專(zhuān)題01 勾股定理（突破核心考點(diǎn)）【知識(shí)梳理+解題方法+專(zhuān)題過(guò)關(guān)】 -2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（北師大版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專(zhuān)題01 勾股定理（突破核心考點(diǎn)）【聚焦考點(diǎn)+題型導(dǎo)航】考點(diǎn)一用勾股定理解三角形考點(diǎn)二勾股數(shù) 考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題考點(diǎn)四勾股定理與折疊問(wèn)題考點(diǎn)五用勾股定理求幾何體上最短路徑問(wèn)題考點(diǎn)六用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題考點(diǎn)七勾股定理逆定理證明是直角三角形【知識(shí)梳理+解題方法】 1 勾股定理 1．勾股定理如圖，直角三角形兩直角邊分別為，，斜邊為，那么．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．注意： = 1 \* GB3 ①勾股定理的前提是直角三角形，對(duì)于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關(guān)系． = 2 \* GB3 ②利用勾股定理時(shí)，必須分清直角邊，斜邊．尤其在記憶時(shí)，此關(guān)系只有當(dāng)是斜邊時(shí)才成立．若是斜邊，則關(guān)系式是；若是斜邊，則關(guān)系式是． 2．直角三角形斜邊上的高 = 1 \* GB3 ①已知兩條直角邊，通過(guò)勾股定理求出斜邊． = 2 \* GB3 ②根據(jù)直角三角形的面積不變，即，求出h．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系. 利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的. （3）理解勾股定理的一些變式：，， . 2勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形. 圖（1）中，所以. 　方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形. 　圖（2）中，所以. 方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 3勾股數(shù) 滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形 4 如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）. 驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊. 5 勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為，且，那么這個(gè)三角形是直角三角形．注意： = 1 \* GB3 ①不能說(shuō)在直角三角形中，因?yàn)檫€沒(méi)確定直角三角形，當(dāng)然也不能說(shuō)斜邊和直角邊． = 2 \* GB3 ②當(dāng)滿足時(shí)，是斜邊，是直角． = 3 \* GB3 ③利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長(zhǎng)邊，算出最長(zhǎng)邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為直角三角形．【專(zhuān)題過(guò)關(guān)+能力提升】考點(diǎn)一用勾股定理解三角形例題：（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠B＝90°，（1）若AB＝3，BC＝4，則AC＝________；（2）若AC＝13，AB＝5，則BC＝________．【變式訓(xùn)練】 1．（2022·廣東·東莞市南城陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和2，則第三邊長(zhǎng)為 _____． 2．（2022·江西贛州·八年級(jí)期中）在△ ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的長(zhǎng)． 3．（2021·江西·崇仁縣第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC與△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB，AB＝DE． (1)求證：BC＝DB； (2)若BD＝6cm，求AB的長(zhǎng)．考點(diǎn)二勾股數(shù) 例題：（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）以下數(shù)組中，其中是勾股數(shù)的是（????） A．，， B．9 ，40 ， 41 C．1 ，，1 D．2 ，3 ，4 【變式訓(xùn)練】 1．（2022·江西·贛南師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（????） A．，2， B．，， C．1，1，2 D．9，12，15 2．（2022·陜西·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部八年級(jí)期中）在下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．4，5，6 D．1，，2 3．（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）下列四組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（????） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，2，3 D．8，15，17 考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題例題：（2022·安徽·巢湖市第七中學(xué)八年級(jí)期中）點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)圖中的位置如圖所示，格點(diǎn)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)C到AB的距離是（　） A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】 1．（2022·山東·鄒城市第四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，點(diǎn)到邊的距離為（????） A． B． C． D． 2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________． 3．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C落在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．考點(diǎn)四勾股定理與折疊問(wèn)題例題：（2022··八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，D為BC邊上一點(diǎn)將沿AD折疊，若點(diǎn)B恰好落在線段AC的延長(zhǎng)線上點(diǎn)E處，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【變式訓(xùn)練】 1．（2022·吉林吉林·八年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，如果點(diǎn)B′落在直角邊AC的中點(diǎn)上，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)___________． 2．（2021·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）在中，，，，，分別是和上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)． (1)如圖1，如果點(diǎn)恰好與頂點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)； (2)如圖2，如果點(diǎn)恰好落在直角邊的中點(diǎn)上，求的長(zhǎng)． 