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?考向28 等比數(shù)列及其前n項和

1．（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.
【詳解】
∵為等比數(shù)列的前n項和，
∴，，成等比數(shù)列
∴，
∴，
∴.
故選：A.

2．（2016·全國高考真題（文））已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．
（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求的前n項和．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【詳解】
試題分析：（Ⅰ）用等差數(shù)列通項公式求；（Ⅱ）求出通項，再利用等比數(shù)列求和公式來求.
試題解析：（Ⅰ）由已知，得，所以數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首項為1，公比為的等比數(shù)列.記的前項和為，則
【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列
【名師點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.

1、等比數(shù)列基本運算的解題技巧
(1)求等比數(shù)列的基本量問題，一般是“知三求二”問題，其核心思想是解方程(組)，一般步驟是：①由已知條件列出首項和公比的方程(組)；②求出首項和公比；③求出項數(shù)或前n項和等其余量．
(2)運用整體思想，達到設(shè)而不求的目的；運用等比定理，即q＝＝＝…＝＝達到化簡目的；運用分類討論思想，討論q＝1和q≠1等問題．
2、利用等比數(shù)列性質(zhì)解題應(yīng)注意的2點
(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．
(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用．
3、等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法

1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).
數(shù)學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.
2. 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
【知識拓展】
1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比數(shù)列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.
3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.
4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為，，xq，xq3.

1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知遞增等比數(shù)列，，，，則（）
A．8 B．16 C．32 D．64
2．（2021·河南鄭州十一中高二期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，若，，則（）．
A．或32 B．或64 C．2或 D．2或
3．（2021·吉林長春市·高三（理））若無窮等比數(shù)列的各項均大于1，且滿足，，則公比________.
4．（2022·全國高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，，為數(shù)列的前項和，則___________.

1．（2021·赤峰二中（理））在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.若a1·a4=32，a2+a3=12，則下列說法中，正確的是（）
①數(shù)列{}是等比數(shù)列；
②a3=4；
③數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列；
④數(shù)列{log2an}是等差數(shù)列
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
2．（2021·黑龍江實驗中學高三（文））已知公比為的等比數(shù)列的首項，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·高三（理））已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．則=（）
A．4或 B．4 C． D．
4．（2021·全國高三專題練習）等比數(shù)列中，，，則的前12項和為（）
A．90 B．60 C．45 D．32
5．（2022·全國高三專題練習）已知是首項為2的等比數(shù)列，是其前n項和，且，則數(shù)列前20項和為（）
A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380
6．（2021·全國高二單元測試）（多選題）已知正項的等比數(shù)列中，，設(shè)其公比為，前項和為，則（）
A． B． C． D．
7．（2021·長春市基礎(chǔ)教育研究中心（長春市基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中心）高三（文））已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，則公比等于________.
8．（2021·云南曲靖·高三（文））已知正項數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項的和等于___________.

9．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學高三（文））在①，②，③，，這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為.已知，___________.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，，且數(shù)列的前項和為，求.
10．（2021·全國）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；
（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．
11．（2021·全國高三）已知數(shù)列的前n項和為，滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項和．
12．（2021·肥城市教學研究中心高三）已知為等比數(shù)列的前n項和，若，且是等差數(shù)列的前三項.
（1）求數(shù)列的前n項和；
（2）求數(shù)列的通項公式，并求使得的的取值范圍.

1．（2021·山東高考真題）在等比數(shù)列中，，，則等于（）
A． B．5 C． D．9
2．（2020·山東高考真題）在等比數(shù)列中，，，則等于（）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
3．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（）
A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線
4．（2020·全國高考真題（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）
A．12 B．24 C．30 D．32
5．（2020·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
6．（2021·全國高考真題）（多選題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）
A． B．
C． D．
7．（2013·重慶高考真題（理））已知是等差數(shù)列, ,公差,為其前項和,若,,成等比數(shù)列,則_____.
8．（2021·湖南高考真題）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
9．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
10．（2020·海南高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求.

1．【答案】D
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項公式計算求解即可.
【詳解】
因為遞增等比數(shù)列中，
所以，
又，
解得，
所以，解得，
所以，
故選：D
2．【答案】B
【分析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)由，可求得，再由可求出，從而可求出的值
【詳解】
∵數(shù)列為等比數(shù)列，，解得，
設(shè)數(shù)列的公比為，，
解得或，
當，則，
當，則．
故選：B．
3．【答案】2
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件，以及的各項均大于1，即可得和的值，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】
因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，
又因為，
解得：或，
由無窮等比數(shù)列的各項均大于1可知，
所以，因為，即，解得：.
故答案為：2.
4．【答案】
【分析】
依題意可得，即數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；
【詳解】
解：因為，
，
.
故答案為：

1．【答案】C
【分析】
由題中條件，計算基本量，可得，依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義，依次判斷即可
【詳解】
由題意，{an}為等比數(shù)列，a1·a4=32，a2+a3=12
由等比數(shù)列的性質(zhì)：

