考點規(guī)范練27　等比數(shù)列及其前n項和一、基礎(chǔ)鞏固1.已知等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2等于(　　)A.2 B.1 C. D.2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的兩個根,則a1·a2·a25·a48·a49的值為(　　)A. B.9 C.±9 D.353.設(shè)首項為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則(　　)A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an4.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層,上一層的數(shù)量是下一層的2倍,總共有1 016個“浮雕像”,這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列{an},則log2(a3·a5)的值為(　　)A.8 B.10 C.12 D.165.(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是(　　)A. B.C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}6.某公司為擴大產(chǎn)能,于2019年8月20號從銀行貸款a元,為還清這筆貸款,該公司從2020年起每年的8月20號便去銀行償還相同的金額,計劃恰好在貸款的m年后還清.若銀行按年利率為p的復(fù)利計息(復(fù)利:即將一年后的貸款利息也納入本金計算新的利息),則該公司每年的償還金額是(　　)A. B.C. D.7.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=　　　　　. 8.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1==a6,則S5=　　　　　. 9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;(3)求數(shù)列{an}的通項公式.         10.已知數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.       二、綜合應(yīng)用11.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形,一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng),分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合,數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義.如圖,由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基于1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形,具體作法是取一個實心三角形,沿三角形的三邊中點連線.將它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形,若記圖①三角形的面積為,則圖中陰影部分的面積為(　　)A. B.C. D.12.若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可通過適當排序后成等差數(shù)列,也可通過適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于(　　)A.6 B.7 C.8 D.913.(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則下列說法中正確的是(　　)A.數(shù)列{}是等比數(shù)列B.若a3=2,a7=32,則a5=±8C.若a1<a2<a3,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列D.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-1+r,則r=-114.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=　　　　　,a4的最大值為　　　　　. 15.已知等比數(shù)列{an}與等差數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差數(shù)列,b1,a2,b4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)設(shè)Sn,Tn分別是數(shù)列{an},{bn}的前n項和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.          三、探究創(chuàng)新16.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　　. 17.已知數(shù)列{an}滿足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求證:數(shù)列{an+1+2an}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
考點規(guī)范練27　等比數(shù)列及其前n項和1.C　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a3a5=4(a4-1),=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2.∴a2=a1q=2.B　∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的兩個根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,且a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49==9故選B.3.D　根據(jù)題意可得,Sn==3-2an,故選D.4.C　根據(jù)題意可知,最下層的“浮雕像”的數(shù)量為a1,且數(shù)列{an}為公比q=2的等比數(shù)列.當n=7時,S7==1 016,解得a1=8,則an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7),于是a3=25,a5=27,從而a3·a5=25×27=212,可得log2(a3·a5)=log2212=12,故選C.5.AD　當an=1時,log2=0,數(shù)列{log2}不一定是等比數(shù)列;當公比q=-1時,an+an+1=0,數(shù)列{an+an+1}不一定是等比數(shù)列;由等比數(shù)列的定義知數(shù)列和{an+an+1+an+2}都是等比數(shù)列.6.D　設(shè)每年償還的金額為x,根據(jù)題意可得,a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,即a(1+p)m=x,解得x=7.1　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.8　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a4=a1q3=q3,a6=a1q5=q5.=a6,q6=q5.∵q≠0,∴q=3.∴S5=9.解 (1)由題意可得an+1=an.將n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,得a2=4.將n=2代入,得a3=3a2,得a3=12.由于bn=,則b1=1,b2=2,b3=4.(2)數(shù)列{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下:由題意可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以數(shù)列{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.(3)由(2)可得=2n-1,故an=n·2n-1.10.解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.即數(shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,通項公式為an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此數(shù)列{bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,則Sn=11.D　根據(jù)題意知,每一個圖形的面積是前一個圖形面積的,即各圖形的面積構(gòu)成首項為,公比為的等比數(shù)列,故題圖中陰影部分的面積為 12.D　∵a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,∴a+b=p,ab=q.∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.又a,b,-2這三個數(shù)可通過適當排序后成等差數(shù)列,也可通過適當排序后成等比數(shù)列,或解①得解②得∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故選D.13.AC　由于數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則q2n-2,可得=q2是常數(shù),即數(shù)列{}是等比數(shù)列,故A正確;若a3=2,a7=32,則a5==8,故B錯誤;若0<a1<a2<a3,則q>1,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;若a1<a2<a3<0,則0<q<1,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,故C正確;若數(shù)列{an}的前n和Sn=3n-1+r,則a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,由于a1,a2,a3成等比數(shù)列,則=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-,故D錯誤.14.5　　因為{an}是等比數(shù)列,a2a4+2a3a5+a4a6=25,所以+2a3a5+=25,即=25,因為an>0,所以a3+a5=5,故a3+a5≥2=2a4,即a415.解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,等差數(shù)列{bn}的公差為d,則解得(舍)或故an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn==2n-1,Tn=由Sn+Tn>100,得2n+>101.由于是遞增數(shù)列,且26+=85<101,27+=156>101,故n的最小值為7.16.64　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,兩式相除得,解得q=,a1=8,所以a1a2…an=8n,由于拋物線f(n)=-n2+n的對稱軸為直線n=-=3.5,又n∈N*,所以當n=3或n=4時,a1a2…an取最大值為=26=64.17.(1)證明 ∵an+1=an+6an-1(n≥2),∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴an+2an-1≠0(n≥2),=3(n≥2),∴數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項,3為公比的等比數(shù)列.(2)解 由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,則an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,∴an-3n≠0,∴數(shù)列{an-3n}是以2為首項,-2為公比的等比數(shù)列.∴an-3n=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.

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