考點(diǎn)一：算術(shù)平方根
算術(shù)平方根的定義：
一個(gè)正數(shù) SKIPIF 1 < 0 的平方等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的算術(shù)平方根。表示為 SKIPIF 1 < 0 。
算術(shù)平方根的性質(zhì)：
①算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：算術(shù)平方根本身大于等于0，算術(shù)平方根的被開方數(shù)也大于等于0。即 SKIPIF 1 < 0 ≥0， SKIPIF 1 < 0 ≥0。
非負(fù)性的應(yīng)用：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0。
即若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 0。
②一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)數(shù)本身。即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
③一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值。再根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)去絕對值符號。即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
④規(guī)定0的算術(shù)平方根是0。
⑤算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)有0和1。
算術(shù)平方根的估算：
利用夾逼法對算術(shù)平方根進(jìn)行估算。
【考試題型1】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根
【解題方法】根據(jù)定義以及表示方法求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根。注意這個(gè)數(shù)本身是算術(shù)平方根時(shí)要先計(jì)算出它的值在求它的算術(shù)平方根。
例題講解：1．（2022春?汶上縣期中）9的算術(shù)平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．81
【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出，然后再求出它的算術(shù)平方根即可解決問題．
【解答】解：∵＝3，
∴9的算術(shù)平方根是3．
故選：B．
（2022春?哈巴河縣期中） SKIPIF 1 < 0 的算術(shù)平方根是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】利用算術(shù)平方根的意義解答即可．
【解答】解：∵＝4，4的算術(shù)平方根為2，
∴的算術(shù)平方根是2，
故選：B．
【考試題型2】算術(shù)平方根的非負(fù)性
【解題方法】根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0進(jìn)行求解。注意非負(fù)數(shù)還有絕對值，偶次方。
例題講解：2．（2022春?鏡湖區(qū)校級期中）若 SKIPIF 1 < 0 ，則x+y的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，由此得到x﹣1＝0，x+y＝0，然后即可求解．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝0，x+y＝0，
所以x+y＝0．
故選：B．
【考試題型3】算術(shù)平方根的性質(zhì)
【解題方法】根據(jù)一個(gè)算的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)本事，一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值，在根據(jù)絕對值求解。
例題講解：3．（2022春?巴東縣期中）若a＝ SKIPIF 1 < 0 ，則a＝（ ）
A．5B．± SKIPIF 1 < 0 C．±5D．﹣5
【分析】由算術(shù)平方根，平方的定義，即可計(jì)算．
【解答】解：∵a＝（）2，
∴a＝5．
故選A．
（2022秋?長寧區(qū)校級期中）計(jì)算： SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性得出結(jié)論即可．
【解答】解：＝4﹣π，
故答案為：4﹣π．
考點(diǎn)二：平方根
平方根的定義：
一個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的平方等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則這個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平方根。表示為 SKIPIF 1 < 0 。
平方根的性質(zhì)：
①正數(shù) SKIPIF 1 < 0 的平方根有2個(gè)，分別是 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，他們互為相反數(shù)。
②規(guī)定0的平方根是0。所以0的平方根只有一個(gè)，就是它本身。
③負(fù)數(shù)沒有平方根。
求一個(gè)數(shù)的平方根：
求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算就做開平方，與平方預(yù)算互為逆運(yùn)算。即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ?？杀硎緸?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
【考試題型1】求一個(gè)數(shù)的平方根
【解題方法】根據(jù)定義以及表示方法求解。
