第Ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 直線(xiàn)傾斜角為（）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，則（）
A. B. C. D.
3. 已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)方程為（）
A. B.
CD.
5. 圓截軸所得弦的長(zhǎng)度為（）
AB. C. D.
6. 若直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
7. 如圖，在平行六面體中，若，則有序?qū)崝?shù)組（）
A
B.
C.
D.
8. 已知直線(xiàn)：，：，若，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 或D. 或
9. 已知平面，其中點(diǎn)，向量，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（）
A. B.
C. D.
10. 正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）. 數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體. 如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)和夾角的余弦值為（）

A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題:共5小題，每小題5分，共25分.
11. 以為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________.
12. 已知點(diǎn)，，，則______.
13. 已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為_(kāi)_____.
14. 已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，記為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.當(dāng)變化時(shí)，的最大值為_(kāi)_____.
15. 在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①；
②；
③若為中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為；
④存在點(diǎn)，使得平面．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.
三、解答題:共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 在中，，，.
（1）求邊所在直線(xiàn)的方程；
（2）求邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.
17. 已知向量，，.
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求；
（3）若，，不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)的值.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，是棱的中點(diǎn).
（1）求證：//平面；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.
條件①：平面平面；
條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
19. 已知圓：.
（1）求圓的圓心坐標(biāo)以及半徑；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程；
（3）若圓與圓：有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20. 趙州橋，又名安濟(jì)橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價(jià)值，彰顯了中國(guó)勞動(dòng)人民的智慧和力量．2023年以來(lái)，中國(guó)文旅市場(chǎng)迎來(lái)強(qiáng)勁復(fù)蘇，某地一旅游景點(diǎn)為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，在該圓拱橋的示意圖中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求這座圓拱橋的拱圓的方程；
（2）若該景區(qū)游船寬，水面以上高，試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過(guò)，并說(shuō)明理由.
21. 如圖，在直三棱柱中，，，．，分別為棱，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
（2）求直線(xiàn)到平面的距離；
（3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)
高二數(shù)學(xué)（B卷）練習(xí)
第Ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 直線(xiàn)的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可.
【詳解】直線(xiàn)的斜率為，
設(shè)其傾斜角為，則，
又，故其傾斜角為.
故選：B
2. 已知向量，，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的共線(xiàn)定理即可求解.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且?br>所以，即，
可得，解得，
所以.
故選：C.
3. 已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：∵點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：A.
4. 已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把兩直線(xiàn)的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率的關(guān)系即可判斷.
【詳解】已知直線(xiàn)的斜率
所以垂直直線(xiàn)的斜率為
而D項(xiàng)中的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且只有D中的直線(xiàn)的斜率為，
故選：D.
5. 圓截軸所得弦的長(zhǎng)度為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圓的弦長(zhǎng)公式：，其中為圓心到弦所在直線(xiàn)的距離，計(jì)算可求弦長(zhǎng).
【詳解】解：由圓的方程可知，圓心為，半徑為，圓心到軸的距離為，
則.
故選：B
6. 若直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】聯(lián)立兩直線(xiàn)方程求出交點(diǎn)，即可根據(jù)第二象限的特征求解.
【詳解】,
所以交點(diǎn)為,由于在第二象限，所以，
所以的取值范圍為，
故選：D
7. 如圖，在平行六面體中，若，則有序?qū)崝?shù)組（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，結(jié)合空間向量的基本定理即可求得答案.
【詳解】由題意得
,
結(jié)合可得，
故，
故選：C
8. 已知直線(xiàn)：，：，若，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】若：，：，當(dāng)時(shí)，，代入后需驗(yàn)證，排除兩直線(xiàn)重合的情況.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即：，，解得：或，
當(dāng)時(shí)，：，：，符合題意；
當(dāng)時(shí)，：，即：，
：，此時(shí)與重合，舍去.
故選：A
9. 已知平面，其中點(diǎn)，向量，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)分別求出，計(jì)算值是否為0，從而得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，，所以，故點(diǎn)不在平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，所以，故點(diǎn)在平面內(nèi)，故B正確；
對(duì)于C，，所以，故點(diǎn)不在平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，所以，故點(diǎn)不平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
10. 正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）. 數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體. 如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)和夾角的余弦值為（）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】如圖所示：
由題意，可得，，
又由正八面體的棱長(zhǎng)都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，
在中，由，可得，所以，所以
；
；
；
所以，
即直線(xiàn)和夾角的余弦值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.
第Ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題:共5小題，每小題5分，共25分.
11. 以為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________.
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)圓心及坐標(biāo)即得.
【詳解】由題可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
12. 已知點(diǎn)，，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示法結(jié)合向量的減法運(yùn)算即可求解
【詳解】根據(jù)已知可得：，，
因此可得：.
故答案為：
13. 已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為_(kāi)_____.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率與方向向量之間的關(guān)系可得出直線(xiàn)的斜率.
【詳解】不妨令直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則，所以可以取，則，此時(shí)直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）
14. 已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，記為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.當(dāng)變化時(shí)，的最大值為_(kāi)_____.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程，求得該直線(xiàn)的定點(diǎn)，利用點(diǎn)到過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)以及點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由直線(xiàn)方程，則該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
易知圓上任意定點(diǎn)到該直線(xiàn)的最大距離就是該點(diǎn)到的距離，
由圓的方程，則其圓心為，半徑為，
點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為.
故答案為：.
15. 在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列4個(gè)結(jié)論：
①；
②；
③若為中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為；
④存在點(diǎn)，使得平面．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷①；以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷②③④.
