考點一 全等圖形的識別 考點二 全等三角形的性質
考點三 添加一個條件使三角形全等 考點四 全等三角形的判定
考點五 全等三角形判定的一線三等角模型 考點六 全等三角形判定的三垂直模型
考點七 全等三角形判定的倍長中線模型 考點八 全等三角形的動態(tài)問題
考點九 角的平分線的性質
【知識梳理+解題方法】
一、全等圖形
概念：形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.
全等圖形特征：①形狀相同.②大小相等.③對應邊相等、對應角相等.
小結：一個圖形經過平移,翻折,旋轉后,位置變化了,但大小和形狀都沒有改變,即平移,翻折,旋轉前后的圖形全等.
二、全等三角形
概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.
記作: ?ABC ≌ ?A’B’C’讀作：?ABC全等于?A’B’C’
對應頂點：A和A’、B和B’、C和C’
對應邊：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’
對應角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’
對應元素的規(guī)律:
(1)有公共邊的，公共邊是對應邊；(2)有公共角的，公共角是對應角；(3)有對頂角的，對頂角是對應角；
三、 全等三角形的判定（重點）
備注：
1.判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等.2.全等三角形周長、面積相等.
四、證題的思路（難點）
五、 角平分線
概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。
角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；
數(shù)學語言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．
數(shù)學語言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
六、角平分線?？妓姆N輔助線：
1.圖中有角平分線，可向兩邊作垂線. 2.角平分線加垂線，三線合一試試看.
3.角平分線平行線，等腰三角形來添. 4.也可將圖對折看，對稱以后關系出現(xiàn).
【專題過關+能力提升】
考點一 全等圖形的識別
例題：（2021·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校八年級階段練習）下列四個選項中，不是全等圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練】
1．（2022·陜西·西安市東元中學七年級階段練習）下列四組圖形中，是全等圖形的一組是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·八年級專題練習）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）對于兩個圖形，下列結論：①兩個圖形的周長相等；②兩個圖形的面積相等；③能夠完全重合的兩個圖形．其中能得出這兩個圖形全等的結論共有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
考點二 全等三角形的性質
例題：（2021·四川·東坡區(qū)實驗中學八年級期中）如圖，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，則∠C等于（ ）
A．13°B．23°C．33°D．43°
【變式訓練】
1．（2022·貴州·貴陽市烏當區(qū)第三中學八年級期中）如圖，△ABC≌△AEF，則對于結論：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．（2022·吉林省實驗中學八年級階段練習）下列結論中正確的有（ ）
①全等三角形對應邊相等；②全等三角形對應角相等；③全等三角形對應中線、對應高線、對應角平分線相等；④全等三角形周長相等；⑤全等三角形面積相等．
A．5個B．4個C．3個D．2個
3．（2022·江蘇·姜堰區(qū)實驗初中八年級）已知△ABC≌△DEF，AB＝3，AC＝4，△DEF的周長為10，則BC的值為______．
4．（2022·江西贛州·八年級期中）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝96°，∠BAC＝24°，那么∠AED＝______．
考點三 添加一個條件使三角形全等
例題：（2022·山東·濟南市天橋區(qū)濼口實驗學校七年級期中）如圖，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，還需要添加一個條件是_______．（寫出一個即可）
【變式訓練】
1．（2022·廣東·深圳市布心中學七年級期末）如圖，已知AC=DB，再添加一個適當?shù)臈l件______，使△ABC≌△BAD．（只需填寫滿足要求的一個條件即可）
2．（2020·北京·垂楊柳中學八年級期中）如圖，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一個條件是________，△ABC與△DEF全等的理由是________．
3．（2022·浙江·金華市第五中學八年級期末）如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依據(jù)是AAS，需添加的一個條件是 _____．
4．（2022·湖南·新田縣云梯學校八年級階段練習）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，只添加一個條件使△ABC≌△AED，你添加的條件是 _____．
5．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何輔助線，再添加一個合適的條件：______，使△ABC≌△ADE．（只寫出一種即可）
考點四 全等三角形的判定
例題：（2021·江西·鷹潭市余江區(qū)正源學校七年級階段練習）如圖，點B，F(xiàn)，C，E四點在同一條直線上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求證：△ABC≌△DEF．
【變式訓練】
1．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學校八年級）如圖， A、E、F、C在一條直線上， AF＝CE，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，AB＝CD，求證：
(1)△ABF≌△CDE
(2)BG＝DG
2．（2020·北京二中八年級期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上（F，C之間不能直接測量），點A，D在l異側，測得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．
(1)求證：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，則FC的長度為 m．