例題講解：7．（2022春?郾城區(qū)期中）9的平方根是（ ）
A．±3B．±9C．3D．﹣3
【分析】直接根據(jù)平方根的定義求解即可．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根為±3．
故選：A．
【考試題型2】根據(jù)平方根的性質(zhì)求值
【解題方法】利用正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為0求解。
例題講解：8．（2022春?岳麓區(qū)校級期中）若2m﹣4與3m﹣1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，則這個(gè)正數(shù)為（ ）
A．1B．4C．±1D．±4
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴2m﹣4＝﹣2，
∴這個(gè)正數(shù)為4，
故選：B．
【考試題型3】利用平方根解方程
【解題方法】根據(jù)定義以及表示方法求解。
例題講解：9．（2022春?通城縣期中）求下列各式中的x．
（1）x2﹣143＝1； （2）4x2﹣16＝0．
【分析】（1）移項(xiàng)，然后根據(jù)平方根的定義解方程即可求解；
（2）移項(xiàng)，然后根據(jù)平方根的定義解方程即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣143＝1，
x2＝143+1，
x2＝144，
x＝±12，
∴x1＝12，x2＝﹣12；
（2）4x2＝16，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
考點(diǎn)三：立方根
立方根的定義：
一個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的立方等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則這個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的立方根。表示為 SKIPIF 1 < 0 。
立方根的性質(zhì)：
①任何數(shù)都有立方根且只有一個(gè)。正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。
②一個(gè)數(shù)的立方根的立方等于它本身。即 SKIPIF 1 < 0 。
③一個(gè)數(shù)的立方的立方根等于它本身。即 SKIPIF 1 < 0 。
④一個(gè)數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的立方根。即 SKIPIF 1 < 0 。
⑤立方根等于它本身的數(shù)有0和±1。
求一個(gè)數(shù)的立方根：
求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。
【考試題型1】求一個(gè)數(shù)的立方根
【解題方法】根據(jù)立方根的定義及其表示方法求解。
例題講解：10．（2022秋?蕭縣期中）﹣ SKIPIF 1 < 0 的立方根為（ ）
A．﹣ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．﹣ SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】直接根據(jù)立方根的定義解答即可．
【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，
∴﹣的立方根為﹣．
故選：A．
【考試題型2】立方根的性質(zhì)
【解題方法】根據(jù)立方根，平方根的性質(zhì)判斷即可。
例題講解：11．10．（2022春?建安區(qū)期中）下列各式：① SKIPIF 1 < 0 ＝±3；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ＝0.6；④± SKIPIF 1 < 0 ＝±5；⑤ SKIPIF 1 < 0 ＝﹣2；⑥ SKIPIF 1 < 0 ＝﹣3．其中正確的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】利用平方根、立方根知識進(jìn)行求解、辨別．
【解答】解：∵＝3，，＝0.6，±＝±5，＝2，＝﹣3，
∴語句①，③，⑤表述不正確，語句②，④，⑥表述正確，
故選：B．
【考試題型3】利用立方根解方程
【解題方法】根據(jù)立方根的定義及其表示方法求解。
例題講解：12．（2022春?禹城市期中）解下列方程
（1）x2﹣121＝0； （2）64（x﹣2）3﹣1＝0．
【分析】（1）根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣121＝0，
x2＝121，
x＝±11；
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0，
64（x﹣2）3＝1，
（x﹣2）3＝，
x﹣2＝，
x＝．
【考試題型4】算術(shù)平方根、平方根以及立方根的綜合
【解題方法】根據(jù)三者的定義、表示方法以及性質(zhì)進(jìn)行求解。
例題講解：13．（2022秋?南安市期中）已知實(shí)數(shù)a+9的一個(gè)平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b
的算術(shù)平方根．
【分析】根據(jù)平方根、立方根以及算術(shù)平方根的定義解決此題．
【解答】解：由題意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8．
∴b＝4，a＝16．
∴2a+b＝32+4＝36．
∴2a+b的算術(shù)平方根是＝6．
考點(diǎn)四：無理數(shù)
無理數(shù)的定義：
無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)。
無理數(shù)的三種形式：
①開方開不盡的數(shù)。如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ...
