（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng):
1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂
黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷
草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)榛颍剩?br>又因?yàn)?，則.
故選：C.
2．已知為虛數(shù)單位，、，復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)相等求出、的值，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，，?br>因此，.
故選：A.
3．在所在平面內(nèi)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且，是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，借助向量的線性運(yùn)算用 、表示即可判斷作答.
【詳解】在所在平面內(nèi)，在延長(zhǎng)線上，且，則，又是的中點(diǎn)，
所以.
故選：C
4．已知函數(shù)的最小正周期為，若將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先根據(jù)函數(shù)圖象的平移得到平移后函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式，再根據(jù)其圖象關(guān)于軸對(duì)稱及得到的值，進(jìn)而可得函數(shù)可能的解析式．
【詳解】解：由題意知．
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，
因?yàn)槠鋱D像關(guān)于軸對(duì)稱，
所以．
又，
所以．
即，
由誘導(dǎo)公式知，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
5．在這個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得公差，進(jìn)一步確定滿足題意的可能情況數(shù)，再由古典概型概率公式計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為，
按題意必須滿足， ，
若給定了，則可以取 ，
故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為，
所以三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 ，
故選：C．
6．菠蘿眼常有兩種剔除法：用圖甲所示的去眼刀逐個(gè)挖掉菠蘿眼，或者用圖乙所示的三角刀沿著菠蘿眼挖出一條一條的螺旋線現(xiàn)有一個(gè)波蘿準(zhǔn)備去眼，假設(shè)：該菠蘿為圓柱體，菠蘿有個(gè)菠蘿眼，都均勻的錯(cuò)位排列在側(cè)面上如圖甲若使用去眼刀，則挖出的每一個(gè)菠蘿眼可看成側(cè)棱為，且側(cè)棱與底面成夾角的正四棱錐若使用三角刀，可挖出根螺紋條，其側(cè)面展開(kāi)圖如圖丙所示，設(shè)螺紋條上兩個(gè)相鄰菠蘿眼，的距離為若將根螺紋條看成個(gè)完全一樣的直三棱柱，每個(gè)直三棱柱的高為，其底面為等腰三角形，該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，頂角為，則當(dāng)菠蘿眼的距離接近于（ ）時(shí)，兩種刀法留下的菠蘿果肉一樣多參考數(shù)據(jù)：
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)棱錐及棱柱的體積的計(jì)算公式即可得到答案．
【詳解】欲使留下的果肉一樣多，只需兩種刀法下削掉的菠蘿果肉的體積一樣大．
若用去眼刀削菠蘿，削掉的每個(gè)菠蘿眼視為一個(gè)正四棱錐，
該錐體的高為，底面對(duì)角線長(zhǎng)為，
故正四棱錐的體積為，
菠蘿眼共有個(gè)，故用去眼刀去掉的菠蘿果肉的體積為，
若用三角刀削菠蘿削掉的每根螺紋條視為一個(gè)直三棱柱，
其底面的高為，
底面積為，
直三棱柱的體積為，
故用三角刀去掉的菠蘿果肉的體積為，
由題可得：，
則，
故選：B．
7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②
聯(lián)立①②可得，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故函數(shù)的最小值為.
故選：B.
8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，有，，，由弦長(zhǎng)公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.
【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，
圓O：，圓心為，半徑為，
設(shè)，，點(diǎn)P在雙曲線上，，則有，，可得，
過(guò)O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點(diǎn)，則，，
同理，，由，
四邊形AMBN的面積為，
，化簡(jiǎn)得，則有，則C的離心率.
故選：D
二、多選題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得 5 分，有選錯(cuò)得 0 分，部分選對(duì)得 2 分）
9．已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A利用基本不等式可判斷；對(duì)于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C可用特殊值法判斷；對(duì)于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．
【詳解】，，且，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A正確；
，，且，
，故B正確；
則，故D正確；
取，則，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD．
10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，Q為線段的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（ ）

