知數(shù)列{an}滿足an＋2an－1＝kn，n∈N*，n≥2，則( )
A.當(dāng)k＝0且a1≠0時(shí)，{an}是等比數(shù)列
B.當(dāng)k＝1時(shí)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,3)))是等比數(shù)列
C.當(dāng)k＝－2時(shí)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,?－2?n)))是等差數(shù)列
D.當(dāng)k＝－3且a1＝－3時(shí)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,?－3?n)－3))是等比數(shù)列
11.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.q＝2
B.S8＝512
C.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列
D.數(shù)列{lg an}是公差為2的等差數(shù)列
三、填空題
12.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若a1＝6，a2＋2a3＝6，則公比q＝，S4＝ .
13.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，則a8＝ .
14.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1＝eq \f(1,3)，aeq \\al(2,4)＝a6，則S5＝ .
15.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若aeq \\al(2,1)＝a2，且S3，S1，S2成等差數(shù)列，則S4＝ .
四、解答題
16.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－2n.
(1)令bn＝an－2n，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
17.Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級(jí) 能力提升】
1.已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＋1＝2Sn＋2，則an的值為( )
A.3 B．18
C．54 D．152
2.公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為( )
A.8 B．9
C．10 D．11
3.已知1，a1，a2,4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則eq \f(a1＋a2,b2)的值是( )
A.eq \f(5,2)或－eq \f(5,2) B．－eq \f(5,2)
C.eq \f(5,2) D．eq \f(1,2)
4.(多選題)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若設(shè)其公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則下面結(jié)論不正確的是( )
A.q＝2 B．a(chǎn)n＝2n
C.S10＝2 047 D．a(chǎn)n＋an＋1>an＋2
5.設(shè)Tn為正項(xiàng)等比數(shù)列{an}(公比q≠1)前n項(xiàng)的積，若T2 015＝T2 021，則eq \f(lg3a2 019,lg3a2 021)＝ .
6.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an.
(1)證明：{an＋1－2an}是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立.
參考答案
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．( C )[解析] an＝eq \f(1,32)＝a1qn－1＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，
∴n＝5，故選C.
2．( C )[解析] 因?yàn)閍eq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q(q>0)，則S3＝a1(1＋q＋q2)＝13，得q2＋q－12＝0，解得q＝3(q＝－4舍去)，所以eq \f(a3＋a4,a1＋a2)＝eq \f(q2?a1＋a2?,a1＋a2)＝q2＝9.故選C.
3．( B )[解析] 根據(jù)已知條件求得q以及通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解結(jié)論.∵數(shù)列{an}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝4，S3＝84，設(shè)公比為q，且q>0，∴a1(1＋q＋q2)＝84，解得q＝4，q＝－5(舍)，故an＝4n，∴a1a2a3…a8＝41＋2＋…＋8＝4eq \s\up7(\f(8×?1＋8?,2))＝272，∴l(xiāng)g2(a1a2a3…a8)＝lg2272＝72，故選B.
4.( B )[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則顯然q≠1，由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q·a1q3＝1，,\f(a1?1－q3?,1－q)＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝9，,q＝－\f(1,3)))(舍去)，
∴S5＝eq \f(a1?1－q5?,1－q)＝eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,4).
5.( C )[解析] 根據(jù)題意，可知從塔頂?shù)剿?，每層的燈盞數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)塔頂燈盞數(shù)為a1，則有S7＝eq \f(a1·?1－27?,1－2)＝381，解得a1＝3，從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為a6＝a1q5＝3×25＝96，故選C.
6.( C )[解析] 由已知結(jié)合等比數(shù)列和公式特點(diǎn)先求出c，然后結(jié)合S3＝14求出q及a1，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求.因?yàn)楣葹閝的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝c＋2·qn，根據(jù)等比數(shù)列和的特點(diǎn)可知c＝－2，Sn＝2qn－2，所以S3＝2q3－2＝14，則q＝2，a1＝2，則a4＝24＝16.故選C.
7.( A )[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，由題意可知，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)qn，令A(yù)＝eq \f(a1,1－q)，則Sn＝A－Aqn.因?yàn)镾9是S3和S6的等差中項(xiàng)，所以2S9＝S3＋S6，即2(A－Aq9)＝(A－Aq3)＋(A－Aq6)，整理可得2q6＝1＋q3，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，因?yàn)閝≠1，所以q3＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(S12,S6)＝eq \f(A－Aq12,A－Aq6)＝1＋q6＝eq \f(5,4).故選A.