②無限不循環(huán)小數(shù)。（特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)）如0.101 001000100001…（兩個(gè)1之間依次多一
個(gè)0）
③含有π的式子。
無理數(shù)的估算：
無理數(shù)的估算多采用夾逼法進(jìn)行。
例如：估算 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
計(jì)算 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
計(jì)算 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【考試題型1】判斷無理數(shù)
【解題方法】根據(jù)無理數(shù)的三種形式即可判斷無理數(shù)。
例題講解：14．（2022秋?南崗區(qū)校級期中）在1.41， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，﹣π，0.2， SKIPIF 1 < 0 中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義（無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)）逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：＝3，
無理數(shù)有，﹣π，共有2個(gè)．
故選：B．
【考試題型2】無理數(shù)的估算
【解題方法】通?？疾鞜o理數(shù)在哪兩個(gè)正數(shù)之間或無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，根據(jù)夾逼法判斷無理數(shù)在那兩個(gè)正數(shù)之間，由此也可判斷無理數(shù)的整數(shù)部分，然后用無理數(shù)減去它的整數(shù)部分來得到無理數(shù)的小數(shù)部分。
例題講解：15．（2022秋?江都區(qū)期中）估計(jì)5﹣ SKIPIF 1 < 0 的值在（ ）
A．2到3之間B．3到4之間C．4到5之間D．5到6之間
【分析】根據(jù)求平方和不等式的性質(zhì)進(jìn)行求算．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴3＜5﹣＜4，
故選：B．
（2022春?倉山區(qū)校級期中）已知a是 SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)部分，b是 SKIPIF 1 < 0 的小數(shù)部分，則ab＝ ．
【分析】估算無理數(shù)的大小得到a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴ab＝3（﹣3）＝3﹣9．
故答案為：3﹣9．
考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)
實(shí)數(shù)的定義：
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。
實(shí)數(shù)的分類：
可根據(jù)定義分類： 可根據(jù)正負(fù)分類：

注意：熟悉鞏固有理數(shù)的分類。
【考試題型1】實(shí)數(shù)分類
【解題方法】根據(jù)無理數(shù)的兩種分類方法進(jìn)行分類即可。
例題講解：16．（2022春?永善縣期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號中：
0.3，﹣1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，3.14， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0.125， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
負(fù)數(shù)集合{ …}；
整數(shù)集合{ …}；
有理數(shù)集合{ …}；
無理數(shù)集合{ …}．
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)分類進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵，，，，，，，
∴負(fù)數(shù)集合；
整數(shù)集合；
有理數(shù)集合；
無理數(shù)集合．
故答案為：﹣1，，，；﹣1，，0，，；0.3，﹣1，，0，，3.14，，，，0.125；，，，．
考點(diǎn)六：實(shí)數(shù)的性質(zhì)
實(shí)數(shù)的相反數(shù)：同有理數(shù)一樣，只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。
實(shí)數(shù)的絕對值：同有理數(shù)一樣，正實(shí)數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)。
【考試題型1】求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對值
【解題方法】利用求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值的方法進(jìn)行求解。
例題講解：17．（2022春?南靖縣期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用相反數(shù)的定義判斷．
【解答】解：A、∵﹣＝﹣3，＝3，
∴﹣與互為相反數(shù)，A選項(xiàng)符合題意；
∵＝﹣2，﹣＝﹣2，
∴＝﹣，B選項(xiàng)不符合題意；
|﹣|＝，C選項(xiàng)不符合題意；
∵＝﹣2，
∴與不是互為相反數(shù)，D不符合題意．
故選：A．
（2022秋?遼陽期中）1﹣ SKIPIF 1 < 0 的絕對值是（ ）
A．1﹣ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ﹣1C．1+ SKIPIF 1 < 0 D．±（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ）
【分析】直接利用絕對值的定義分別分析得出答案．
【解答】解：1﹣的絕對值是﹣1．
故選：B．
考點(diǎn)七：實(shí)數(shù)與數(shù)軸
實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：同有理數(shù)一樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)存在一一對應(yīng)關(guān)系。
互為相反數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)在原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)距離相等。實(shí)數(shù)的絕對值表示實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離。
