第I卷（選擇題共40分）
一、選擇題:本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項.
1. 已知是兩個單位向量，則下列四個結(jié)論正確的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用單位向量的定義與向量數(shù)量積運(yùn)算即可得解.
【詳解】對于A，因?yàn)槭莾蓚€單位向量，但兩者方向不一定相同，
所以不一定成立，故A錯誤；
對于B，，顯然不一定成立，故B錯誤；
對于C，，則，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：D.
2. 已知向量滿足，則（ ）
A. B. 0C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：C.
3. 已知向量滿足，且，則（ ）
A. 12B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】借助向量的模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得.
【詳解】.
故選：B.
4. 各棱長均為三棱錐的表面積為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判斷三棱錐是正四面體，它的表面積就是四個三角形的面積，求出一個三角形的面積即可求解本題.
【詳解】由題意可知三棱錐是正四面體，各個三角形的邊長為a，三棱錐的表面積就是四個全等三角形的面積，即，
所以C選項是正確的.
【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題.
5. 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)，，計算，得復(fù)數(shù)的虛部.
【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，
則，，得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D
6. 若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸截面求出圓錐的底面半徑和高，求出體積.
【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高，
故體積為.
故選：A
7. 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+c2-b2=ac,則角B的值為
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【詳解】由余弦定理和及已知條件得，
所以，又，
所以，故選A.
考點(diǎn)：1.余弦定理；2.同角三角基本關(guān)系.
8. 在中，若．則一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等邊三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可判斷三角形形狀.
【詳解】因?yàn)?,
由正弦定理得，
所以,即,
因?yàn)?，所以，則，即，
故為等腰三角形.
故選：A.
9. 設(shè)是非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合充分條件與必要條件的定義及向量的數(shù)量積公式計算即可得.
詳解】若，則，故成立，
故“”是“”的充分條件；
當(dāng)，時，，
當(dāng)不符合，故“”不是“”的必要條件；
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
10. 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，得出，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是25，小正方形的面積是1，所以,
設(shè)，則，
在中，，即，解得或（舍去），
所以，
易知在正方形中，，，，
所以.
故選：B.
第II卷（非選擇題共110分）
二、填空題:本題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 復(fù)數(shù)__________．
【答案】;
【解析】
【詳解】 ，故答案為
12. 已知單位向量滿足，則向量與向量的夾角的大小為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)單位向量的夾角為，由得，再根據(jù)的范圍可得答案.
【詳解】設(shè)單位向量的夾角為，
由，
可得，因?yàn)椋?
故答案為：.
13. 體積為的球的表面積是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)球的體積求出球的半徑，繼而根據(jù)球的表面積公式，即可求得答案.
【詳解】設(shè)球的半徑為R，則，
故球的表面積是，
故答案為：
14. 在梯形ABCD中，為AD中點(diǎn)，若，則__________..
【答案】
【解析】
【分析】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算和平面向量的基本定理即可求解.
【詳解】
因?yàn)闉锳D中點(diǎn)，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
15. 已知非零向量，其中是一組不共線的向量.能使得與的方向相反的一組實(shí)數(shù)的值為__________，__________.
【答案】 ①. （答案不唯一，） ②. 1
【解析】
【分析】由題意可設(shè)，結(jié)合題意可得，整理得，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榕c方向相反，則，
即，可得，
又因?yàn)槭且唤M不共線的向量，則，消去可得，
取，可得.
故答案為：（答案不唯一，）；1.
三、解答題:本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步?或證明過程.
16. 復(fù)數(shù).
（1）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值;
（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值;
（3）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）令虛部為零，解一元二次方程即可；
（2）令實(shí)部為零，虛部不為零，解方程組即可；
（3）令實(shí)部和虛部同時小于零，解不等式組求交集即可；
【小問1詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，
所以，
解得或；
【小問2詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)
所以，
所以，
解得；
【小問3詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，
所以
所以，
解得的取值范圍是
17. 已知向量.
（1）求和的值;
（2）若向量與互相垂直，求的值.
【答案】（1）3，2；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模的坐標(biāo)表示，即可求得答案；
（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求解，即得答案.
【小問1詳解】
由題意得，
；
【小問2詳解】
，
因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，
所以，
解得
18. 已知向量滿足:，夾角為.
（1）求;
（2）求;
（3）若與方向相同的單位向量為，直接寫出在上的投影向量.
【答案】（1）1； （2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)量積的定義直接計算即可.
（2）由（1）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計算即得.
（3）利用投影向量的意義求出即可.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
【小問3詳解】
在上的投影向量為.
19. 在中，，，．
（1）求的面積；
（2）求及的值．
【答案】（1）22 （2），
【解析】
【分析】（1）由平方關(guān)系先算出，然后直接由三角形面積公式即可求解.
（2）先由余弦定理算出，然后由正弦定理即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)樵谥?，，?br>結(jié)合平方關(guān)系，可知，
從而由三角形面積公式，可知的面積為.
【小問2詳解】
因?yàn)樵谥校?，，?br>所以由余弦定理有，
又，所以解得，
由（1）可知，
所以由正弦定理有，即，
解得.
20. 在△中，，．
（1）求的大?。?br>（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．
條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）
（2）選擇條件②或③，
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可解得；
（2）條件②由余弦定理可得；條件③由三角形的面積公式和余弦定理可得.
【小問1詳解】
在中，因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
選擇條件②：因?yàn)橹?，，，?br>所以，即為等腰三角形，其中．
因?yàn)?，所以?br>所以．
設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，．
因?yàn)橹校?br>，
所以，即邊上的中線的長度為．
選擇條件③：因?yàn)橹?，，，?br>所以，即為等腰三角形，其中．
因?yàn)榈拿娣e為，即，
所以．
設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，．
因?yàn)橹校?br>，
所以，即邊上的中線的長度為．
由題可知，故①不合題意.
21. 對于任意實(shí)數(shù)，引入記號表示算式，即，稱記號為二階行列式.是上述行列式的展開式，其計算的結(jié)果叫做行列式的值.
（1）求下列行列式的值：
①；②；
（2）求證:向量與向量共線的充要條件是；
（3）討論關(guān)于的二元一次方程組有唯一解的條件，并求出解.（結(jié)果用二階行列式的記號表示）.
【答案】（1）①1；②0
（2）證明見解析 （3），答案見解析
【解析】
【分析】（1）借助行列式的定義計算即可得；
（2）借助向量共線的定義與性質(zhì)證明其其充分性與必要性即可得；
（3）解出該不等式后，借助行列式的定義表示出、即可得.
【小問1詳解】
①；②；
【小問2詳解】
若向量與向量共線，
則有，即，
所以必要性得證，
若，即，
當(dāng)不全為0時，即時，
不妨設(shè)，則，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以與共線，
當(dāng)且時，，所以與共線，
充分性得證；
綜上，向量與向量共線的充要條件是；
【小問3詳解】
由，則有，
消去得：，①
由，則有，
消去得：，②
所以當(dāng)時，即時，由①②得：
，，
所以當(dāng)時，關(guān)于的二元一次方程組有唯一解，
且.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助行列式的定義表示出、，從而得出其有唯一解的條件.

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