第I卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項.
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
2. 命題“”的否定為（）
A. “”
B“”
C. “”
D“”
3. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調遞增的是（）
A. B. C. D.
4. 下列說法正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
5. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則等于（）
A. B. C. D.
6. 設，則“”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的有（ ）
A. 0個B. 1個
C. 2個D. 3個
8. 若指數(shù)函數(shù)的圖像與射線（）相交，則（）
A. B.
C. D.
9. 如下圖，一個“心形”由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為（）
A. B. C. D.
10. 設集合A的最大元素為，最小元素為m，記A的特征值為，若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為0.已知，，，，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（）
A10B. 11C. 12D. 13
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域為__________.
12. 求值：________．
13. 當時，則的最小值為______，當取得最小值時的值為______．
14. 寫出一個使得命題“恒成立”是假命題的實數(shù)的值__________．（寫出一個的值即可）
15. 函數(shù)的定義域為，且，都有，給出下列四個結論：
①或；
②一定不是偶函數(shù)；
③若，且在上單調遞增，則在上單調遞增；
④若有最大值，則一定有最小值．
其中，所有正確結論的序號是______________．
三、解答題：本題共6小題,共85分,解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
16. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
17. 已知函數(shù).
（1）求值；
（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）若，求的取值范圍.
18. 已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結論；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用單調性定義證明；
（3）已知函數(shù)當時，的值域為，求實數(shù)的取值范圍.（只需寫出答案）
19. 已知函數(shù)，．
（1）若的解集是，求函數(shù)的零點；
（2）求不等式的解集．
20. 因新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入萬元安裝了一臺新設備，并立即進行生產(chǎn)，預計使用該設備前年的材料費、維修費、人工工資等共為（）萬元，每年的銷售收入萬元.設使用該設備前年的總盈利額為萬元.
（1）寫出關于的函數(shù)關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利；
（2）使用若干年后，對該設備處理方案有兩種：案一：當總盈利額達到最大值時，該設備以10萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設備以50萬元的價格處理；問哪種方案處理較為合理？并說明理由.
21. 對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．
（1）設函數(shù)，求集合和；
（2）求證：；
（3）設函數(shù)，且，求證：．豐臺區(qū)2023-2024學年度第一學期期中練習
高一數(shù)學（A卷）
第I卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項.
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關系即可求解.
【詳解】因為，所以，而是集合，與的關系不應該是屬于關系，而應該是包含關系.
故選:A
2. 命題“”的否定為（）
A. “”
B. “”
C. “”
D. “”
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用含有一個量詞的否定求解作答.
【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以命題“”的否定是：.
故選：D
3. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調遞增的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性確定正確答案.
【詳解】函數(shù)和函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意，CD選項錯誤.
函數(shù)是偶函數(shù)，且在上遞減，不符合題意，A選項錯誤.
函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調遞增，符合題意，B選項正確.
故選：B
4. 下列說法正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質可判斷A，B，C；舉反例可判斷D.
【詳解】對于A，當時，則時，，A錯誤；
對于B，若，則，B錯誤；
對于C，若，則，即，故，C正確；
對于D，若，不妨取若，則，D錯誤，
故選：C
5. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由冪函數(shù)所過的點求得，進而求.
【詳解】令，則，則，
所以.
故選：A
6. 設，則“”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出不等式的解集，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：由，解得，由，即，解得，
又?，
由推不出，故充分不成立，
由推得出，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
7. 設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的有（ ）
A. 0個B. 1個
C. 2個D. 3個
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域以及函數(shù)的定義，判斷選項即可．
【詳解】對于①，x＝2時，在N中無元素與之對應，不滿足任意性，故①錯誤；
對于②，同時滿足任意性與唯一性，故②正確；
對于③，x＝2時，對應元素y＝3?N，不滿足任意性，故③錯誤；
對于④，x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，不滿足唯一性，故④錯誤.
故選：B.