【考試題型1】確定數(shù)軸上的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)
【解題方法】利用已知條件求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可得到點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)。注意點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè)，即實(shí)數(shù)的正負(fù)。
例題講解：17．（2022秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，面積為3的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為﹣1，若AD＝AE，則數(shù)軸上點(diǎn)E所表示的數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ﹣1B． SKIPIF 1 < 0 +1C．﹣ SKIPIF 1 < 0 +1D． SKIPIF 1 < 0
【分析】先求出張方形的邊長AD，再根據(jù)向右動就用加法計(jì)算求解．
【解答】解：正方形ABCD的邊長為：，
∴點(diǎn)E所表示的數(shù)為：﹣1+，
故選：A．
考點(diǎn)八：實(shí)數(shù)的大小比較
任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行大小比較，正實(shí)數(shù)大于0大于負(fù)實(shí)數(shù)。兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)進(jìn)行比較時(shí)絕對值大的反而小。
數(shù)軸上右邊的實(shí)數(shù)恒大于數(shù)軸上左邊的實(shí)數(shù)。
兩個(gè)正無理數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，若根指數(shù)相同，被開方數(shù)越大則無理數(shù)越大，若被開方數(shù)不同，則可利用無理數(shù)的估算進(jìn)行比較大小。
【考試題型1】無理數(shù)的大小比較
【解題方法】利用比較方法逐一比較。若在特點(diǎn)的范圍內(nèi)，可以采用賦值法比較。
例題講解：18．（2022秋?天河區(qū)校級期中）a，b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣aB．a(chǎn)＜b＜﹣b＜﹣aC．a(chǎn)＜﹣b＜﹣a＜bD．﹣b＜a＜b＜﹣a
【分析】先根據(jù)a，b兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷出其符號，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵由圖可知，a＜0＜b，|b|＜|a|，
∴0＜b＜﹣a，a＜﹣b＜0，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a．
故選：A．
（2022春?昭陽區(qū)期中）已知0＜a＜1，則a， SKIPIF 1 < 0 ，a2， SKIPIF 1 < 0 的大小關(guān)系為（ ）
SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較方法逐一比較即可求解．
【解答】解：由0＜a＜1，
則可令，
∴，
，
，
∴，
故選：B．
考點(diǎn)九：實(shí)數(shù)的簡單運(yùn)算
運(yùn)算法則同有理數(shù)，先算乘方，再算乘除，最后算加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。
對無理數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只有根指數(shù)與被開方數(shù)相同的兩個(gè)無理數(shù)才能進(jìn)行加減。計(jì)算方法與合并同類項(xiàng)類似，根指數(shù)與被開方數(shù)不變，把它前面的數(shù)進(jìn)行加減。
【考試題型1】實(shí)數(shù)的運(yùn)算
【解題方法】結(jié)合算術(shù)平方根、平方根、立方根、有理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。
例題講解：19．
【考試題型2】定義新運(yùn)算法則
【解題方法】根據(jù)定義運(yùn)算法則，結(jié)合算術(shù)平方根、平方根、立方根、有理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。
例題講解：20．22．（2022春?應(yīng)城市期中）計(jì)算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ． （2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）直接利用立方根性質(zhì)化簡以及有理數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）直接利用算術(shù)平方根性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)分別化簡計(jì)算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣3﹣
＝﹣；
（2）
＝5+﹣1﹣+2
＝6．
23．（2022春?西城區(qū)校級期中）對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b定義兩種運(yùn)算：a▲b＝ SKIPIF 1 < 0 ，a▼b＝ SKIPIF 1 < 0 并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號內(nèi)的，例如（﹣2）▲3＝3、（﹣2）▼3＝﹣2、（（﹣2）▲3））▼2＝2，那么（ SKIPIF 1 < 0 ▲2）▼ SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C．6D．3 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)定義的兩種運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，先做括號內(nèi)的，即可解答．
【解答】解：（▲2）▼
＝▼
＝▼3
＝，
故選：A．
【專題過關(guān)】
一．平方根（共3小題）
1．（2022秋?鯉城區(qū)校級期中）49的平方根是（ ）
A．±7B．7C．﹣7D．不存在
【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵（±7）2＝49，
∴49的平方根為±7，
故選：A．