8.( B )[解析] 利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A，利用等比數(shù)列的求和公式判斷B，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式判斷C，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷D.∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即4,8，S9－12成等比數(shù)列，∴(S9－12)×4＝64，∴S9＝28，∴A錯(cuò)誤；∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝1，q＝eq \f(3,4)，則Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝4－3an，∴B正確；∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a5a6＝－8，∴a4·a7＝－8，又∵a4＋a7＝2，∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，①當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，q3＝－eq \f(1,2)，則a1＝－8，a10＝1，∴a1＋a10＝－7，②當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，q3＝－2，則a1＝1，a10＝－8，∴a1＋a10＝－7，∴C錯(cuò)誤；∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝1，a5＝4a3，∴q2＝4，∴q＝±2，∴an＝(±2)n－1，∴D錯(cuò)誤，故選B.
二、多選題
9.( BD )[解析] 由題意知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：a1>0時(shí)q>1或a10，))
解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2).
(2)假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝eq \f(1,2)，
此時(shí)Sn＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)×3n，
則eq \f(Sn＋1＋\f(1,2),Sn＋\f(1,2))＝eq \f(\f(1,2)×3n＋1,\f(1,2)×3n)＝3，
故存在常數(shù)λ＝eq \f(1,2)，使得數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn＋\f(1,2)))是以eq \f(3,2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級(jí) 能力提升】
1.( C )[解析] ∵an＋1＝2Sn＋2，∴an＝2Sn－1＋2(n≥2)，
兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，
又∵{an}是等比數(shù)列，∴{an}的公比為3.
而a2＝2S1＋2，∴3a1＝2a1＋2，∴a1＝2，
∴an＝2·3n－1，∴a4＝2×33＝54，故選C.
2.( B )[解析] ∵公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，
∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，
∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.
3.( C )[解析] 由題意得a1＋a2＝5，beq \\al(2,2)＝4，又b2與第一項(xiàng)的符號(hào)相同，所以b2＝2.所以eq \f(a1＋a2,b2)＝eq \f(5,2).故選C.
4.( CD )[解析] 本題考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算.因?yàn)閍1＝2，a4＝2a2＋a3，公比為q，所以2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(負(fù)值舍去)，故A正確；an＝2×2n－1＝2n，故B正確；Sn＝eq \f(2×?2n－1?,2－1)＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，故C錯(cuò)誤；an＋an＋1＝2n＋2×2n＝3an，而an＋2＝4an>3an，故D錯(cuò)誤.故選CD.
5.[解析] 由題意得，T2015＝T2 021＝T2 015·a2 016a2 017a2 018a2 019a2 020a2 021，
所以a2 016a2 017a2 018a2 019a2 020a2 021＝1，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，
可得a2 016a2 021＝a2 017a2 020＝a2 018a2 019＝1，
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
所以a2 016a2 021＝eq \f(a\\al(2,2 021),q5)＝1?a2 021＝qeq \s\up7(\f(5,2))，
a2 018a2 019＝eq \f(a\\al(2,2 019),q)＝1?a2 019＝qeq \s\up7(\f(1,2))，
所以eq \f(lg3a2 019,lg3a2 021)＝eq \f(lg3q\s\up7(\f(1,2)),lg3q\s\up7(\f(5,2)))＝eq \f(1,5).
6.[證明] (1)∵an＋2＝5an＋1－6an，
∴an＋2－2an＋1＝5an＋1－6an－2an＋1，
∴an＋2－2an＋1＝3an＋1－6an＝3(an＋1－2an)，
顯然an＋1－2an＝0與a1＝1，a2＝5矛盾，∴an＋1－2an≠0，
∴eq \f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝3，∴數(shù)列{an＋1－2an}是首項(xiàng)為a2－2a1＝5－2＝3，公比為3的等比數(shù)列.
(2)∵an＋2＝5an＋1－6an，∴an＋2－3an＋1＝5an＋1－6an－3an＋1，
∴an＋2－3an＋1＝2an＋1－6an＝2(an＋1－3an)，
顯然an＋1－3an＝0與a1＝1，a2＝5矛盾，∴an＋1－3an≠0，
∴eq \f(an＋2－3an＋1,an＋1－3an)＝2，∴數(shù)列{an＋1－3an}是首項(xiàng)為a2－3a1＝5－3＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1－3an＝2n，①
又由(1)，知an＋1－2an＝3n，②
②－①得，an＝3n－2n，
∴存在兩個(gè)等比數(shù)列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多