A．P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為
B．存在點(diǎn)P，使得平面平面
C．的最小值為
D．三棱錐外接球表面積最大值為
【答案】AD
【分析】連接，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的截面為梯形，然后計(jì)算即可得截面面積，可判斷A；假設(shè)存在，然后利用面面平行性質(zhì)定理推得，矛盾，可判斷B；利用側(cè)面展開(kāi)圖可求得最小值，判斷C；利用補(bǔ)形法求外接球表面積即可判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)：連接，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，，且，所以過(guò)D，P，Q三點(diǎn)的截面為梯形，
易知，
作，則，，
所以梯形的面積，A正確；

B選項(xiàng)：若存在點(diǎn)P，使得平面平面，則由平面平面，平面平面可知，顯然不平行，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：將側(cè)面展開(kāi)如圖，顯然當(dāng)Q、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：由題知，兩兩垂直，所以三棱錐外接球，即為以為共頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)方體的外接球，記其半徑為R，
則，
顯然，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)外接球表面積取得最大值，D正確.
故選：AD
11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于
【答案】ACD
【分析】易得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，，求出的坐標(biāo)即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；結(jié)合B選項(xiàng)即可判斷C；結(jié)合A選項(xiàng)，求出，即可判斷D.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，
由，得，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
則，，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，
則，
設(shè)直線，把代入，可得，
令，則，
同理，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，
，
，
由選項(xiàng)A知，
，，
，故D正確．
故選：ACD．

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形面積的比值可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的比值，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為相似比問(wèn)題.
12．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上單調(diào)遞增.若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)中的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性得到函數(shù)為上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，利用參變分離和的取值范圍求出的取值范圍，進(jìn)而求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)為上單調(diào)遞增，
由可得，
，
也即，
則有恒成立，即
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，得到恒成立；
當(dāng)時(shí)，則有，
令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，則，所以BC適合題意，AD不合題意.
故選：BC.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）
13．某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 （結(jié)果填整數(shù)）.
附：若，則，.
【答案】23（22也可以）
【分析】根據(jù)，得出，再乘以總?cè)藬?shù)得出結(jié)果.
【詳解】由每名學(xué)生的成績(jī)，得，
則
，
則優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為.
故答案為：23.
14．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù) ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.
【詳解】取，則定義域?yàn)镽，且，
，，滿足.
故答案為：.
15．已知函數(shù)，在處取到極小值，則實(shí)數(shù) ．
【答案】1
【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求函數(shù)的多階導(dǎo)數(shù)，并分析求得的取值.
【詳解】，由題意可知，，
設(shè)，，，
設(shè)，，，
若，則存在，使，
則，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，
所以，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即，
那么，，函數(shù)單調(diào)遞增，在處不能取到極小值，故不成立，
若，則存在，使，
則，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，又，
所以，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，即，
那么，，函數(shù)單調(diào)遞減，在處不能取到極小值，故不成立，
所以，即.
故答案為：1
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題表面是一道普通的根據(jù)極小值點(diǎn)求參數(shù)的取值問(wèn)題，實(shí)際得需要求多階導(dǎo)數(shù)，再分析出的取值.
16．設(shè)過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為
【答案】
【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合向量知識(shí)建立關(guān)于、的方程即可求出離心率．
【詳解】如圖，

設(shè)為中點(diǎn)，，
由可知，，
由雙曲線的定義可知， ，
由可知，
又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可知，則,
從而為線段的垂直平分線，， 即 ，
所以，則為正三角形，，
在直角△中，，即，所以 ．
故答案為：．
四、解答題（本題共 6 小題，其中 17 題 10 分，18、19、20、21、22 題各 12 分， 共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題：
在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足_______________．
(1)求角的值；
(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理得，即可得結(jié)果；若選②：利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解；若選③：利用正弦定理結(jié)合輔助角公式運(yùn)算求解；
（2）利用面積可得，利用向量運(yùn)算結(jié)合基本不等式分析求解.
【詳解】（1）若選①：因?yàn)椋?br>則
，
解得，且，所以；
若選②：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，
且，則，
可得，整理得，
且，所以；
若選③：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
且，則，可得，
即，可得，
且，則
可知，所以.
（2）因?yàn)榈拿娣e為，則，
由題意可得：，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即，所以的最小值.
18．如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（），連接，，．

