1．在具體情境中認(rèn)識(shí)余角和補(bǔ)角，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；(重點(diǎn))
2．能利用余角和補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和簡(jiǎn)單的推理．(重點(diǎn))
一、情境導(dǎo)入
讓學(xué)生觀察意大利著名建筑比薩斜塔．
比薩斜塔建于1173年，工程曾間斷了兩次很長(zhǎng)的時(shí)間，歷經(jīng)約二百年才完工．設(shè)計(jì)為垂直建造，但是在工程開始后不久便由于地基不均勻和土層松軟而傾斜．
二、合作探究
探究點(diǎn)一：余角和補(bǔ)角及其性質(zhì)
【類型一】 余角和補(bǔ)角的概念
如果α與β互為余角，則( )
A．α＋β＝180° B．α－β＝180°
C．α－β＝90° D．α＋β＝90°
解析：如果α與β互為余角，則α＋β＝90°.故選D.
方法總結(jié)：正確記憶互為余角的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【類型二】 利用余角和補(bǔ)角計(jì)算求值
已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù)．
解析：根據(jù)∠A與∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，從而得到∠A＝3∠B＋30°，再把兩個(gè)算式聯(lián)立即可求出∠2的值．
解：∵∠A與∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度數(shù)為15°.
方法總結(jié)：此題把角的關(guān)系結(jié)合方程問(wèn)題一起解決，即把相等關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，利用方程組來(lái)解決．
【類型三】 余角、補(bǔ)角和角平分線的綜合計(jì)算
如圖，已知∠AOB在∠AOC內(nèi)部，∠BOC＝90°，OM、ON分別是∠AOB，∠AOC的平分線，∠AOB與∠COM互補(bǔ)，求∠BON的度數(shù)．
解析：根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根據(jù)角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠BOM＝eq \f(1,2)∠AOB，根據(jù)解方程，可得∠AOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．
解：由∠AOB與∠COM互補(bǔ)，得∠AOB＋∠COM＝180°.
由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.
由OM是∠AOB的平分線，得∠BOM＝eq \f(1,2)∠AOB，
即∠AOB＋eq \f(1,2)∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.
由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
由ON平分∠AOC得∠AON＝eq \f(1,2)∠AOC＝eq \f(1,2)×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
方法總結(jié)：本題考查了余角與補(bǔ)角及角平分線的相關(guān)知識(shí)，利用了補(bǔ)角的性質(zhì)，角的和差，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解決問(wèn)題一定要結(jié)合圖形認(rèn)真分析，做到數(shù)形結(jié)合．
探究點(diǎn)二：方位角
【類型一】 利用方位角確定方向
M地是海上觀測(cè)站，從M地發(fā)現(xiàn)兩艘船A、B的方位如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是( )
A．船A在M的南偏東30°方向
B．船A在M的南偏西30°方向
C．船B在M的北偏東40°方向
D．船B在M的北偏東50°方向
解析：船A在M的南偏西90°－30°＝60°方向，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；船B在M的北偏東90°－50°＝40°方向，故C正確，D錯(cuò)誤．故選C.
方法總結(jié)：用方位角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為終邊，故描述方位角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．
【類型二】 方位角的有關(guān)計(jì)算
如圖所示，甲、乙、丙三艘輪船從港口O出發(fā)，當(dāng)分別行駛到A、B、C處時(shí)，經(jīng)測(cè)量得甲船位于港口的北偏東44°方向，乙船位于港口的北偏東76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．
(1)求∠BOC的度數(shù)；
(2)求∠AOB的度數(shù)．
解析：(1)根據(jù)方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案；
(2)根據(jù)方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．
解：如圖，(1)由乙船位于港口的北偏東76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°；
(2)由甲船位于港口的北偏東44°方向，乙船位于港口的北偏東76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.
方法總結(jié)：解決本題主要是理解方向角的表示方法，結(jié)合圖形找到相應(yīng)的角，然后進(jìn)行計(jì)算．
三、板書設(shè)計(jì)
1．互余、互補(bǔ)
(1)和為90°的兩個(gè)角互余；
(2)和為180°的兩個(gè)角互補(bǔ)．
2．方位角
通過(guò)比薩斜塔這一學(xué)生熟知的著名建筑激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再運(yùn)用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，把圖形的“靜”變成“動(dòng)”，在動(dòng)態(tài)課件演示中引出概念，增強(qiáng)了趣味性，并且可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，一下子把學(xué)生吸引到課堂上來(lái)．這樣也把書本上原本呆板的概念激活了，使數(shù)學(xué)知識(shí)充滿新鮮感，實(shí)現(xiàn)了書本知識(shí)和學(xué)生發(fā)現(xiàn)的一種溝通，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的敏感性．

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

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