專題02 軸對稱圖形突破核心考點【知識梳理+解題方法+專題過關(guān)】-2022-2023學年八年級數(shù)學上學期期中期末考點大串講（蘇科版）-試卷下載-教習網(wǎng)

專題02 軸對稱圖形（突破核心考點）【聚焦考點+題型導航】考點一軸對稱圖形的識別考點二軸對稱圖形的性質(zhì) 考點三畫軸對稱及設(shè)計軸對稱圖形考點四線段的垂直平分線性質(zhì)與判定考點五角平分線的性質(zhì)與判定考點六等腰三角形的定義與性質(zhì) 考點七利用等腰三角形定義與性質(zhì)的多解題考點八等腰三角形中全等綜合問題三角形的性質(zhì)與判定【知識梳理+解題方法】一、軸對稱與軸對稱圖形 1.軸對稱圖形如果一個平面圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸.這時,我們也說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱. 2.軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱,這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點. 3.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系二、軸對稱的性質(zhì) 軸對稱圖形具有以下的性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 全等；（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線；經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 垂直平分線. 這樣就得到了以下性質(zhì)： 1.如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 對稱軸是任何一對對應點所連 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 線段的 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 垂直平分線. 2.類似地， HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線. 3.線段的垂直平分線上的點與這條線段的兩個 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 端點的距離相等. 4.對稱軸是到線段兩端距離相等的點的集合. 軸對稱圖形性質(zhì)的應用：可以通過對稱軸的一邊從而畫出另一邊. 可以通過畫對稱軸得出的兩個圖形全等. 擴展到軸對稱的應用以及函數(shù)圖像的意義. 三、設(shè)計軸對稱圖案幾何圖形都可以看作由點組成.對于某些圖形,只要畫出圖形中的- -些特殊點(如線段端點)的對稱點,連接這些對稱點,就可以得到原圖形的軸對稱圖形. 畫軸對稱圖形的步驟簡單歸納如下: (1)找一在原圖形上找特殊點(如線段的端點); (2)畫一畫各個特殊點關(guān)于對稱軸的對稱點;(3)連一依次連接各對稱點. 如果兩個圖形成軸對稱,其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.因此,我們只要找到一對對應點,作出連接它們的線段的垂直平分線,就可以得到這兩個圖形的對稱軸. 同樣,對于軸對稱圖形,只要找到任意一-組對應點,作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸. 在軸對稱圖形(包括關(guān)于某直線對稱的兩個圖形)中,對稱軸兩邊的圖形是全等形,它們的對應邊相等,對應角相等,對稱點的連線被對稱軸垂直平分.解決實際問題,需分析實際情況,再解答.如鏡子中的圖形與實際圖形左.右對稱,水中倒影與實際圖形上、下對稱. 四、線段、角的軸對稱性由于線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等,角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，因此可利用此性質(zhì)解決距離相等的問題，解題時應注意兩者的區(qū)別. 利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等,可解決實際問題,如確定位置問題，主要運用了作線段垂直平分線解決問題的方法,因此,對現(xiàn)實生活中的問題要注意與數(shù)學的聯(lián)系. 利用垂直平分線的性質(zhì)可以解決生活中由同一點到幾個不同地點距離相等的問題. 1.線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸. 線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線上． 2.角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸. 角平分線上的點到角兩邊的距離相等. 角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上. 五、等腰三角形的軸對稱性 1.等腰三角形的有關(guān)定義有兩邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做底邊,兩腰所夾的角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫做底角. (1)頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底，還是腰，角沒有明確是頂角還是底角,需要分類討論. 2.等腰三角形的性質(zhì) (1)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”). 應用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C. ①這是等腰三角形的重要性質(zhì),它是證明角相等常用的方法,它的應用可省去三角形全等的證明，因而更簡便.②應用這個性質(zhì)時,必須在同-一個三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊").“等角對等邊"是證明一個三角形是等腰三角形的常用方法. 【專題過關(guān)+能力提升】考點一軸對稱圖形的識別例題：（2022·全國·八年級專題練習）下面在線學習平臺的圖標中，是軸對稱圖形的是（　?。?A．B．C．D．【答案】B 【分析】根據(jù)“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形”判斷即可得．【詳解】解：A. 不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形； B. 能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形； C. 不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形； D. 