(1)證明：；
(2)設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得到折疊前，折疊后由等腰三角形得到，，從而證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得到；
（2）根據(jù)二面角的定義得到二面角的平面角為，結(jié)合（1）得到平面平面，從而可以確定的位置，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求解．
【詳解】（1）證明：因?yàn)槭堑冗吶切?，是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，所以，則，
所以折疊后，，又，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）因?yàn)?，?br>且平面，平面，平面平面，
所以二面角的平面角為，
所以，則，
由（1）知，平面，平面，
所以平面平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，
在等邊中，
所以，即，，，
過(guò)作直線交于點(diǎn)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，取，
設(shè)直線與平面所成角為
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
19．近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過(guò)3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認(rèn)定為"不喜歡網(wǎng)上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)?
(2)社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從，兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買菜.如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為；如果周一選擇平臺(tái)買菜，那么周二選擇平臺(tái)買菜的概率為，求李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率；
(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時(shí)的的值.
參考公式：，其中.
【答案】(1)有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).
(2)
(3)12
【分析】（1）根據(jù)題意，計(jì)算出的值即可求解；
（2）根據(jù)概率的乘法公式求解；
（3）利用二項(xiàng)分布求出，然后計(jì)算，可得結(jié)果.
【詳解】（1）零假設(shè)社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無(wú)關(guān)，
由題可得，
，
所以零假設(shè)不成立，
所以有99.9%的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān).
（2）周二選擇平臺(tái)買菜的情況有：
①周一選擇平臺(tái)買菜，周二選擇平臺(tái)買菜，概率為,
②周一選擇平臺(tái)買菜，周二選擇平臺(tái)買菜，概率為,
所以李華周二選擇平臺(tái)買菜的概率為.
（3）由表知，喜歡網(wǎng)上買菜的頻率為，則,
所以
設(shè)，
令，解得，；
，解得，
所以當(dāng)時(shí)，最大，
所以使取得最大值時(shí)的的值為12.
20．已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，再求得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，求得成立；當(dāng)時(shí)，得到，結(jié)合裂項(xiàng)求和法，求得，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，可得，
令，可得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）解：由（1）知，且，
當(dāng)時(shí)，可得成立；
當(dāng)時(shí)，，
所以
，
因?yàn)?，可得，可得?br>所以，
綜上可得，.
21．如圖，過(guò)軸左側(cè)的一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線交于和四點(diǎn)，并且滿足，．
(1)設(shè)的中點(diǎn)為，證明垂直于軸
(2)若是雙曲線左支上的一點(diǎn)，求面積的最小值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)．
【分析】（1）設(shè)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量關(guān)系，證得點(diǎn)、縱坐標(biāo)相等，從而得證；
（2）根據(jù)向量關(guān)系得，又結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上表示出面積表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)思想求出最小值．
【詳解】（1）設(shè)，，，，
則由，，
，，
可得，．
由點(diǎn)都在拋物線上可得
化簡(jiǎn)可得，
同理可得 ，
故，可視為二次方程的兩根，
由韋達(dá)定理可得，故，由此可得垂直于軸.
（2）由（1）可得，；由，知
，
又是雙曲線左支上的一點(diǎn)，
可得且，
則，
又當(dāng)時(shí)，，
因此，當(dāng)時(shí)取最小值為．
22．已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，在上存在唯一極小值點(diǎn)，且．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即得；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷在單調(diào)遞增，無(wú)極點(diǎn)，在單調(diào)遞增，
由得，由得，可得
，結(jié)合進(jìn)而可得.
【詳解】（1），
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立（且不恒為0）
當(dāng)時(shí)，，
又因所以恒成立，即單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，恒成立
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又，
綜上，的取值范圍
（2）證明：，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
在上單調(diào)遞增，即在上無(wú)極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，恒成立，
在上單調(diào)遞增，
，
由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一一個(gè)，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
在上存在唯一極小值點(diǎn)，
又，，
即
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合計(jì)
年齡不超過(guò)45歲的市民
40
10
50
年齡超過(guò)45歲的市民
20
30
50
合計(jì)
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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