考試時(shí)間：120分鐘
第I卷（選擇題共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
2. 已知圓，則圓心與半徑分別為（）
A. ，B. ，
C，D. ，
3. 如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則與向量相等是（）
A. B. C. D.
4. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）
A. B.
C. D.
5. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則下列選項(xiàng)中能使成立的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6. 已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 或D. 或
7. 若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為（）
A. B. 或C. D. 或
8. 已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. D. 或
9. 正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）. 數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體. 如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）

A. B.
C. D.
10. 已知圓與圓，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓，圓切線，（，分別為切點(diǎn)），若，則的最小值為（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題:共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知直線的斜率為，在軸上的截距為，則直線的方程為______.
12. 已知，，為空間兩兩垂直的單位向量，且，，則______.
13. 已知，，三點(diǎn)共線，則______.
14. 已知圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離均為，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為______.
15. 已知正方體的棱長為，是空間中任意一點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則總有；
②若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐體積為定值；
③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則直線與平面所成角為定值；
④若點(diǎn)滿足，則過點(diǎn)，，三點(diǎn)的正方體截面面積的取值范圍為.
其中所有正確結(jié)論序號為______.
三、解答題:共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知圓.
（1）求經(jīng)過點(diǎn)的圓的切線方程；
（2）求直線被圓截得的弦長.
17. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
18. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，，為棱的中點(diǎn).
條件①：；
條件②：平面平面.
從條件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作已知，完成下列問題：
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)到平面的距離為，求線段的長.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且半徑為.
（1）若圓心也在直線上，求圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
20. 如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，，，.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，，定義為點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”.
（1）已知，，求；
（2）已知直線.
（i）求坐標(biāo)原點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值；
（ii）求圓上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值. 豐臺區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)
高二數(shù)學(xué)（A卷）
考試時(shí)間：120分鐘
第I卷（選擇題共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將直線方程化為斜截式，求出直線的斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系，及可求解．
【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．
故選：D．
2. 已知圓，則圓心與半徑分別為（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心與半徑即可
【詳解】圓的方程為為標(biāo)準(zhǔn)形式，
即圓心與半徑分別為，
故選：D.
3. 如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則與向量相等的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的運(yùn)算，用基向量表示即可.
【詳解】因?yàn)?
所以.
故選：C.
4. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）
A. B.
CD.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程求其斜率，再利用兩直線垂直得到垂直直線斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程得到垂直直線方程，化成一般式即為答案.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，
則與其垂直的直線的斜率為，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
則直線的方程為，即.
故選：B.
5. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則下列選項(xiàng)中能使成立的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】只需判斷是否成立，即可得出答案.
【詳解】要使，則應(yīng)有.
對于A項(xiàng)，由已知可知不成立，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)，由已知可得，所以，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，由已知可知不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，由已知可知不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
6. 已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由直線平行的充要條件列出方程求解，并注意檢驗(yàn)即可.
【詳解】由題意直線，滿足，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，
解得或；
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)或時(shí)，沒有重合的情況，即滿足.
故選：C.
7. 若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為（）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】畫出圖形，首先由垂徑分線定理算出原點(diǎn)到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以由垂徑分線定理可知，
由圓的方程可知，，
所以，
即原點(diǎn)到直線的距離為，
解得或.
故選：D.
8. 已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓的對稱性得出圓心在直線上，求出圓心坐標(biāo)代入直線方程計(jì)算并檢驗(yàn)即可.
【詳解】由題意可知，，
且圓心在直線上，代入直線方程得（舍去）
或.
故選：C
9. 正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）. 數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體. 如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】如圖所示：
由題意，可得，，
又由正八面體的棱長都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，
在中，由，可得，所以，所以
；
；
；
所以，
即直線和夾角的余弦值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄浚梢阎獥l件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.
10. 已知圓與圓，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓，圓的切線，（，分別為切點(diǎn)），若，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幾何關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，并求出中垂線的直線方程，再根據(jù)的幾何意義求解.
【詳解】
如圖，因?yàn)?，?所以,
所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，
因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，
且，所以中垂線的斜率為，
所以中垂線的直線方程為：，即，
又因?yàn)楸硎军c(diǎn)和點(diǎn)的距離，
所以點(diǎn)到直線的距離即為的最小值.
故選:A.
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題:共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知直線的斜率為，在軸上的截距為，則直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線的斜截式方程即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，在軸上的截距為，
所以所求直線方程為.
故答案為：.
12. 已知，，為空間兩兩垂直的單位向量，且，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】.
故答案為：-3.
13. 已知，，三點(diǎn)共線，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】由平面向量基本定理可知，若三點(diǎn)共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得，利用等量關(guān)系計(jì)算的值.
【詳解】若三點(diǎn)共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得，
所以，則，即，則.
故答案為：
14. 已知圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離均為，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】易得到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)軌跡方程為，由題意可知圓與圓相交，從而可求出的范圍，即可得解.
【詳解】到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)軌跡方程為，
其圓心為，半徑，
圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
其圓心，半徑，
由題意可知圓與圓相交，
則，
即，解得或，
則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為.