不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：B．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．【變式訓練】 1．（2021·重慶市巴渝學校八年級期中）下列圖形中是軸對稱圖形是（　?。?A． B． C． D．【答案】C 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意； C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意； D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 2．（2022·廣東·高州市第一中學附屬實驗中學七年級階段練習）下列交通安全圖標不是軸對稱圖形的是（????） A．B．C． D．【答案】C 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意； B、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意； C、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意； D、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C 【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵． 3．（2022·江西·崇仁縣第二中學七年級階段練習）繁體字具有數(shù)千年的歷史，不僅在中國，在中國周邊國家中，繁體字仍舊具有非常大的影響力．簡繁互補是中國文字的演變規(guī)律．下面是成語“喜聞樂見”的繁體字，其中可以看作是軸對稱圖形的是（　?。?A． B． C． D．【答案】A 【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：選項B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項A能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．考點二軸對稱圖形的性質(zhì) 例題：（2021·山西臨汾·八年級期中）如圖，與關(guān)于直線對稱，其中，，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D．【答案】A 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱， ∴， ∴， ∵， ∴．故選∶A．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知關(guān)于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓練】 1．（2022·江蘇·靖江市實驗學校七年級期中）如圖a是長方形紙帶，∠DEF=28°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（　?。? A．94° B．96° C．102° D．128° 【答案】B 【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BFE=∠DEF，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，折疊后重疊了3層，然后根據(jù)平角的定義列式進行計算即可得解．【詳解】解：∵長方形的對邊ADBC， ∴∠BFE=∠DEF=28°， ∴∠CFE=180°-3×28°=96°．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，觀察圖形，判斷出重疊部分重疊了3層是解題的關(guān)鍵． 2．（2022·廣東·茂名市電白區(qū)第三中學七年級階段練習）如圖，與關(guān)于直線l對稱，若，，則______，______．【答案】???? 2cm##2厘米???? 95°##95度【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，有對應邊相等、對應角相等求解．【詳解】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有：AB=AE，∠D=∠C， ∵AB=2cm，∠C=95°， ∴AE=AB=2cm，∠D=∠C=95°，故答案為：2cm，95°．【點睛】本題考查軸對稱的知識，理解軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 3．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，點P為AB和BC垂直平分線的交點，點Q與點P關(guān)于AC對稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個角是50°，則∠B=__度．【答案】50或65 【分析】連接AP、BP，由點P為AB和BC垂直平分線的交點，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又點Q與點P關(guān)于AC對稱，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分兩種情況：①當∠CPQ＝∠CQP＝50°時，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②當∠PCQ＝50°時，同理可得∠ABC＝65°．【詳解】解：連接AP、BP，如圖： ∵點P為AB和BC垂直平分線的交點， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA， ∵點Q與點P關(guān)于AC對稱， ∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA， ∴∠CPQ＝∠CQP， ①當∠CPQ＝∠CQP＝50°時，∠PCQ＝80°， ∴∠PCA＝40°， ∴∠PAC＝40°， ∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°， ∴2∠ABP+2∠PBC＝100°， ∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°， ②當∠PCQ＝50°時，∠PCA＝25°， ∴∠PAC＝25°， ∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°， ∴2∠ABP+2∠PBC＝130°， ∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，綜上所述，∠ABC為50°或65°，故答案為：50或65．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理的應用及軸對稱的性質(zhì)．