3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖是三個(gè)全等的直角三角形紙片，且，按如圖的三種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過(guò)其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為． (1)若，求的值． (2)若，求①單個(gè)直角三角形紙片的面積是多少？②此時(shí)的值是多少？考點(diǎn)五用勾股定理求幾何體上最短路徑問(wèn)題例題：（2022·河南·金明中小學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螳螂在樹(shù)干的點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)它的正上方點(diǎn)處有一只小蟲(chóng)子，螳螂想捕到這只蟲(chóng)子，但又怕被發(fā)現(xiàn)，于是就繞到蟲(chóng)子后面吃掉它，已知樹(shù)干的半徑為10cm，，兩點(diǎn)的距離為45cm，則螳螂爬行的最短距離為 __．取【變式訓(xùn)練】 1．（2022·江西·贛南師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，圓柱形容器高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm．在容器內(nèi)壁距離容器底部3cm 的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，距離容器上沿3cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距離為_(kāi)_______（不計(jì)壁厚）． 2．（2022·吉林·八年級(jí)期中）如圖，一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)為16cm，AB是下底面的直徑，高BC為12cm，S為BC的中點(diǎn)．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)S． (1)畫(huà)出螞蟻爬行的最短路線示意圖； (2)求出螞蟻爬行的最短路程． 3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是多少? 4．（2022·貴州·興仁市屯腳鎮(zhèn)屯腳中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)） (1)如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要______； (2)如圖2，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)開(kāi)始以的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲？考點(diǎn)六用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題例題：（2022·安徽六安·八年級(jí)期末）LED感應(yīng)燈是一種通過(guò)感應(yīng)模塊自動(dòng)控制光源點(diǎn)亮的一種新型智能照明產(chǎn)品．當(dāng)人（或動(dòng)物）移至LED燈一定距離時(shí)燈亮，人走開(kāi)燈滅，給人們的生活帶來(lái)了極大的方便．如圖，有一個(gè)由傳感器A控制的LED燈安裝在門(mén)的上方，離地面高4.5m的墻壁上，當(dāng)人移至距離該燈5m及5m以?xún)?nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)點(diǎn)亮．請(qǐng)問(wèn)：如果一個(gè)身高1.5m的人走到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方，該燈剛好點(diǎn)亮？【變式訓(xùn)練】 1．（2022·江西·新余市第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某條道路限速70km/h，如圖，一輛小汽車(chē)在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s，小汽車(chē)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為50m． (1)求BC的長(zhǎng)； (2)這輛小汽車(chē)超速了嗎？ 2．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車(chē)上的云梯救人，已知消防車(chē)高，云梯最多只能伸長(zhǎng)到，救人時(shí)云梯伸至最長(zhǎng)如圖，云梯先在處完成從高處救人后，然后前進(jìn)到處從高處救人． (1)_________米，_________米； (2)①求消防車(chē)在處離樓房的距離（的長(zhǎng)度）； ②求消防車(chē)兩次救援移動(dòng)的距離（的長(zhǎng)度）．（精確到，參考數(shù)據(jù)，，） 3．（2021·廣東佛山·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，隧道的截面由半徑為5米的半圓構(gòu)成． (1)如圖1，一輛貨車(chē)高4m，寬2.8m，它能通過(guò)該隧道嗎？ (2)如圖2，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，一輛寬為4m，高為2.8m的貨車(chē)能駛?cè)脒@個(gè)隧道嗎？ (3)如圖3，如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為了安全起見(jiàn)，在隧道正中間設(shè)有0.6m的隔離帶，則該輛寬為4m，高為2.8m的貨車(chē)還能通過(guò)隧道嗎？考點(diǎn)七勾股定理逆定理證明是直角三角形例題：（2022·北京市燕山教研中心八年級(jí)期末）綠都農(nóng)場(chǎng)有一塊菜地如圖所示，現(xiàn)測(cè)得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求這塊菜地的面積．【變式訓(xùn)練】 1．（2022·湖北黃岡·八年級(jí)期中）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=10cm，D是腰AC上一點(diǎn)，且CD=6cm，BD=8cm． (1)判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由； (2)求△ABC的周長(zhǎng)． 2．（2022·重慶·八年級(jí)期中）有一旅游景點(diǎn)在一條筆直河流的一側(cè)，河邊有兩個(gè)碼頭，并且，由于某種原因，由到的路已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊點(diǎn)新建一個(gè)碼頭點(diǎn)，，在同一直線上，并新修一條筆直的公路，測(cè)得千米，千米，千米． (1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由； (2)求原路線的長(zhǎng)． 3．（2021·福建三明·八年級(jí)期中）如圖，正方形網(wǎng)格中小方格邊長(zhǎng)為1，A，B，C都是小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決下面問(wèn)題．（1）求的周長(zhǎng)；（2）判斷是不是直角三角形，并說(shuō)明理由. 4．（2021·山西·晉中新大陸雙語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理，在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今． (1)①請(qǐng)敘述勾股定理； ②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)利用圖二證明該定理； S大正方形=_____，還可以表示為_(kāi)____，所以可得到_______=______，化簡(jiǎn)后最終得到____． (2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑，分別向外部作半圓，則，，滿足的關(guān)系是______． (3)如圖5，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)月形圖案（陰影部分）的面積為_(kāi)_____．

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