2．（2022春?花山區(qū)校級期中）已知（x+1）2＝9，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）
A．2B．﹣4C．2或﹣4D．﹣2或4
【分析】直接利用平方根的定義解答即可．
【解答】解：因?yàn)椋▁+1）2＝9，
所以x+1＝±3，
所以x＝2或﹣4．
故選：C．
3．（2022秋?昌平區(qū)期中）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根為3a﹣7和a+3，求a和m的值．
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)（一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)）解決此題．
【解答】解：由題意得，3a﹣7+a+3＝0．
∴a＝1．
∴a+3＝4．
∴m＝16．
二．算術(shù)平方根（共2小題）
4．（2022春?昭平縣期中）按如圖所示程序框圖計(jì)算，若輸入的值為x＝16，則輸出結(jié)果為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．± SKIPIF 1 < 0 C．4D．﹣ SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)程序圖及算術(shù)平方根的計(jì)算方法，依次計(jì)算即可．
【解答】解：第一次運(yùn)算，輸入16，取算術(shù)平方根為4，返回繼續(xù)運(yùn)算，
第二次運(yùn)算，輸入4，取算術(shù)平方根為2，返回繼續(xù)運(yùn)算，
第三次運(yùn)算，輸入2，取算術(shù)平方根為，是無理數(shù)，輸出結(jié)果．
故選：A．
5．（2022春?南譙區(qū)期中）若 SKIPIF 1 < 0 ，|b|＝5，且ab＜0，則a+b的算術(shù)平方根為（ ）
A．4B．2C．±2D．3
【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值意義和ab＜0求出a、b值，從而求出a+b值，再求出其算術(shù)平方根即可．
【解答】解：∵，
∴a＝9，
∵|b|＝5，
∴b＝±5，
∵ab＜0，
∴a＝9，b＝﹣5，
∴a+b＝9﹣5＝4，
∴a+b的算術(shù)平方根為，
故選：B．
三．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共2小題）
6．（2022春?禹城市期中）若m、n滿足 SKIPIF 1 < 0 +|n﹣1|＝0，則（m+n）3的平方根為（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m，n的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵m、n滿足+|n﹣1|＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣1＝0，
∴m＝3，n＝1，
∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，
∴±＝±8．
故選：D．
7．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）若 SKIPIF 1 < 0 ，則3a+2b＝ ．
【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出a、b的值，進(jìn)而可求出3a、2b的和．
【解答】解：∵，≥0，|3﹣b|≥0，
∴a﹣2＝0，3﹣b＝0，
∴a＝2，b＝3；
因此3a+2b＝6+6＝12．
故答案為12．
四．立方根（共3小題）
8．（2022春?高昌區(qū)期中）下列等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】利用立方根的意義，平方根的意義，算術(shù)平方根的意義和二次根式的性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵＝﹣3，
∴A選項(xiàng)符合題意；
∵＝9，
∴B選項(xiàng)不符合題意；
∵±＝±5，
∴C選項(xiàng)不符合題意；
∵＝|﹣2|＝2，
∴D選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
9．（2022秋?沈北新區(qū)期中） SKIPIF 1 < 0 的平方根是（ ）
A．±8B．±4C．±2D．± SKIPIF 1 < 0
【分析】首先根據(jù)立方根的定義化簡，然后根據(jù)平方根的定義即可求出結(jié)果．
【解答】解：∵＝4，
又∵（±2）2＝4，
∴的平方根是±2．
故選：C．
10．（2022秋?鹽都區(qū)期中）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算術(shù)平方根．
【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，最后代入代數(shù)式求解即可．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2＝4，
∴x＝6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7＝27
把x的值代入解得：
y＝8，
∴x2+y2的算術(shù)平方根為10．
五．無理數(shù)（共2小題）
11．（2022秋?海州區(qū)期中）下列八個(gè)數(shù)：﹣8，2.7，﹣2， SKIPIF 1 < 0 ，0. EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps18 \ \ad(\s \up 9(·),6)，0，3 SKIPIF 1 < 0 ，0.8080080008……（每兩個(gè)8之間逐次增加一個(gè)0），無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】利用無理數(shù)的定義來判斷，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．
【解答】解：在實(shí)數(shù)﹣8，2.7，﹣2，，0.，0，3，0.8080080008……（每兩個(gè)8之間逐次增加一個(gè)0）中，無理數(shù)有，0.8080080008……（每兩個(gè)8之間逐次增加一個(gè)0），共2個(gè)．
故選：C．
12．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）在下列各數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3.1415926C． SKIPIF 1 < 0 D．﹣ SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項(xiàng)．
【解答】解：A．＝2，2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．3.1415926是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
