考點一 同底數(shù)冪的乘法與逆用 考點二 冪的乘方運算與逆用
考點三 積的乘方運算與逆用 考點四 冪的混合運算
考點五 單項式乘多項式及多項式乘多項式 考點六 已知多項式乘積不含某項求字母的值
考點七 多項式乘多項式與圖形面積 考點八 求完全平方式中的字母系數(shù)
考點九 整式四則混合運算及化簡求值 考點十 乘法公式與幾何圖形
考點十一 通過對完全平方公式變形求值及求最值
考點十二 判斷是否是因式分解 考點十三 已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)
考點十四 因式分解 考點十五 因式分解的應(yīng)用
【知識梳理+解題方法】
一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)
(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.
（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，
即（都是正整數(shù)）.
（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.
二、冪的乘方法則
(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
要點詮釋：（1）公式的推廣： (，均為正整數(shù))
（2）逆用公式： ，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.
三、積的乘方法則
(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
要點詮釋：（1）公式的推廣： (為正整數(shù)).
（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：
注意事項
（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.
（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.
（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.
（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.
（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.
（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.
四、單項式乘單項式
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.
要點詮釋：
（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.
（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.
（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.
（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.
五、單項式與多項式相乘的運算法則
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
即.
要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.
（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.
（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.
（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.
六、多項式與多項式相乘的運算法則
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.
七、平方差公式
平方差公式：
兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.
要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.
抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：
（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準型
（2）系數(shù)變化：如
（3）指數(shù)變化：如
（4）符號變化：如
（5）增項變化：如
（6）增因式變化：如
八、完全平方公式
完全平方公式：
兩數(shù)和 (差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.
要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：

九、添括號法則
添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.
要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.
十、補充公式
；；
；.
十一、因式分解
把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.
（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.
十二、公因式
多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.
要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.
（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.
（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.
十三、提公因式法
把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．
要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準確找出多項式各項的公因式.
（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.
（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.
十四、公式法——平方差公式
兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：
要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.
（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.
（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.
十五、公式法——完全平方公式
兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；
（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.
（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.
【專題過關(guān)+能力提升】
考點一 同底數(shù)冪的乘法與逆用
例題1：（2022·河南平頂山·七年級期末）計算：______．
例題2：（2022·廣東·高州市第一中學(xué)附屬實驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知 ，，則=____
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·新化縣東方文武學(xué)校七年級期中）=________________．
2．（2022·湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺中學(xué)七年級期中）計算： ____________．
3．（2022·山東·北辛中學(xué)七年級階段練習(xí)）＝_____．
4．（2022·江蘇·江陰市青陽初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知，的值是_______．
5．（2022·江蘇·南師附中新城初中黃山路分校七年級期中）若，，則______．
考點二 冪的乘方運算與逆用
例題1：（2022·湖南永州·七年級期中）計算______．
例題2：（2022·廣東·佛山市順德區(qū)勒流育賢實驗學(xué)校七年級期中）已知，，則＝（ ）
A．24B．36C．48D．12
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建·晉江市南僑中學(xué)八年級階段練習(xí)）當(dāng)時，則=_____
2．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）已知2m＝8n＝4，則m＝_____，2m+3n＝_____．
3．（2022·江西撫州·七年級期中）已知：，，則______．
4．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)尚西中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，，則＝（ ）
A．10B．5C．2D．40
5．（2021·浙江·嵊州市馬寅初初級中學(xué)七年級期中）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
考點三 積的乘方運算與逆用
例題1：（2022·湖南·測試·編輯教研五七年級期末）計算 的結(jié)果是（ ）
A．8x6 y2B．4 x6 y2C．4 x5 y2D．8 x5 y2
例題2：（2021·河南·鶴壁市外國語中學(xué)八年級開學(xué)考試）計算：
(1)已知，求的值；