考點三畫軸對稱及設(shè)計軸對稱圖形例題：（2022·安徽·定遠縣第六中學九年級階段練習）如圖，是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有4個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個黑色部分圖形構(gòu)成軸對稱圖形，這樣的白色小方格有____種選擇．【答案】3 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖所示，這樣的白色小方格共有3種選擇，故答案為：3．【點睛】本題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，解題的根據(jù)設(shè)置為軸對稱圖形的性質(zhì)．【變式訓練】 1．（2022·河南省實驗中學八年級開學考試）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了陰影．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成陰影，使整個涂成陰影的圖形成為軸對稱圖形，請在圖中補全圖形，并畫出它們各自的對稱軸．（要求畫出3種不同方法）【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念作圖即可．【詳解】解：如圖所示：．【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合． 2．（2022·全國·八年級專題練習）下列正方形網(wǎng)格圖中，部分方格涂上了陰影，請按照不同要求作圖． (1)如圖①，整個圖形是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸． (2)如圖②，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有兩條對稱軸． (3)如圖③，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有四條對稱軸．【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析 (3)詳見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作出對稱軸即可；（2）根據(jù)要求畫出圖形即可；（3）根據(jù)要求畫出圖形即可．（1）如圖①中，直線m即為所求；（2）如圖②中，圖形即為所求；（3）如圖③中，圖形即為所求．【點睛】本題考查利用軸對稱設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題． 3．（2022·四川達州·七年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1，且點A，B，C均為格點． (1)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）： ①作出關(guān)于直線l的對稱圖形； ②在直線l上找一點D，使最??； (2)求出的面積．【答案】(1)①見解析；②見解析 (2) 【分析】（1）①依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形； ②連接，交直線l于D，連接BD，則AD+BD最小值等于的長；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．（1）解：如圖，①△A'B'C'就是所求作的三角形； ②點D就是所求作的點；（2）解：的面積=3×5-×1×5-×2×4-×1×3=7．【點睛】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．考點四線段的垂直平分線性質(zhì)與判定例題：（2022·湖南湘潭·八年級期末）如圖，是的角平分線，若，則點的距離是（????） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】過D作于E，則DE是點D到AC的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出BD＝DE，代入求出即可．【詳解】解：過D作DE⊥AC于E，則DE是點D到AC的距離， ∵AD是∠BAC的角平分線，，， ∴BD＝DE， ∵， ∴，故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．【變式訓練】 1．（2021·山東煙臺·七年級期中）如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（????） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=5，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB交BA的延長線于E， ∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°， ∴DE=CD=5， ∴四邊形ABCD的面積．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，AD是△ABC的中線，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分別為F，E，BE＝CF.求證：AD平分∠BAC. 【答案】證明見解析【分析】先證，所以根據(jù)全等三角形的對應邊相等推知DE＝DF．再結(jié)合已知條件“DF⊥AC，DE⊥AB”可以證得結(jié)論．【詳解】證明：如圖，∵AD是△ABC的中線， ∴BD＝CD，又∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴在Rt△BDE與Rt△CDF中，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF. ∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 3．（2022·湖南·郴州市第四中學八年級期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． (1)求證：△BDE≌△CDF (2)求證：AD平分∠BAC； (3)直接寫出AB＋AC與AE之間的等量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析 (3)AB+AC=2AE，理由見解析【分析】（1）直接利用HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，即可證明結(jié)論；（3）只需要證明Rt△DEA≌Rt△DFA得到AE=AF，即可證明AB+AC=2AE．（1）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， ∵BD=CD，BE=CF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC；（3）解：AB+AC=2AE，理由如下： ∵DE=DF，AD=AD，∠DEA=∠DFA， ∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL）， ∴AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．