【點睛】本題考查函數(shù)的概念以及函數(shù)的定義域以及值域的應用，是基礎題．
8. 若指數(shù)函數(shù)的圖像與射線（）相交，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和兩種情況結合指數(shù)函數(shù)的圖象，射線的端點進行分析求解即可
【詳解】當時，代入射線得，
若，指數(shù)函數(shù)的圖象過第一、二象限，且單調遞減，要使指數(shù)函數(shù)的圖象與射線有交點，則當時，，所以，
若，則可知兩圖象在第一象限一定有交點，
綜上，或，
故選：D
9. 如下圖，一個“心形”由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)心形”上部分的函數(shù)圖象關于y軸對稱，排除部分選項，再根據(jù)函數(shù)的最大值判斷.
【詳解】由函數(shù)圖象知：“心形”上部分的函數(shù)圖象關于y軸對稱，而，，不滿足；
的圖象過（0，0），（-2，0），（2，0），當時，，當且僅當，即時，等號成立，不符合要求；
的圖象過（0，0），（-2，0），（2，0），當時，，當時，函數(shù)取得最大值1，符合要求；
故選：C
10. 設集合A的最大元素為，最小元素為m，記A的特征值為，若集合中只有一個元素，規(guī)定其特征值為0.已知，，，，是集合的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意保證各集合中盡量小，結合已知和集合的性質有最大時，進而分析的取值即可.
【詳解】由題意，，，，中都至少有一個元素，且元素個數(shù)互不相同，
要使最大，則各集合中盡量小，
所以集合，，，，中的元素個數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，
所以，不妨設，，，，，
則有，
當時，，
當時，，
所以只需在時，在上述特征值取最小的情況下，使其中一個集合的特征值增加7即可，
故的最大值為11.
故選：B.
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函數(shù)解析式，結合根式、分式的性質求定義域.
【詳解】由題設且，
所以函數(shù)定義域為.
故答案為：
12. 求值：________．
【答案】
【解析】
【分析】結合指數(shù)冪的運算化簡整理即可求出結果.
【詳解】
，
故答案為：.
13. 當時，則的最小值為______，當取得最小值時的值為______．
【答案】 ①. 7 ②. 5
【解析】
【分析】通過函數(shù)解析式的配湊，即可利用基本不等式可求解
【詳解】因為，當時等號成立，此時
故最小值為7, 當取得最小值時的值為5，
故答案為：7,5.
14. 寫出一個使得命題“恒成立”是假命題的實數(shù)的值__________．（寫出一個的值即可）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，假設命題“恒成立”是真命題，根據(jù)不等式恒成立，分類討論當和時兩種情況，從而得出實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)補集得出命題“恒成立”為假命題時的取值范圍，即可得出滿足題意的的值.
【詳解】解：若命題“恒成立”是真命題，
則當時成立，
當時有，解得：，
所以當時，命題“恒成立”是真命題，
所以當時，命題“恒成立”為假命題，
故答案為：.（答案不唯一，只需）
15. 函數(shù)的定義域為，且，都有，給出下列四個結論：
①或；
②一定不是偶函數(shù)；
③若，且在上單調遞增，則在上單調遞增；
④若有最大值，則一定有最小值．
其中，所有正確結論的序號是______________．
【答案】①③
【解析】
【分析】根據(jù)所給性質直接計算可判斷①，取特殊函數(shù)判斷②，利用函數(shù)的單調性定義判斷③，取特殊函數(shù)判斷④.
【詳解】因為，都有，
所以，即或，故①正確；
不妨取，則，即恒成立，所以是偶函數(shù)，故②錯誤；
設，且，則，所以，
即，所以，即在上單調遞增，故③正確；
不妨取，則滿足，函數(shù)有最大值1，但是無最小值，故④錯誤.
故答案為：①③
三、解答題：本題共6小題,共85分,解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
16. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）若，代入集合B，由補集交集并集的定義，求；
（2）若，分和兩種類型，求實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
時，，又，
，
，
.
【小問2詳解】
當時，
當時，則，得滿足題意
當時，則，
解得
綜上：實數(shù)的取值范圍是
17. 已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）作圖見解析，減區(qū)間為，增區(qū)間為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)代入求值；
（2）直接作出函數(shù)的大致圖象并寫出單調區(qū)間；
（3）對分段討論，代入相應解析式求解不等式.
【小問1詳解】
由得.