(2)已知n為正整數(shù)，且，求的值．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·安徽·合肥新華實驗中學(xué)七年級期中）計算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·江蘇·南京鐘英中學(xué)七年級階段練習(xí)）若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問題：
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值；
（3）若，，用含x的代數(shù)式表示y．
4．（2020·吉林·長春市第十三中學(xué)校七年級期中）已知，， ．
（1）當(dāng)，時， ， ．
（2）當(dāng)，時， ， ．
（3）觀察（1）和（2）的結(jié)果，可以得出結(jié)論： （n為正整數(shù)）．
（4）此性質(zhì)可以用來進行積的乘方運算，反之仍然成立．如，，…．應(yīng)用上述等式，求的值．
考點四 冪的混合運算
例題：（2022·安徽阜陽·八年級期末）計算:；
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·上海市民辦新復(fù)興初級中學(xué)七年級期末）計算：．
2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）計算：
(1)； (2)； (3)．
3．（2022·福建·晉江市南僑中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算：
(1) (2)+
4．（2022·重慶市第十一中學(xué)校七年級期中）計算：
(1)； (2)．
5．（2022·全國·七年級）計算：
（1） （2）
考點五 單項式乘多項式及多項式乘多項式
例題1：（2022·江蘇·阜寧縣實驗初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）計算的結(jié)果是________．
例題2：（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)七年級階段練習(xí)）計算：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建·晉江市南僑中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算∶
(1) (2)
(3) (4)
2．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值，其中．
3．（2021·福建·上杭縣第三中學(xué)八年級階段練習(xí)）計算：
4．（2022·福建·福州立志中學(xué)八年級期末）計算．
考點四 已知多項式乘積不含某項求字母的值
例題：（2022·福建·晉江市南僑中學(xué)八年級階段練習(xí)）如果的結(jié)果中不含x的五次項，那么m的值為（ ）
A．1B．0C．-1D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·福建省泉州市培元中學(xué)八年級期中）如果的展開式中不含項，則a的值是（ ）
A．5B．C．0D．
2．（2021·廣東·惠州大亞灣區(qū)金澳實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）若x﹣m與x+3的乘積中不含x的一次項，則m的值為（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
3．（2022·河北·安新縣第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知多項式A＝2x3﹣2mx2+3x﹣1，B＝﹣x3+2x2+nx+6，若A﹣B的結(jié)果中不含x2和x項，則m，n的值為（ ）
A．m＝﹣1，n＝3B．m＝﹣1，n＝﹣3C．m＝1，n＝3D．m＝1，n＝﹣3
4．（2022·四川·達川區(qū)金華學(xué)校七年級期中）在與的積中，不含有xy項，則a=_____．
考點七 多項式乘多項式與圖形面積
例題：（2022·廣東·深圳市寶安區(qū)中英公學(xué)七年級期中）如圖，學(xué)校操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）
(1)用含，的整式表示花壇的面積；
(2)若，，工程費為元平方米，求建花壇的總工程費為多少元？
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·安徽·宿城第一初級中學(xué)七年級期中）如圖，一個長方形中剪下兩個大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示）留下一個“T”型的圖形（陰影部分）
(1)用含，的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．
(2)若米，“T”型區(qū)域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價．
2．（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級期中）如圖，長為，寬為的大長方形被分割成小塊，除陰影部分A，B外，其余塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為．
(1)由圖可知，每個小長方形較長一邊長為________．（用含的代數(shù)式表示）
(2)分別用含，的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．
(3)當(dāng)取何值時，陰影部分A與陰影部分的面積之差與的值無關(guān)？并求出此時陰影部分A與陰影部分的面積之差．
3．（2022·浙江杭州·七年級期中）如圖所示，有一塊邊長為(3a+b)米和(a+2b)米的長方形土地，現(xiàn)準備在這塊土地上修建一個長為(2a+b)米，寬為(a+b)米的游泳池，剩余部分修建成休息區(qū)域．
(1)請用含a和b的代數(shù)式表示休息區(qū)域的面積；（結(jié)果要化簡）
(2)若，，求休息區(qū)域的面積；
(3)若游泳池面積和休息區(qū)域的面積相等，且，求此時游泳池的長與寬的比值．
考點八 求完全平方式中的字母系數(shù)
例題：（2022·廣西·桂林市雁山中學(xué)七年級期中）若是完全平方式，則k的值為____________．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·云南文山·七年級期中）若代數(shù)式是完全平方式，則k等于（ ）
A．B．8C．16D．
2．（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)七年級期中）若多項式x2﹣4x+m是一個完全平方式，則m的值為_____．
3．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)七年級期中）若是關(guān)于的完全平方式，則______．
4．（2022·山東煙臺·八年級期中）關(guān)于的二次三項式是完全平方式，則的值是______________．
考點九 乘法公式化簡運算
例題1：（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)七年級期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．個B．個C．個D．個
例題2：（2022·湖南邵陽·七年級期末）計算：
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川樂山·八年級期末）化簡：
2．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x＝1，y＝2；
3．（2022·河南平頂山·七年級期末）運用整式乘法公式先化簡，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
4．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)泰山分校七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x=-1，y=2．
5．（2021·湖南·長沙一中岳麓中學(xué)八年級階段練習(xí)）整式化簡：
(1)；
(2)．
6．（2022·黑龍江大慶·七年級期末）先化簡，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
考點十 乘法公式與幾何圖形
例題1：（2022·江西·撫州市實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．
(1)如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式： ；
(2)運用你所得到的乘法公式，計算或化簡下列各題：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
例題2：（2021·寧夏·永寧縣回民高級中學(xué)七年級期中）如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪力均分成園塊小長方形，然后接圖b的形狀拼成一個正方形．
(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？
(2)求出圖b中陰影部分的面積_______．
(3)觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．
(4)根據(jù)（3）圖中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則_______．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·吉林吉林·八年級期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是 ；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個矩形，則它長為 ；寬為 ；面積為 ．
（2）由（1）可以得到一個公式： ．
（3）利用你得到的公式計算：．
