第九課時《6.3.3 余角和補角》教學設計
課型
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教學內容分析
本節(jié)主要內容是余角、補角的定義和性質。余角和補角是在學習了角的度量及角的比較與運算的基礎上，對角的數(shù)量關系作進一步探討，在后面學習對頂角相等及平行線的判定和性質時將經(jīng)常用到，同時，也為今后證明角的相等提供一種依據(jù)和方法。另外本課開始對學生提出“簡單說理”的要求，這為以后的推理證明奠定了基礎。
學習者分析
學生已經(jīng)學習了角的概念、角大小比較等知識，并具備一定的觀察能力、理解問題能力和小組合作能力，能夠進行信息的觀察、收集、分析與交流表達。
教學目標
1.在具體的現(xiàn)實情境中，認識一個角的余角與補角。
2.掌握余角和補角的性質。
教學重點
認識角的互余、互補關系及其性質。
教學難點
通過簡單的推理，歸納出余角、補角的性質，并能用規(guī)范的語言描述性質。
學習活動設計
教師活動
學生活動
環(huán)節(jié)一：學習目標
教師活動1：
師出示學習目標：
1.在具體的現(xiàn)實情境中，認識一個角的余角與補角。
2.掌握余角和補角的性質。
學生活動1：
學生齊聲讀本課的學習目標
活動意圖說明：
明確本節(jié)課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發(fā)學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。
環(huán)節(jié)二：新知導入
教師活動2：
1．角的和、差：
∠AOC 是∠AOB 與∠BOC 的和，
記作_______________________；
∠AOB 是∠AOC 與∠BOC 的差，
記作_______________________；
類似地，∠AOC－∠AOB＝_______．
答案：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
∠AOB＝∠AOC－∠BOC
∠BOC
2.一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個______的角的射線，叫做這個角的平分線．
OB是∠AOC的平分線
∠AOC＝2∠AOB＝2_______
∠AOB＝∠BOC ＝ 12 _______
答案：相等，∠BOC，∠AOC
學生活動2：
學生積極回答問題
活動意圖說明：
通過復習角的和差、角平分線的相關知識，為探究余角、補角的定義做好準備。
環(huán)節(jié)三：新知講解
教師活動3：
想一想：在一副三角尺中，除了直角，其他兩個角的和有什么特點？
預設：45°+45°=90°，30°+60°=90°
觀察：下圖中∠1 與∠2的和是多少？∠3 與∠4的和呢？
預設：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°
歸納1：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角 ，簡稱這兩個角互余，其中一個角是另一個角的余角。
符號語言：
∵∠1+∠2=90o
∴∠1與∠2互為余角
反之：
∵∠1與∠2互為余角
∴∠1+∠2=90o
歸納2：如果兩個角的和等于180o（平角），就說這兩個角互為補角，簡稱這兩個角互補，其中一個角是另一個角的補角。
符號語言：
∵∠3+∠4=180o
∴∠3與∠4互為補角
反之：
∵∠3與∠4互為補角
∴∠3+∠4=180o
思考1：∠1與∠2，∠3都互為余角，∠2與∠3的大小有什么關系？
猜想： ∠2＝∠3
理由如下：
∵∠1與∠2, ∠3都互為余角，
∴∠2＝90o－∠1，
∠3＝90o－∠1，
∴∠2＝∠3.
即：同角的余角相等.
思考2：∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等嗎？為什么？
猜想： ∠2＝∠4
理由如下：
∵∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，
∴∠2＝90o－∠1，∠4＝90o－∠3，
∵∠1＝∠3
∴∠2＝∠4.
即：等角的余角相等.
歸納：余角的性質：
同角（等角）的余角相等.
符號語言：
∵∠1+∠2=90o，∠1+∠3=90o
∴∠2=∠3
或
∵∠1+∠2=90o，∠3+∠4=90o
∠1=∠3
∴∠2=∠4
思考3：類似地，與同一個角互補的兩個角的大小有什么關系？
預設：相等
已知：∠1 與∠2，∠3 都互為補角，求證：∠2 =∠3
證明：∵∠1與∠2, ∠3都互為補角，
∴∠2＝180o－∠1，
∠3＝180o－∠1，
∴∠2＝∠3.
即：同角的補角相等.
歸納：補角的性質：
同角（等角）的補角相等.
符號語言：
∵∠1+∠2=180o，∠1+∠3=180o
∴∠2=∠3
或
∵∠1+∠2=180o，∠3+∠4=180o
∠1=∠3
∴∠2=∠4
例：如圖，A，O，B在同一條直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和 ∠BOC，圖中哪些角互為余角？
分析：互為余角的兩個角的和是90°，而已知條件中隱含互為補角的條件，再利用角平分線的條件，便可以發(fā)現(xiàn)互為余角的角。
解：∵A，O，B在同一直線上,
∴∠AOC和∠BOC互為補角.
又∵射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC
∴∠COD+∠COE=12 ∠AOC+12∠BOC
=12 (∠AOC+∠BOC)=900
∴ ∠COD 和∠COE互為余角，
同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互為余角.
歸納：（1）互余、互補都是指兩個角的數(shù)量關系，與位置無關。
（2）余角、補角是成對出現(xiàn)的，單獨的一個角、三個或三個以上的角之間不能說互余或互補。
例如，當∠1＋∠2＋∠3＝90°時，不能說∠1，∠2，∠3 互余。
學生活動3：
學生小組合作學習，歸納余角和補角的定義并探究其性質
活動意圖說明：
用一副三角尺引出余角和補角的概念，在合作探究中加深學生對余角和補角的認識，并在合作探究中明晰余角、補角的性質，并通過例題提高運用所學知識解決問題的能力。
環(huán)節(jié)四：課堂小結
教師活動4：
問題：本節(jié)課你都學習到了哪些知識？
教師通過學生的回答，進行歸納
學生活動4：
學生積極回顧本節(jié)課學習到的知識
活動意圖說明：
通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯(lián)系，完善認知結構和知識體系。
板書設計
課題：6.3.3 余角和補角
一、余角和補角的定義
二、余角和補角的性質
教師板演區(qū)
學生展示區(qū)
課堂練習
【知識技能類作業(yè)】
必做題：
1.填空
（1）若∠1與∠2互余，則∠1＋∠2=______.
（2）∠1=180o－∠2,則∠1與∠2的關系為___________.
答案：（1）90°
（2）互為補角
2.如圖，直線AB與CD相交于O點，∠EOB＝90°，則圖中∠EOD與∠2的關系是( )
A.互補 B.互余 C.相等 D.無法確定
答案：B
3.如果一個角的補角是這個角的余角的3倍，求這個角．
解：設這個角為x，則它的補角為180°－x，
它的余角為90°－x．于是就有
180°－x=3（90°－ x）．
解得：x=45°．
答：這個角的度數(shù)是45°．
選做題：
4.如圖，直線a、b相交，若∠1 = 40°，求 ∠2的度數(shù).
解：由補角的定義， ∠1 = 40°可得
∠2 = 180°－∠1，
= 180°－ 40°
= 140°.
【綜合拓展類作業(yè)】
5.如圖，O是直線AB上一點，OD平分∠BOC，∠COE=90°．若∠AOC=30°．
(1)求∠DOE的度數(shù)；
(2)圖中互為余角的角有_______對．
解：（1）∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=12∠BOC=75°，
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=90°-75°=15°.
(2)互為余角的角有∠AOC和∠BOE，∠COD 和∠DOE，∠BOD和∠DOE
所以共有3對。
作業(yè)設計
【知識技能類作業(yè)】
必做題：
1.圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補角？
解：互余的角有：①與④，②與③
互補的角有：①與⑧，②與⑦，③與⑥，④與⑤.
2.若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，
那么∠1＝∠3，根據(jù)是_________________；
如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3，
那么∠2＝∠4，根據(jù)是_______________．
答案：同角的余角相等；等角的補角相等
3.一個角的補角加上24°，恰好等于這個角的5倍，求這個角的度數(shù)．
解：設這個角的度數(shù)為x°，依題意，得：
180－x＋24＝5x．
解得：x＝34．
所以這個角的度數(shù)是34°．
選做題：
4.如圖，已知直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC=60°，求∠BOC的度數(shù)。
解：∵OA平分∠EOC，∠EOC = 60°，
∴∠AOC = 30°，
由補角定義，得
∠BOC = 180°－∠AOC
= 180°－ 30°
= 150°
【綜合拓展類作業(yè)】
5.如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，在哪種擺放方式中∠α與∠β互余？在哪種擺放方式中∠α與∠β互補？在哪種擺放方式中∠α與∠β相等？
答案：（1）互余；（2）相等；（3）相等；（4）互補
教學反思
本課教學關鍵在引領學生抓住兩角之間特殊關系的要求：涉及角的個數(shù)只能是兩個，角與角間數(shù)量關系是固定的，且與角的位置無關。在指導學生應用解題時要認識到：由互余、互補的關系轉化為方程計算；實現(xiàn)等角的尋找或角的位置改變。本課時內容很好的體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，要引導學生形成圖形與數(shù)式間靈活轉化以合理解題的能力。

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4.3.3 余角和補角

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級上冊

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