【小問2詳解】
，所以的圖象如下圖所示，
由圖可知,的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【小問3詳解】
由可得或，
解得或 ，
所以的取值范圍是.
18. 已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結論；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用單調性定義證明；
（3）已知函數(shù)當時，的值域為，求實數(shù)的取值范圍.（只需寫出答案）
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析
（2）單調遞增，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)定義證明；
（2）根據(jù)單調性定義證明；
（3）作出的圖象，觀察圖象得答案.
【小問1詳解】
函數(shù)為奇函數(shù).
證明：定義域，因為，都有，
且，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
【小問2詳解】
函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.
任取，，則
因為,，，所以，
即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.
【小問3詳解】
的范圍，理由如下：
先證明函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.
任取，，
則，
因為，，，所以，
即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.
根據(jù)的單調性與奇偶性可以作出的圖象如下：
計算可知：，
由圖可知，當時，的值域為，的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)，．
（1）若的解集是，求函數(shù)的零點；
（2）求不等式的解集．
【答案】19. 1和3；
20. 答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意確定是的一個根，從而求出，進而求解即可；
（2）先討論當時求解不等式，在時求得方程兩根為，再比較兩根大小，分類討論求解不等式即可.
【小問1詳解】
因為的解集是，所以是的一個根，
所以，解得，所以.
令，解得，
所以的零點為1和3.
【小問2詳解】
因為，即，所以，
當時，，解得；
當時，方程的兩根為，
當時，開口向下，且，解得；
當時，開口向上，且，解得或；
當時，開口向上，且，解得；
當時，開口向上，且，解得或；
綜上所述，當時，解集；
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為.
20. 因新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入萬元安裝了一臺新設備，并立即進行生產(chǎn)，預計使用該設備前年的材料費、維修費、人工工資等共為（）萬元，每年的銷售收入萬元.設使用該設備前年的總盈利額為萬元.
（1）寫出關于的函數(shù)關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利；
（2）使用若干年后，對該設備處理的方案有兩種：案一：當總盈利額達到最大值時，該設備以10萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設備以50萬元的價格處理；問哪種方案處理較為合理？并說明理由.
【答案】（1），3年；（2）第二種方案更合適，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）利用年的銷售收入減去成本，求得的表達式，由，解一元二次不等式求得從第年開始盈利.
（2）方案一：利用配方法求得總盈利額的最大值，進而求得總利潤；
方案二：利用基本不等式求得時年平均利潤額達到最大值，進而求得總利潤.
比較兩個方案獲利情況，作出合理的處理方案.
【詳解】（1）由題意得：
由得即，
解得
由，設備企業(yè)從第3年開始盈利
（2） 方案一總盈利額
，當時，
故方案一共總利潤，此時
方案二：每年平均利潤
，當且僅當時等號成立
故方案二總利潤，此時
比較兩種方案，獲利都是170萬元，但由于第一種方案只需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適.
【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.
21. 對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．
（1）設函數(shù)，求集合和；
（2）求證：；
（3）設函數(shù)，且，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）當時，直接解方程、，可得出集合、；
（2）分、兩種情況討論，第一種情況直接驗證即可；在第二種情況下，任取，由“穩(wěn)定點”和“不動點”的定義證得，即可得出結論；
（3）分、兩種情況討論，在第一種情況下，推導出，結合不等式的基本性質可得出，從而得出；在第二種情況下，推導出，結合不等式的基本性質可得出，從而得出.綜合可證得結論成立.
【小問1詳解】
解：由，可得，即，
由，解得，即.
故當時，.
【小問2詳解】
證明：當，則成立，
若，對任意的，，則，所以，，
因此，.
綜上所述，
【小問3詳解】
證明：因為，則關于的方程無實解，
即方程無實解，則，
構造函數(shù)，
①當時，函數(shù)圖象恒在軸上方，
即對任意的，則恒成立，
則，即恒成立，即；
②當時，函數(shù)的圖象恒在軸下方，
即對任意的，則恒成立，
則，即恒成立，即.
綜上所述，當時，.
【點睛】關鍵點點睛：在證明第三問時，要注意分、兩種情況分析，確定與之間的大小關系，進而可得出與的大小，從而證出結論成立.

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