2．（2022·陜西渭南·七年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．
(1)【探究】通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成下列各題：
①已知，2m＋n＝4，則2m－n的值為______；
②計算：；
(3)【拓展】計算：．
3．（2021·浙江·嵊州市馬寅初初級中學(xué)七年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，老師準備了若干個如圖 1 的三種紙片，種紙片是邊長為的 正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形， 并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖 2 的大正方形．
(1)觀察圖 2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；
(2)若要拼出一個面積為的矩形， 則需要號卡片 1 張，號卡片 2 張，號卡片________張．
(3)根據(jù)（1） 題中的等量關(guān)系，解決如下問題：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
4．（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．
(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關(guān)系是_____．
(2)知識運用：若x﹣y=5，xy=6，則=_____．
(3)知識遷移：設(shè)A=，B=x+2y﹣3，化簡的結(jié)果．
(4)知識延伸：若，代數(shù)式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
考點十一 通過對完全平方公式變形求值及最值
例題1：（2021·湖南·衡陽市第十七中學(xué)八年級期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代數(shù)式的值．
例題2：（2022·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：
在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因為，因為，所以，即的最小值是3．
問題：
(1)小麗的求解過程正確嗎？
(2)你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；
(3)求的最大值．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東·萬杰朝陽學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a2+b2的值
(2)求（a-b）2的值
2．（2021·黑龍江·大慶市大同區(qū)同祥學(xué)校七年級期中）閱讀：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，請你根據(jù)上述解題思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
3．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢中學(xué)七年級階段練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．
例如，求的最小值問題．
解：，
又，，的最小值為．
請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比較代數(shù)式：與的大?。?br>4．（2022·江蘇·靖江市實驗學(xué)校七年級期中）上數(shù)學(xué)課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學(xué)們運用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴當(dāng)x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題
(1)知識再現(xiàn)：當(dāng)x＝____時，代數(shù)式的最小值是_____；
(2)知識運用：若，當(dāng)x＝____時，y有最____值（填“大”或“小”），這個值是____；
(3)知識拓展：若，求y+2x的最小值．
考點十二 判斷是否是因式分解
例題：（2021·福建省泉州市培元中學(xué)八年級期中）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建·尤溪縣坂面中學(xué)八年級期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+）D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
2．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）下列等式從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
考點十三 已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)
例題：（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)尚西中學(xué)八年級階段練習(xí)）把多項式因式分解得(x+3)(x+2)，則m＝_____．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河北保定·八年級期末）若多項式因式分解為，則________．
2．（2022·浙江舟山·七年級期末）已知二次三項式分解后有一個因式為，則______．
考點十四 因式分解
例題1：（2022·黑龍江大慶·八年級期末）因式分解：
(1)； (2)
例題2：（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）因式分解：
例題3：（2022·廣東·南山實驗教育集團八年級期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：．
這種分解因式的方法叫分組分解法．
請利用這種方法分解因式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）因式分解
(1)； (2)．
2．（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)八年級階段練習(xí)）分解因式：
(1) (2) (3)
3．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）因式分解：
4．（2022·福建三明·八年級期中）閱讀下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
這樣，我們得到．
利用上式可以將某些二鎰項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項，一次項系數(shù)，這是一個型式子．
解：
請仿照上面的方法將下列多項式分解因式．
(1)
(2)
5．（2022·山西呂梁·八年級期末）閱讀以下材料，并解決問題：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式則不能直接用上述兩種方法進行分解，比如多項式．．這樣我們就需要結(jié)合式子特點，探究新的分解方法．仔細觀察這個四項式，會發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項結(jié)合為一組符合平方差公式特點，把它的后兩項結(jié)合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進行因式分解后會出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個式子的因式分解．具體過程如下：
例1：
……………………分成兩組
………………分別分解
………………………提取公因式完成分解
像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見性”，預(yù)見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分組的目的是_________________．
(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？
__________________；
__________________．
(3)利用分組分解法進行因式分解：．
考點十五 因式分解的應(yīng)用
例題：（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團外國語中學(xué)七年級期中）閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)，則a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇·鹽城市鹿鳴路初級中學(xué)七年級期中）閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)，則 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．
2．（2022·江蘇·揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校七年級期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，
例題：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
問題：
(1)不論x，y為何有理數(shù)，的值均為( )
A．正數(shù) B．零 C．負數(shù) D．非負數(shù)
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．

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