或
又公比q為整數(shù)，

數(shù)列{}，，且，因此數(shù)列{}為等比數(shù)列，故①正確；
，故②不正確；
數(shù)列{Sn+2}，且，因此數(shù)列{}為等比數(shù)列，故③正確；
數(shù)列{log2an}，，因此數(shù)列{}為等差數(shù)列，故④正確；
故選：C
2．【答案】A
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，若，可得，然后再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法即可得到結(jié)果．
【詳解】
由于公比為的等比數(shù)列的首項，
所以，
若，則，所以，即或，
所以公比為的等比數(shù)列的首項，
則“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
3．【答案】B
【分析】
根據(jù)等差中項的應(yīng)用求解出公比，然后將化簡為關(guān)于的形式，由此求解出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列公比為，
因為，，成等差數(shù)列，
所以，
所以，且，
所以
解得或，
為保證有意義，則，所以，
所以，
故選：B
4．【答案】C
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得公比，然后再計算和．
【詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為，則，
所以，同理，
所以．
故選：C．
5．【答案】A
【分析】
從等比數(shù)列的前n項和滿足的等式中，解出公比，進而得到數(shù)列的通項公式，也就得到了數(shù)列的通項公式，而后使用等差數(shù)列求和公式求和.
【詳解】
根據(jù)題意，所以，
從而有，
所以，
所以數(shù)列的前20項和等于

故選：.
6．【答案】ABD
【分析】
由，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的計算，求得，進而求得通項公式和的值，再由，，結(jié)合選項，即可求解.
【詳解】
因為，可得，即，解得或，
又由正項的等比數(shù)列，可得，所以，所以A正確；
數(shù)列的通項公式為，所以B正確；
則，所以C不正確；
由，則，，所以，所以D正確.
故選：ABD.

7．【答案】2
【分析】
由等比數(shù)列以及，可知，由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式可知，聯(lián)立方程求解，根據(jù)可解的答案.
【詳解】
解：由題意得
則，又因為

解得：或（舍去）
故答案為：2
8．【答案】
【分析】
首先由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，進而可得、的通項公式，再利用乘公比錯位相減，分組求和即可求解.
【詳解】
由可得，
因為，所以，即，
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以，
則的前項的和等于，
令，前項的和為，則
，
，
兩式相減可得：

，
所以，
所以前項的和為，
故答案為：.
9．【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.
【分析】
（1）若選擇①②，可設(shè)公比為，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程，求出后可求通項.若選擇③，利用可得，從而可得數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故可得所求的通項.
（2）利用分組求和和裂項相消法可求.
【詳解】
（1）若選①，設(shè)等比數(shù)列的公比為.
，，而
，解得或.
，，.
若選②，設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，
由可得.
，，即.
，，.
若選③，當時，，
即，也滿足，
即數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則.
（2）由（1）知，

.
10．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用遞推作差法求出通項公式，且證明當時也符合，再利用構(gòu)造法結(jié)合已知條件求出的通項公式；
（Ⅱ）借助分組求和、等差、等比數(shù)列求和公式即可求出數(shù)列的前項和．
【詳解】
（Ⅰ）由得
當時，，可得；
當時，，
兩式相減得，
所以，
當時也滿足上式，
所以的通項公式為，
因為，
因為，
所以，
即，且，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

．
11．【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由題得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即得解；
（2）由題得，再利用裂項相消法求解.
【詳解】
（1）由，得，
又，作差得，所以，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則有；
（2）由題得，
所以．
12．【答案】（1）；（2），使得的的取值范圍是，.
【分析】
（1）根據(jù)等差中項列方程，化簡求得，結(jié)合求得，由此求得.
（2）由（1）求得等差數(shù)列的前三項，進而求得，化簡不等式，結(jié)合差比較法求得的取值范圍.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由是等差數(shù)列的前三項，得，
即，
所以，
整理得，解得.
由，得，所以，
所以.
（2）由（1）得，
所以，，
所以等差數(shù)列的前三項為，
所以.
由，得，即.
令，
故有.
當時，，即；
當時，，即，
而.
所以使得的的取值范圍是，.

1．【答案】D
【分析】
由等比數(shù)列的項求公比，進而求即可.
【詳解】
由題設(shè)，，
∴．
故選：D
2．【答案】A
【分析】
求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，
所以，
故選：A.
3．【答案】C
【分析】
首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.
【詳解】
由題意得，即，
對其進行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故選：C.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)，屬于中等題.
4.【答案】D
【分析】
根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點睛】
本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】B
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
所以，
因此.
故選：B.
【點睛】
本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學運算能力.
6.【答案】ACD
【分析】
利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.
【詳解】
對于A選項，，，
所以，，A選項正確；
對于B選項，取，，，
而，則，即，B選項錯誤；
對于C選項，，
所以，，
，
所以，，因此，，C選項正確；
對于D選項，，故，D選項正確.
故選：ACD.
7.【答案】64
【分析】
利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
【詳解】
解：因為為等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,所以,解得,所以.
故答案為：
【點睛】
本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
8.【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)條件求出即可；
（2），然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.
【詳解】
（1）且，，

（2）

9.【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】
（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】
易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.
10.【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)由題意得到關(guān)于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；
(2)首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.
【詳解】
(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，
整理可得：，
，
數(shù)列的通項公式為：.
(2)由于：，故：

.
【點睛】
等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).

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