考點五角平分線的性質(zhì)與判定例題：（2021·甘肅·慶陽市西峰區(qū)黃官寨實驗學校八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為18cm，則BC的長為______．【答案】8cm 【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AD＝BD，再利用已知條件結(jié)合三角形的周長計算．【詳解】解：∵△DBC的周長＝BC+BD+CD＝18cm，又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC+AD+CD＝18cm， ∵AC＝AD+DC＝10cm， ∴BC＝18﹣10＝8（cm）．故答案為：8cm．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩端點的距離相等．【變式訓練】 1．（2022·江蘇·姜堰區(qū)實驗初中八年級）△ABC中，BC=14，AB的垂直平分線與AC的垂直平分線分別交BC于D、E，連接AD、AE，且DE=6，則AD+AE=________．【答案】8或20##20或8 【分析】根據(jù)題意，分兩種情況，當與無重合，當與有重合解答即可得到結(jié)論．【詳解】解：的垂直平分線與的垂直平分線分別交于點，，，，分兩種情況：當與無重合時，如圖所示：，，，當與有重合時，如圖所示：，，，綜上所述：的值為：8或20，故答案為：8或20．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想． 2．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且BD＝DE，連接AE． (1)求證：AB＝EC； (2)若△ABC的周長為14cm，AC＝6cm，求DC長．【答案】(1)見解析 (2)4cm 【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝EC，AB＝AE，即可求證；（2）根據(jù)△ABC的周長為14cm，可得AB+BC＝8（cm），再由AB＝EC，BD＝DE，可得DC＝DE+EC＝（AB+BC），即可求解．（1）證明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周長為14cm， ∴AB+BC+AC＝14（cm）， ∵AC＝6cm， ∴AB+BC＝8（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵． 3．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，，E為CD的中點，連接AE、BE，，延長AE交BC的延長線于點F． (1)請判斷FC與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的長度．【答案】(1)FC=AD，理由見解析 (2) 【分析】（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF，據(jù)此求解即可．（1）解：FC=AD，理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）， ∵E是CD的中點（已知）， ∴DE=EC（中點的定義）．在△ADE與△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）；（2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的對應邊相等）， ∵BE⊥AE， ∴BE是線段AF的垂直平分線， ∴AB=BF=BC+CF， ∴AB=BC+AD， ∵AB=6，AD=2， ∴BC=4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．考點六等腰三角形的定義與性質(zhì) 例題：（2021·河北·唐山市第九中學八年級階段練習）若等腰三角形的一條邊長為5，另一條邊長為10，則此三角形第三條邊長為________．【答案】10 【分析】分兩種情況考慮：當5為等腰三角形的腰長時和底邊時，分別求出周長即可．【詳解】當5為等腰三角形的腰長時，10為底邊，此時等腰三角形三邊長分別為5，5，10，不能構(gòu)成三角形；當5為等腰三角形的底邊時，腰長為10，此時等腰三角形三邊長分別為5，10，10，能構(gòu)成三角形；綜上所述，這個等腰三角形的第三條邊的邊長為10．故答案為：10．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】 1．（山西省臨汾市2021-2022學年八年級上學期段考數(shù)學試卷（二））如圖，∠ABC的平分線BF，與△ABC的外角∠ACG的平分線相交于點F，過點F作DFBC交AB于點D，交AC于點E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，則CE的長為______．【答案】5.5cm 【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BD-CE=DE即可求得．【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角， ∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG， ∵DEBC， ∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG， ∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC， ∴BD=FD，EF=CE， ∴EF=DF-DE=BD-DE=8-2.5=5.5， ∴EC=5.5cm 故答案為5.5cm 【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導證明是本題的特點． 2．（2022·遼寧大連·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點E在BC上，BD⊥AE于點D，F(xiàn)為BC中點． (1)在圖中找出與∠ABD相等的角，并證明； (2)求證：DF平分∠BDE．【答案】(1)∠CAE=∠ABD，理由見詳解 (2)見詳解【分析】（1）由∠BAD+∠CAE=90°和∠ABD+∠BAD=90°即可證明；（2）過C點作CG⊥AE，交AE的延長線于點G，延長CG、DF交于點H，先證明△ABD≌△CAG，可得到AG=BD，AD=CG；根據(jù)BD⊥AE，CG⊥AE，可得，即有∠BDF=∠FHC；再證明△DBF≌△HCF，即有BD=CH；根據(jù)DG=AG-AD，HG=CH-CG，可得DG=HG，即有∠FDG=∠FHC，則結(jié)論即可得證．