D．﹣是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
六．實(shí)數(shù)（共1小題）
13．（2022春?順平縣期中）在下列各數(shù)中，哪些數(shù)是有理數(shù)，哪些數(shù)是無理數(shù)，哪些數(shù)是整數(shù)？
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，3.14，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0.15， SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的分類求解即可．
【解答】解：有理數(shù)：，，3.14，0，，，，0.15；
無理數(shù)：，，，，；
整數(shù)：0，，，．
七．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共3小題）
14．（2022秋?太原期中）實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的絕對值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D．﹣6
【分析】根據(jù)絕對值的定義解決此題．
【解答】解：﹣的絕對值是：．
故選：A．
15．（2022春?盂縣期中）下列說法中正確的（ ）
A．2022的相反數(shù)表示為﹣（﹣2022）
B．9的算術(shù)平方根表示為 SKIPIF 1 < 0
C．﹣π的絕對值表示為|π|
D．16的立方根表示為 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用絕對值、相反數(shù)、算數(shù)平方根、立方根的表示方法進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．2022的相反數(shù)表示為﹣2022，故不合題意；
B．9的算術(shù)平方根表示為，故符合題意；
C．﹣π的絕對值表示為|﹣π|，故不合題意；
D．16的立方根表示為，故不合題意．
故選：B．
16．（2022春?平輿縣期中）對于結(jié)論：當(dāng)a+b＝0時(shí)，a3+b3＝0也成立．若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出這樣的結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù)”．若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互為相反數(shù)，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【分析】直接利用立方根的定義結(jié)合相反數(shù)的定義得出y的值，再利用平方根的定義、立方根的定義得出答案．
【解答】解：∵和互為相反數(shù)，
∴，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∴x+5＝0，
解得：x＝﹣5，
則x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
故x+y的立方根是：＝﹣2．
八．實(shí)數(shù)與數(shù)軸（共3小題）
17．（2022秋?鄞州區(qū)期中）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE＝，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可得點(diǎn)E所表示的數(shù)．
【解答】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1，且點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，
∴點(diǎn)E表示的數(shù)為1+．
故選：B．
18．（2022春?新羅區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，則|a﹣b|﹣ SKIPIF 1 < 0 的結(jié)果是（ ）
A．2a﹣bB．b﹣2aC．bD．﹣b
【分析】首先由數(shù)軸可得a＜b＜0，然后利用二次根式與絕對值的性質(zhì)，即可求得答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|﹣＝|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．
故選：C．
19．（2022春?哈巴河縣期中）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示﹣ SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m．
（1）實(shí)數(shù)m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在數(shù)軸上還有C、D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有|2c+d|與 SKIPIF 1 < 0 互為相反數(shù)，求2c﹣3d的平方根．
【分析】（1）通過A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算．
（2）化簡絕對值進(jìn)行運(yùn)算．
（3）根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義進(jìn)行解答．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)2個(gè)單位處，
∴點(diǎn)B所表示的數(shù)m為：﹣+2，即2﹣，
故答案為：2﹣；
，則m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值為2．
（3）∵|2c+d|與互為相反數(shù)，
∴|2c+d|+＝0，
∴|2c+d|＝0，且d+4＝0，
解得：c＝2，d＝﹣4，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根為±4．
答：2c+3d的平方根為±4．
九．實(shí)數(shù)大小比較（共3小題）
20．（2022秋?輝縣市期中）在實(shí)數(shù)0、﹣4、﹣π、﹣ SKIPIF 1 < 0 中，最小的數(shù)是（ ）
A．0B．﹣4C．﹣πD．﹣ SKIPIF 1 < 0
【分析】先估算出的值的范圍，然后進(jìn)行比較即可解答．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵3.52＝12.25，
∴3.5＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3.5，