3．（2021·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校八年級階段練習）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點C為AE的中點，AB =CD，BC = DE．
(1)求證：△ABC≌△CDE；
(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△ ，邊與邊CD的交點為F ，連接EF，若EF將CDE分為面積相等的兩部分，且AB = 4，則 CF =
考點五 全等三角形判定的一線三等角模型
例題：（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作，DE交線段AC于E．
(1)點D從B向C運動時，逐漸變__________（填“大”或“小”），但與的度數(shù)和始終是__________度．
(2)當DC的長度是多少時，，并說明理由．
【變式訓練】
1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如圖1，求證：BD＝CE；
(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
2．（2022·全國·八年級）（1）如圖①，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．
（2）應用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，且CD＝2BD，點E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．
3．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．
(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關系是____________；
(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；
(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．
考點六 全等三角形判定的三垂直模型
例題：（2021·福建·武夷山市第二中學八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ⊥CE于點E，AD ⊥CE于點D．
（1）求證：△BCE ≌△CAD；
（2）若AD =12， BE =5，求ED的長．
【變式訓練】
1．（2021·天津·八年級期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于E．
(1)如圖（1）所示，若B，C在AE的異側，易得BD與DE，CE的關系是DE＝ ；
(2)若直線AE繞點A旋轉到圖（2）位置時，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE，CE的關系如何？請予以證明；
(3)若直線AE繞點A旋轉，（BD＞CE），問BD與DE，CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明．
2．（2022·廣東佛山·七年級階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時， 度；
(2)求證：DE=CD+BE；
(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．
3．（2022·廣東·河源廣賦創(chuàng)新學校八年級階段練習）如圖，在中，，，直線經過點，且于，于．
(1)當直線繞點旋轉到①的位置時，求證：①≌；②；
(2)當直線繞點旋轉到②的位置時，求證：；
(3)當直線繞點旋轉到③的位置時，試問、、具有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．
4．（2021·北京·東北師范大學附屬中學朝陽學校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．
（1）當直線l不與底邊AB相交時，
①求證：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關系并證明．
（2）將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D（D不與AB點重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關系．（直接寫出）
考點七 全等三角形判定的倍長中線模型
例題：（2021·甘肅·莊浪縣陽川中學八年級期中）已知△ABC中，AB=3，AC=4，則中線AD的取值范圍是______．
【變式訓練】
1．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)豐麗學校七年級期末）（1）如圖，在中，，，點G是的中點，求中線的取值范圍；
（2）如圖，在四邊形中，，點E是的中點．若是的平分線．試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．
2．（2022·山東德州·八年級期末）（1）方法呈現(xiàn)：
如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應用：
如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．
3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：
(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學根據(jù)所要求的結論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．
①請在圖中通過作輔助線構造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；
②求證：AC＝2OP．
考點六 全等三角形的動態(tài)問題
例題：（2021·四川·東坡區(qū)實驗中學八年級期中）如圖，在?ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，點P從A點出發(fā)，沿A→C路徑向終點C運動；點Q從點B出發(fā)，沿B→C→A路徑向終點A運動．點P和Q分別以每秒1cm和3cm的運動速度同時開始運動．其中一點到達終點時另一點也停止運動，在某時刻，分別過點P和Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，則點P運動時間為_____時，?PEC與?QFC全等．
【變式訓練】
1．（2021·貴州·興義市萬峰林民族學校八年級期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度向點C勻速運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CD方向以2cm/s的速度向點D勻速運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．設運動時間為t（s）（0

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