（1） ∠CAE=∠ABD，理由如下： ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵BD⊥AE， ∴∠BDA=90°， ∴在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°， ∵∠BAD+∠CAE=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°=∠ABD+∠BAD， ∴∠CAE=∠ABD，（2）證明：過C點作CG⊥AE，交AE的延長線于點G，延長CG、DF交于點H，如圖， ∵CG⊥AE， ∴∠AGC=90°，即∠ADB=∠AGC=90°，根據(jù)（1）的結(jié)論有∠CAE=∠ABD， ∵AB=AC， ∴△ABD≌△CAG， ∴AG=BD，AD=CG， ∵BD⊥AE，CG⊥AE， ∴， ∴∠BDF=∠FHC，∠DBF=∠HCF， ∵F為BC中點， ∴BF=FC， ∴△DBF≌△HCF， ∴BD=CH， ∵DG=AG-AD，HG=CH-CG， ∴DG=BD-AD，HG=BD-CG=BD-AD， ∴DG=HG， ∴∠FDG=∠FHC， ∵∠BDF=∠FHC， ∴∠BDF=∠GDF， ∴DF平分∠BDE，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，構(gòu)造輔助線CH、FH證明△DBF≌△HCF，是解答本題的關(guān)鍵． 3．（2021·四川·東坡區(qū)實驗中學八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC=∠ACB ，D是AC邊上的一點，連接BD并延長到點E，連接AE、CE，AF平分∠BAC交BD于點F． (1)若∠BAC＝70°，∠FBC＝25°，求∠AFD； (2)已知CE⊥BC，AD＝CD，求證：BF＝AE．【答案】(1) (2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)先證明△ADF≌△CDE，然后證明△ABF≌△CAE即可得出答案．（1）解：∵平分∠BAC, ∴， ∵AB＝AC， ∴, ∵∠FBC＝25°， ∴, ∴；（2）設(shè)∠BAF＝∠CAF＝x°， ∴∠BAC＝2x°， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°?x°， ∵∠ECB＝90°， ∴∠ECA＝x°， ∴∠BAF＝∠ACE＝∠DAF＝x°， ∵AD＝CD， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝EC，在△ABF與△CAE中，， ∴△ABF≌△CAE（SAS）， ∴BF＝AE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．考點七利用等腰三角形定義與性質(zhì)的多解題例題：（2022·河南·駐馬店市第十中學八年級階段練習）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和5，則這個等腰三角形的周長為_____．【答案】16或17 【分析】分邊長6是等腰三角形的腰和底兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長＝6+6+5＝17， ②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長＝6+5+5＝16，綜上所述，三角形的周長為16或17．故答案為：16或17．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答本題時注意分情況討論，避免出現(xiàn)錯漏．【變式訓練】 1．已知等腰三角形的一個內(nèi)角是72°，那么這個等腰三角形的頂角是______度．【答案】72或36 【解析】【分析】本題應分底角為72°、頂角為72°這兩種情況，分別計算每種情況下等腰三角形是否存在．【詳解】解∶ ①當72°角是頂角時，頂角為72°， ②當72°角是底角時，頂角＝180°－72°×2＝36°，綜上頂角為72°或36°．故答案為：72或36．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，，樹立分類討論思想，培養(yǎng)學生全面思考問題的數(shù)學素養(yǎng)，在計算等腰三角形有關(guān)邊、角的問題時，要注意利用分類討論的思想進行全面討論是解題的關(guān)鍵． 2．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為56°，則這個等腰三角形底角度數(shù)是_______．【答案】或【解析】【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當在內(nèi)部時，如圖1，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出；當在外部時，如圖2，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出．【詳解】解：在等腰中，，為腰上的高，，當在內(nèi)部時，如圖1，為高，，，，；當在外部時，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 3．有一張三角形紙片ABC，∠A＝80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是__________．【答案】25°或40°或10° 【解析】【詳解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【詳解】由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對于△ABD可能有 ①AB=BD，此時∠ADB=∠A=80°， ∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°， ∠C=（180°-100°）=40°， ②AB=AD，此時∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°， ∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°， ∠C=（180°-130°）=25°， ③AD=BD，此時，∠ADB=180°-2×80°=20°， ∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°， ∠C=（180°-160°）=10°，綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10° 故答案為25°或40°或10° 【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論． 4．（1）等腰三角形一腰上的中線把周長分為和兩部分，求該三角形各邊的長．（2）已知一個等腰三角形的三邊長分別為，求這個等腰三角形的周長．【答案】（1）或者；（2）周長為或者10 【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，列出方程求解，注意分類討論．（2）分三種情況，進行討論，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得出答案．【詳解】設(shè)腰長為2x,底為y，根據(jù)題意得： ① 解得：三邊為10,10,7 ② 解得：三邊為8,8,11 故本題答案為：或者 ①當時，解，此時，能構(gòu)成三角形．