故答案為：.（答案不唯一，只要在內(nèi)即可）
15. 已知正方體的棱長為，是空間中任意一點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則總有；
②若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐體積為定值；
③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則直線與平面所成角為定值；
④若點(diǎn)滿足，則過點(diǎn)，，三點(diǎn)的正方體截面面積的取值范圍為.
其中所有正確結(jié)論的序號為______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由平面判斷①；由等體積法及線面距離為定值判斷②；由線面距離為定值及線面角判斷③；作出截面利用向量法計(jì)算面積判斷④.
詳解】對①，如圖，
連接，，在正方體中，，，，平面，所以平面，又平面，所以，又正方體中，，所以，故①正確；
對②，如圖，
因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>所以到平面的距離為定值，因?yàn)?，而為定值，所以為定值，故三棱錐體積為定值，故②正確；
對③，如圖，
在正方體中，，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，設(shè)直線與平面所成角為，而，不是定值，所以不為定值，故③錯(cuò)誤；
對④，因?yàn)?，且，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
在上取一點(diǎn)，使得，連接，
易知，且，即四點(diǎn)共面，即過，，三點(diǎn)的截面為截面.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系：
則，
因?yàn)?，?br>所以截面的面積為
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以過，，三點(diǎn)的正方體截面面積最小值為，最大值為，過點(diǎn)，，三點(diǎn)的正方體截面面積的取值范圍為，故④正確.
故答案為：①②④
三、解答題:共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知圓.
（1）求經(jīng)過點(diǎn)的圓的切線方程；
（2）求直線被圓截得的弦長.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由點(diǎn)斜式方程和圓心到切線的距離等于半徑即可求出，
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理即可求出.
【小問1詳解】
解：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，其方程為，
圓心到直線的距離為，
則此時(shí)直線與圓相切，滿足題意；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，
即，
則圓心到切線的距離，解得，
所以此時(shí)切線的方程為.
綜上：切線的方程為或.
【小問2詳解】
由題可知圓的圓心為，半徑為.
設(shè)圓心到直線的距離為，則.
所以直線被圓所截得的弦長為：.
17. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明，，來證得平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
因?yàn)橹比庵云矫妫?br>因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)橹比庵?，所以平面?br>平面，所以，，因?yàn)椋?br>所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，.
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
所以，即，
令，則，.
所以．
所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為.
18. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，，為棱的中點(diǎn).
條件①：；
條件②：平面平面.
從條件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成下列問題：
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)到平面的距離為，求線段的長.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）選①：先用勾股定理證明，再由線線垂直證明線面垂直，繼而證明。
選②：先由面面垂直證明線面垂直，繼而證明。
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法即可求解.
【小問1詳解】
選①：.
證明：在平行四邊形中，，
因?yàn)?，?br>所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因?yàn)槠矫妫?br>所以.
又因?yàn)椋?br>所以.
選②：平面平面.
證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平?
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以.
【小問2詳解】
由（2）知，BA，BD，BP兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，
所以，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則即
令，則，. 所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，
所以，
故點(diǎn)到平面的距離為，得.
所以
所以，
所以.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且半徑為.
（1）若圓心也在直線上，求圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圓心既在上，又在上，可求圓心坐標(biāo)，結(jié)合題干中半徑，代入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求圓的方程.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出和的長，因?yàn)樵趫A上，所以由的軌跡方程知，圓心到直線的距離不大于半徑，列出不等式即可.
【小問1詳解】
設(shè)圓心，由題意得，
解得，所以圓心，
因?yàn)閳A的半徑為1，
所以圓的方程為：.
【小問2詳解】
由題意，如圖所示：
設(shè)，由已知，圓心，，
得，
整理得，
所以點(diǎn)既在圓上又在直線上，
即：圓和直線有公共點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離不大于圓的半徑，
所以，
所以，
所以的取值范圍為：，
所以圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.
20. 如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，，，.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)，證明見解析
【解析】
【分析】（1）先利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量法求解即可；
（3）設(shè)，由求出，再利用空間向量法求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平?
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)樗倪呅问钦叫危?br>所以，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面.
【小問2詳解】
由（1）得平面，因?yàn)槠矫妫?，，兩兩垂直?br>以為原點(diǎn)，為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，?br>所以，
則，，,，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取得，
因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，，
所以，
設(shè)平面與平面夾角為，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值．
【小問3詳解】
線段上存在點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，滿足平面，證明如下：
設(shè)，
因，
所以，
由（2）知平面一個(gè)法向量為，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，解得，
所以線段上存在點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，滿足平面.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，，定義為點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”.
（1）已知，，求；
（2）已知直線.
（i）求坐標(biāo)原點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值；
（ii）求圓上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值.
【答案】（1）4 （2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中給定定義直接求解;
（2）（i）設(shè)直線上任意一點(diǎn)，，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分類討論在線段的延長線上時(shí)，線段的延長線上時(shí)，線段上時(shí)的情形即可；
（ii）判斷出軸時(shí)，的最小值為，過作直線的垂線，垂足為，則，當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
（i）直線與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，.
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，
則.
因?yàn)椋?br>所以.
綜上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值為.
（ii）由（i）可知，設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，的最小值為，如圖所示.
過作直線的垂線，垂足為，則，
所以.
當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值.
過點(diǎn)作直線的垂線，交單位圓于，垂足為，
當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，取到最小值.
易知，
所以的最小值為，

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