∴在實(shí)數(shù)0、﹣4、﹣π、﹣中，0＞﹣π＞﹣＞﹣4，
∴最小的數(shù)是﹣4，
故選：B．
21．（2022秋?天河區(qū)校級期中）a，b是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列，正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣aB．a(chǎn)＜b＜﹣b＜﹣aC．a(chǎn)＜﹣b＜﹣a＜bD．﹣b＜a＜b＜﹣a
【分析】先根據(jù)a，b兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷出其符號，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵由圖可知，a＜0＜b，|b|＜|a|，
∴0＜b＜﹣a，a＜﹣b＜0，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a．
故選：A．
22．（2022秋?鄖西縣期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
（1）填空：a 0，b 0，c 0（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）直接寫出|a﹣c|＝ ，|a﹣b|＝ ，|1﹣b|＝ ；
（3）化簡：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸得出答案即可；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可；
（3）先去掉絕對值符號，再合并同類項(xiàng)即可．
【解答】解：（1）由數(shù)軸可得，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
故答案為：＞，＞，＜；
（2）由（1）知：a﹣c＞0，a﹣b＜0，1﹣b＜0，
∴|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|1﹣b|＝b﹣1，
故答案為：a﹣c，b﹣a，b﹣1；
（3）由數(shù)軸可得，a﹣c＞0，1﹣c＞0，a﹣b＜0，
原式＝（a﹣c）﹣2（1﹣c）﹣（a﹣b）
＝a﹣c﹣2+2c﹣a+b
＝c+b﹣2．
一十．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）
23．（2022秋?南湖區(qū)校級期中）已知n為整數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則n等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先估算出與的值的范圍，即可解答．
【解答】解：∵36＜40＜49，
∴6＜＜7，
∵49＜50＜64，
∴7＜＜8，
∵n為整數(shù)，且，
∴n＝7，
故選：C．
24．（2022秋?皇姑區(qū)校級期中）已知 SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則ab的值為 ．
【分析】只需首先對估算出大小，從而求出其整數(shù)部分a，再進(jìn)一步表示出其小數(shù)部分即可解決問題．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3；
所以a＝2，b＝﹣2；
故ab＝2×（﹣2）＝2﹣4．
故答案為：2﹣4．
25．（2022秋?羅湖區(qū)校級期中）根據(jù)推理提示，回答下列問題：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即1＜ SKIPIF 1 < 0 ＜2，
∴ SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為 SKIPIF 1 < 0 ﹣1．
（1） SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 ．
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 的小數(shù)部分為m， SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)部分為n，求2m+n﹣2 SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
（3）已知：10+ SKIPIF 1 < 0 ＝a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，則a＝ ，b＝ ．
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可；
（2）估算無理數(shù)、的大小，確定m、n的值，再代入計(jì)算即可；
（3）根據(jù)無理數(shù)的大小，進(jìn)而得出10+的大小，確定a、b的值．
【解答】解：（1）∵＜＜，即3＜＜4，
∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分為﹣3，
故答案為：3，﹣3；
（2）∵＜＜，即2＜＜3，
∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分m＝﹣2，
∵＜＜，即4＜＜5，
∴的整數(shù)部分n＝4，
∴2m+n﹣2
＝2﹣4+4﹣2
＝0，
故答案為：0；
（3）∵5＜＜6，
∴15＜10+＜16，
又∵10+＝a+b，其中a是整數(shù)，且0＜b＜1，
∴a＝15，b＝10+﹣15＝4﹣5，
故答案為：15，4﹣5．
一十一．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共2小題）
26．（2022春?鐵西區(qū)期中）計(jì)算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由算術(shù)平方根、立方根的定義進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；
（2）由乘方、立方根、絕對值的意義進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣2.3；
（2）
＝
＝
＝．
27．（2022春?五峰縣期中）計(jì)算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）先求算術(shù)平方根及化簡絕對值，然后計(jì)算加減即可；
（2）先求出算術(shù)平方根及立方根，然后化簡絕對值，最后計(jì)算加減即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝4+（﹣3）×3﹣|﹣4|
＝4+（﹣9）﹣4
＝﹣9．

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)?？碱}型突破練習(xí)專題02 實(shí)數(shù)（2份打包，原卷版+解析版）

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