【詳解】對(duì)于①，，
而，
所以，故①錯(cuò)誤；
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
故，
所以，所以，故②正確；
若平面，
又平面，所以，
，則，
則，解得，
所以存在點(diǎn)，使得，
又平面，
所以當(dāng)時(shí)，平面，
所以存在點(diǎn)，使得平面，故④正確；
對(duì)于③，若為中點(diǎn)，則，
故，
則，所以，
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為為，故③錯(cuò)誤.
故答案為：②④.
三、解答題:共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 在中，，，.
（1）求邊所在直線(xiàn)的方程；
（2）求邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩點(diǎn)之間的斜率公式求出斜率，然后利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求解即可；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>所以邊所在直線(xiàn)的斜率．
又因?yàn)樵撝本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以邊所在直線(xiàn)的方程為：，
即．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)邊上的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)即為邊上的中線(xiàn)．
因?yàn)?，?br>所以，又因?yàn)?br>所以直線(xiàn)的斜率．
又因?yàn)樵撝本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以直線(xiàn)的方程為：，
即．
17. 已知向量，，.
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求；
（3）若，，不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由可知，，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.
（2）模長(zhǎng)公式的坐標(biāo)運(yùn)算即可.
（3）利用空間共面向量定理即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴，即，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
∵，，
∴，
∴
【小問(wèn)3詳解】
若，，不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，
則與，共面，
故存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，是棱的中點(diǎn).
（1）求證：//平面；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.
條件①：平面平面；
條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；
（2）利用空間向量的方法求角即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在底面中，連接交于點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，連接．
因?yàn)槭侵形痪€(xiàn)，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
【小問(wèn)2詳解】
選①：平面平面．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，，
又底面是正方形，所以?xún)蓛上嗷ゴ怪保?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，．
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，．于是．
又因?yàn)槠矫妫?br>所以為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面與平面夾角為，則
．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
選②：．
因?yàn)?，，又底面是正方?br>所以?xún)蓛上嗷ゴ怪保?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，．
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，．于是．
又因?yàn)?，平面，所以平面?br>所以為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面與平面夾角為，則
．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
19. 已知圓：.
（1）求圓的圓心坐標(biāo)以及半徑；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程；
（3）若圓與圓：有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）圓心的坐標(biāo)為，半徑
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）將圓的一般方程化簡(jiǎn)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；
（2）討論切線(xiàn)的斜率不存在和存在的兩種情況求切線(xiàn)方程；
（3）由題意轉(zhuǎn)化圓心距和半徑的關(guān)系式，再轉(zhuǎn)化為不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閳A：，整理得
所以圓心的坐標(biāo)為，半徑．
【小問(wèn)2詳解】
①當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)的方程為，符合題意；
②當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)：，
即.
設(shè)圓心到切線(xiàn)的距離為，則．
整理可得：，
解得：
所以切線(xiàn)的方程為，即.
綜合①②，切線(xiàn)的方程為或.
【小問(wèn)3詳解】
圓與圓的圓心距為，
設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，
若圓與圓：有公共點(diǎn)，
則，即，
解得，
故．
20. 趙州橋，又名安濟(jì)橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價(jià)值，彰顯了中國(guó)勞動(dòng)人民的智慧和力量．2023年以來(lái)，中國(guó)文旅市場(chǎng)迎來(lái)強(qiáng)勁復(fù)蘇，某地一旅游景點(diǎn)為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，在該圓拱橋的示意圖中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求這座圓拱橋的拱圓的方程；
（2）若該景區(qū)游船寬，水面以上高，試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過(guò)，并說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）可以從橋下通過(guò)，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)這座圓拱橋的拱圓的一般方程為，將，，，代入化簡(jiǎn)即可得出答案；
（2）將當(dāng)代入圓的方程求出，與相比即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)這座圓拱橋的拱圓的一般方程為，
因?yàn)樵摴皥A過(guò)，，，
所以，解得．
所以拱圓的一般方程為，
即．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
得
所以該景區(qū)游船可以從橋下通過(guò)．
21. 如圖，在直三棱柱中，，，．，分別為棱，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
（2）求直線(xiàn)到平面的距離；
（3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由直三棱柱的性質(zhì)以及可證明兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，空間向量法計(jì)算直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
（2）利用線(xiàn)面平行的判定定理可證明平面，從而直線(xiàn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，空間向量法計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，可設(shè)，計(jì)算向量，由（2）可知平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算向量求解，可得出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
解：在直三棱柱中，
底面，所以，
又因?yàn)椋?br>所以?xún)蓛上嗷ゴ怪保?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，
則 即
令，則，．于是．
所以．
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，
所以，
故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．
【小問(wèn)2詳解】
在側(cè)面中，連接交于點(diǎn)，可知為中點(diǎn)，連接．
因?yàn)槭堑闹形痪€(xiàn)，
所以，又因?yàn)槠矫?平面,
所以平面．
所以直線(xiàn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．
又因?yàn)椋裕?br>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以直線(xiàn)到平面的距離為．
【小問(wèn)3詳解】
線(xiàn)段上存在點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，滿(mǎn)足平面，證明如下：
設(shè)，
因，，所以，所以
．
由（1）知平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槠矫?，所以，即?br>解得：，
所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，滿(mǎn)足平面．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
（1）若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，則；
（2）平面的法向量為，平面外一點(diǎn)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)，連接，則點(diǎn)到平面的距離為：；
（3）若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，若平面，則.

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