此時周長為10 ②當時，解，此時不能構(gòu)成三角形． ③當，解得，此時，能構(gòu)成三角形，周長為＝7 綜上，三角形的周長為7或者10．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)提高題． 5．（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門學校八年級階段練習）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）． (1)若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值； (2)在運動過程中，求當t為何值時，△BCP為等腰三角形．【答案】(1) (2)s或5.3s或5s或s 【分析】（1）連接BP，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理列方程計算，得到答案；（2）分類討論：若點P在AC上，當CP＝CB時，△BCP為等腰三角形，根據(jù)AP的長即可得到t的值，若點P在AB上，CP＝BC，根據(jù)P移動的路程易得t的值；當PC＝PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP＝AB＝5，易得t的值；當BP＝BC＝6時，△BCP為等腰三角形，易得t的值；（1）如圖1，連接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝＝8（cm），則PC＝8﹣PA，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，當PA＝PB時，PA2＝（8﹣PA）2+62，解得，PA＝，則t＝÷4＝；（2）分四種情況： ①如圖1，點P在CA上，當CP＝CB時，△BCP為等腰三角形， ∵BC=6,AC=8, ∴AP=AC-CP=AC-CB=2 則4t＝2，解得t＝（s）； ②如圖2，當BP＝BC＝6時，△BCP為等腰三角形， ∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20， ∴t＝20÷4＝5（s）； ③如圖3，若點P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，則S△ABC＝，CD＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6， ∴PB＝2BD＝7.2， ∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此時t＝21.2÷4＝5.3（s）； ④如圖4，當PC＝PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則D為BC的中點， ∴PD為△ABC的中位線， ∴AP＝BP＝AB＝5， ∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19， ∴t＝19÷4＝（s）；綜上所述，t為s或5.3s或5s或s時，△BCP為等腰三角形．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．考點八等腰三角形中全等綜合問題例題：（2021·重慶市璧山中學校八年級期中）（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，證明見解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．證明見解析【分析】（1）延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；（2）由△ACE≌△BCD，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O， ∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠CBD=90°． ∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD．故答案為AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如圖2中， ∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高， ∴CM=DM=ME， ∴DE=2CM， ∴AD=DE+AE=2CM+BD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【變式訓練】 1．（2021·遼寧·盤錦市第一完全中學八年級期中）在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC． (1)如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由． (2)如圖2，當點E為AB上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由． (3)在等邊三角形ABC中，若點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，請直接寫出CD的長．【答案】(1)AE=DB，理由見解析 (2)AE=DB，理由見解析 (3)CD=3 【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得∠D＝∠ECD，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ECD∠ACB＝30°，然后證∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出結(jié)論；（2）過點E作EFBC，交AC于點F，證△AEF為等邊三角形，得AE＝EF，再證△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出結(jié)論；（3）過點E作EFBC，交AC的延長線于點F，可證得△AEF是等邊三角形，△DEB≌△ECF(AAS)，由DB＝EF＝2，BC＝1，即可得出答案．（1）解：如圖1， ∵△ABC是等邊三角形，點E是AB的中點， ∴CE平分∠ACB，CE⊥AB， ∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，又∵ED=EC， ∴∠D=∠ECB=30°， ∴∠DEC=120°， ∴∠DEB=120°?90°=30°， ∴∠D=∠DEB=30°， ∴BD=BE=AE，即AE=DB．（2）解：當點E為AB上任意一點時，如圖2，AE與DB的大小關(guān)系不會改變．