考試時(shí)間：120分鐘
第I卷（選擇題共40分）
一、選擇題.（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題目要求的一項(xiàng).）
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
2. 已知命題：，，則命題的否定為（）
A. ，B. ，
C，D. ，
3. 已知，則下列不等式中成立的是（）
A. B. C. D.
4. 下列四個(gè)函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
5. 設(shè)，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 充要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分?不必要條件
6. 下列圖象中，表示定義域和值域均為的函數(shù)是（）
A. B.
C. D.
7. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
8. 已知是定義在R上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則
A. B.
CD.
9. 已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示的曲線ABC，則的值為（）
A. 3B. 0C. 1D. 2
10. 定義集合的新運(yùn)算如下：，若集合，，則等于（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題.（本題共5小題，每小題5分，共25分.）
11. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________．
12. 計(jì)算______
13. 設(shè)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_____；此時(shí)的值是______.
14. 比較兩個(gè)值的大?。篲_____（請(qǐng)用“>”，“=”“”，“=”“
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.
【詳解】因?yàn)?，即?br>又因?yàn)?，即?br>所以，
故答案為:.
15. 幾位同學(xué)研究函數(shù)時(shí)給出了下列四個(gè)結(jié)論：
①的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；
②在上單調(diào)遞減；
③的值域?yàn)椋?br>④當(dāng)時(shí)，有最大值；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
【答案】①，②，④
【解析】
【分析】
①利用定義研究函數(shù)奇偶性； ②化簡(jiǎn)整理函數(shù)，利用反比例函數(shù)平移可知函數(shù)的單調(diào)性；③④結(jié)合單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性，可求出函數(shù)的值域，可知當(dāng)時(shí)，的最大值；
【詳解】對(duì)于①，函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，即函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，利用反比例函數(shù)性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故②正確；
③由函數(shù)在上單調(diào)遞減，知在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，利用偶函?shù)對(duì)稱(chēng)性知的值域?yàn)?，故③錯(cuò)誤；
④由③知，當(dāng)時(shí)，有最大值；
故答案為：①，②，④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域，解題的關(guān)鍵在于研究函數(shù)時(shí)一定先求函數(shù)的定義域，利用定義域?qū)⒔^對(duì)值函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，利用偶函數(shù)只研究上的性質(zhì)，即可知道函數(shù)在定義域上的性質(zhì)。
三、解答題.（本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）
16. 已知全集，其子集，，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)交集定義直接計(jì)算；
（2）先根據(jù)補(bǔ)集定義求集合和集合的補(bǔ)集，然后再求利用并集定義可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
，
【小問(wèn)2詳解】
，，，
，
，
.
17. 已知二次函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于不等式；
（2）若的解集是，解關(guān)于的不等式
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）將代入，解二次不等式即可得解；
（2）由題意得是方程的兩根，從而求得，進(jìn)而解二次不等式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
則不等式，即為
即，解得，
所以的解集為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榈慕饧牵?br>所以是方程即的兩根，
則，解得，
所以可化為，
即，解得或，
所以的解集為或.
18. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，求的取值范圍.
【答案】（1）8 （2）圖象見(jiàn)解析，減區(qū)間為，增區(qū)間為
（3）
【解析】
【分析】（1）先得出，進(jìn)而即可得出答案；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；
（3）分別求出當(dāng)時(shí)以及時(shí)，不等式的解，即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由已知可得，，
所以，.
【小問(wèn)2詳解】
如圖，作出函數(shù)的圖象
由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，由可得，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解得，所以.
綜上所得，的取值范圍.
19. 已知函數(shù).
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析
（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷，從而求解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，先求定義域，再在定義域上任取不相等的兩個(gè)值，最后再作差，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行判斷單調(diào)性，從而求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知：的定義域?yàn)椋?br>，
所以得：為奇函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；
證明如下：
，且令，
所以：
因?yàn)?，所以，?br>所以：，
即，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
20. 已知二次函數(shù)的最小值為1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，再由得，從而得解；
（2）由題意得，解之即可得解；
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，從而分類(lèi)討論二次函數(shù)的最小值即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意，二次函數(shù)滿(mǎn)足，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
又函數(shù)的最小值為，可設(shè)，
又因?yàn)?，可得，解得?br>所以函數(shù)的解析式為.
【小問(wèn)2詳解】
由函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，
要使得函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
則滿(mǎn)足，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問(wèn)3詳解】
由函數(shù)，
若在上，恒成立，
則在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
又在上恒成立，即，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，解得，則；
當(dāng)，即時(shí)，
，解得，則；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
，解得（舍去）；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
21. 計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個(gè)大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留1.5米寬的通道，兩個(gè)養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道.設(shè)溫室的一邊長(zhǎng)度為米，兩個(gè)養(yǎng)殖池的總面積為平方米，如圖所示：
（1）將表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域；
（2）當(dāng)取何值時(shí)，取最大值？最大值是多少？
（3）若養(yǎng)殖池的面積不小于1015平方米，求溫室一邊長(zhǎng)度的取值范圍.
【答案】（1），
（2）x為30時(shí)，y取最大值為1215
（3）
【解析】
【分析】（1）按題意給出另一邊長(zhǎng)，再表示面積即可，由邊長(zhǎng)為正得定義域；
（2）整理面積的表達(dá)式，利用不等式即可給出最大值；
（3）解不等式即可由面積范圍求邊長(zhǎng)范圍.
【詳解】（1）依題意得：溫室的另一邊長(zhǎng)為米，則養(yǎng)殖池的總面積，
因?yàn)?，解?br>∴定義域?yàn)?br>（2）由（1），，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式等號(hào)成立，
所以.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)為30時(shí)，取最大值為1215.
（3）養(yǎng)殖池的面積不小于1015平方米即
所以，解得
故的取值范圍為.
x
1
2
3
2
3
0
x
1
2
3
2
3
0

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