理由如下：如圖2，過E作EFBC交AC于F， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF， ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°， ∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC， ∴∠D=∠ECD， ∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，， ∴△DEB≌△ECF(AAS)， ∴BD=EF=AE，即AE=BD，（3）解：過點E作EFBC，交AC的延長線于點F，如圖3所示： ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF＝2， ∵∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°， ∴∠DBE=∠ABC=∠EFC =60°， ∵DE=EC， ∴∠D=∠ECD， ∵EFBC， ∴∠ECD=∠CEF， ∴∠D＝∠CEF，在△DEB和△ECF中，， ∴△DEB≌△ECF(AAS)， ∴DB＝EF＝2， ∵BC＝1， ∴CD＝BC+DB＝3．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 2．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點D是直線BC上一點，過點A作∠DAE=90°（使點D，A，E按順時針的順序排列），且AE=AD，連接CE，過點A作AF⊥CE交直線CE于點F． (1)如圖，當點D在線段BC上時；求證：CE=BD； (2)當點D在直線BC上時，直接寫出線段BD、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析 (2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF 【分析】(1)先證明∠DAB =∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=BD； (2)分三種情況討論，在CE上截取CH=CD，連接AH，可證得、，進而得到線段BD、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）證明：，，，在△DAB與△EAC中，，；（2）解：如圖，當點D在BC上時，在CE上截取CH=CD，連接AH，，，，，，在△ACD與△ACH中，，，，，，，；當點D在點B的下方時，如圖：同理可得：CD-BD=2EF；當點D在點C的上方時，如圖：同理可得：BD+CD=2EF，綜上所述：BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形及等腰直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 3．（2022·福建·莆田哲理中學八年級期末）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分別是AC和BC上的動點，BD⊥AE，垂足為F． (1)求證∠CAE=∠ABD； (2)連接DE，滿足∠AEB=∠DEC，求證：BD=DE+AE； (3)點G在BD的延長線上，連接EG，滿足∠AEB=∠GEC，試寫出AE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)BG=AE+EG，見解析【分析】（1）根據(jù)∠CAE=90°-∠BAE，∠ABD=90°-∠BAE，等量代換即可得證．（2）作CM⊥AD于點C，CM交AE的延長線于點M，證明△ABD≌△CAM和△EDC≌△EMC即可得證．（3）延長AE至點N，作EN=EG，先證明△BEG≌△BEN，再證明AN=BN即可．（1）證明：∵BD⊥AF， ∴∠BFA=90°， ∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90° ∴∠CAE=∠ABD．（2）證明：如圖，作CM⊥AD于點C，CM交AE的延長線于點M 由①知，∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAM中，， ∴△ABD≌△CAM（ASA） ∴BD=AM， ∵∠AEB=∠CEM， ∴∠DEC=∠CEM，又∵∠ACBA=45° ∴∠MCE=45° 在△EDC和△EMC中，， ∴△EDC≌△EMC（ASA） ∴EM=ED， ∵AM=AE+EM， ∴BD=DE+AE．（3）證明：如圖，延長AE至點N，作EN=EG， ∵∠AEB =∠GEC，∠AEB =∠CEN， ∴∠GEC =∠CEN， ∴∠BEG =∠BEN，在△BEG和△BEN中， ∴△BEG≌△BEN（SAS）， ∴BN=BG，∠GBC =∠NBC， ∵∠GBC =45°－∠ABD， ∴∠ABN =90°－∠ABD， ∵∠BAN =90°－∠CAE，且∠ABD =∠CAE， ∴∠ABN =∠BAN， ∴AN=BN=BG， ∵AN=AE+EN=AE+EG ∴BG=AE+EG．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握補短法證明線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 4．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級開學考試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，點E在AC邊上，連接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE． (1)判斷△ABD與△DCE是否全等？并證明？ (2)若BD＝4，CD＝7，求AE的長． (3)若∠ADE＝30°，求∠2的度數(shù)．【答案】(1)結(jié)論：△ABD≌△DCE．證明見解析 (2)3 (3)45° 【分析】（1）根據(jù)AAS可證明△ABD≌△DCE；（2）得出AB=DC=5，CE=BD=3，求出AC=5，則AE可求出；（3）由AB=AC=CD，推出∠B=∠C=30°，∠CAD=∠CDA=（180°-30°）=75°，可得結(jié)論．（1）解：結(jié)論：△ABD≌△DCE．理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABD≌△DCE，∴AB=DC=7，CE=BD=4，∵AC=AB，∴AC=7，∴AE=AB-EC=7-4=3；（3）∵∠ADC=∠ADE+∠2=∠1+∠B，∠1=∠2，∴∠ADE=∠B=30°，∵AB=AC=CD，∴∠B=∠C=30°，∠CAD=∠CDA=（180°-30°）=75°，∴∠2=∠ADC-∠ADE=45°．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．關(guān)系名稱軸對稱軸對稱圖形區(qū) 別意義不同兩個圖形之間的對稱關(guān)系具有特殊形狀的圖形對象不同兩個圖形一個圖形對稱軸的位置不同在兩個圖形之間過圖形的某條直線對稱軸的數(shù)量不同只有一條不一定只有一條聯(lián)系(1)沿對稱軸折疊 ,兩個圖形重合; (2)如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形(1)沿對稱軸折疊,圖形的兩部分重合; (2)如果把軸對稱圖形的兩部分看作兩個圖形,那么這兩個圖形成軸對稱

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