說明：本試卷共4頁，共120分.考試時長90分鐘.
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 命題“，”的否定為
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知關(guān)于x的方程的兩根同號，則m的取值范圍是（）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函數(shù)，則的值為（）
A. 3B. 0C. D.
5. 已知，則“”是“”的（）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
6. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
7. 已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是（ ）
A. B. C. D.
8. 設為上奇函數(shù)，且當時，，則（）
A. 12B. C. 13D.
9. 已知當時，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）
AB. C. D.
10. 對于全集子集定義函數(shù)為的特征函數(shù),設為全集的子集,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. 若則B.
C. D.
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上）
11. 函數(shù)的定義域為__________．
12. 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為, ，則的解集為________.
13. 定義在上的函數(shù)，給出下列三個論斷：
①在上單調(diào)遞增；
②；
③.
以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________，_________推出___________.（把序號寫在橫線上）
14. 了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水，實行“階梯水價”.計算方法如下表：
若某戶居民本月交納的水費為90元，則此戶居民本月用水量為___________.
15. 設函數(shù).給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的值域是；
②，有；
③，使得；
④若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的序號是_________.
三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. 設關(guān)于x的不等式的解集為A，不等式的解集為B.
（1）求集合A，B；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.
17. 已知函數(shù).
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
18. 已知二次函數(shù)的最小值為1，且.
（1）求的解析式；
（2）在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，確定實數(shù)m的取值范圍.
19. 為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設一座購物中心，現(xiàn)在計劃對其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為9萬元．設S為隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和．
（1）求m的值及用x表示S；
（2）當隔熱層的厚度為多少時，總費用S達到最小，并求最小值．
20. 已知是定義域為的函數(shù)，若對任意，，均有，則稱是S關(guān)聯(lián).
（1）判斷和證明函數(shù)是否是關(guān)聯(lián)?是否是關(guān)聯(lián)?
（2）若關(guān)聯(lián)，當時，，解不等式：.北京交大附中2023-2024學年第一學期期中練習
高一數(shù)學2023.10
說明：本試卷共4頁，共120分.考試時長90分鐘.
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因為集合，，則.
故選：D.
2. 命題“，”的否定為
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論否定，即可得答案.
【詳解】命題“，”的否定為“，”.
故選：A.
【點睛】本題考查特稱命題的否定的書寫，是基礎題.
3. 已知關(guān)于x的方程的兩根同號，則m的取值范圍是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用判別式和韋達定理解決.
【詳解】關(guān)于x的方程的兩根同號，則判別式大于等于0且兩根之積大于零，
則有，解得
故選：C
4. 已知函數(shù)，則的值為（）
A. 3B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，進而求出.
【詳解】由題意得，，則.
故選：D.
5. 已知，則“”是“”的（）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先求的解集，再利用充分必要條件的概念即可判斷.
【詳解】由得，此不等式與不等式同解，解得或.
所以，當時，一定成立，故充分性成立；
當即或時，不一定成立，故必要性不成立.
綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義即可得到答案.
【詳解】對于A，當時，，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B，因為的定義域為，
又，所以為奇函數(shù)，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，因為的定義域為，
又，所以為偶函數(shù)，故C錯誤.
對于D，因為的定義域為，
又，所以為偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：B.
7. 已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由數(shù)軸知 ，不妨取檢驗選項得解.
【詳解】由數(shù)軸知 ，不妨取，
對于A， ， 不成立.
對于B，， 不成立.
對于C， ， 不成立.
對于D， ，因此成立.
故選：D．
【點睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．
8. 設為上的奇函數(shù)，且當時，，則（）
A. 12B. C. 13D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)為上的奇函數(shù)，求出.
【詳解】因為為上的奇函數(shù)，所以，，
所以.
故選：C
9. 已知當時，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將參數(shù)與自變量分離，利用基本不等式求得最值即可得出實數(shù)m的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意當時，不等式恒成立，
則恒成立，只需即可；
易知當時，由基本不等式可得，當且僅當時取等號；
所以，即，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：A
10. 對于全集子集定義函數(shù)為的特征函數(shù),設為全集的子集,下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. 若則B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù),逐項分析,即可求得答案.
【詳解】
對于A,,
分類討論：
①當,則此時
②當且,即,此時，
③當且,
即時,,此時
綜合所述,有,故A正確;
對于B , ,故(2)正確；
對于C ,
,故C正確;
對于D ,,故D錯誤.
故選:D.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)新定義和集合運算,解題關(guān)鍵是充分理解新定義和掌握函數(shù),集合基礎知識,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上）
11. 函數(shù)的定義域為__________．
【答案】
【解析】
【詳解】依題意，.
12. 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為, ，則的解集為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，觀察即可得出答案.
【詳解】當時，由圖象可知，即的解集為.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，屬于中檔題.
13. 定義在上的函數(shù)，給出下列三個論斷：
①在上單調(diào)遞增；
②；
③.
以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________，_________推出___________.（把序號寫在橫線上）
【答案】 ①. ①（答案不唯一） ②. ②（答案不唯一） ③. ③（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)單調(diào)性和范圍即可推出不等式.
【詳解】①②推出③；
證明：當在單調(diào)遞增且當時，有，得證.
①③推出②；
證明：當在單調(diào)遞增且當時，有，得證.
①②無法推出③；
取，此時滿足且，但不滿足在單調(diào)遞增.
故答案為：①；②；③.（答案不唯一）
14. 為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水，實行“階梯水價”.計算方法如下表：
若某戶居民本月交納的水費為90元，則此戶居民本月用水量為___________.
【答案】##20立方米
【解析】
【分析】根據(jù)題設條件可得水費與水價的關(guān)系式，根據(jù)該關(guān)系式可求用水量.
【詳解】設用水量為立方米，水價為元，
則，
整理得到：，
當時，；時，；
故某戶居民本月交納的水費為90元，則用水量大于18立方米，
令，則（立方米），
故答案為：.
15. 設函數(shù).給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的值域是；
②，有；
③，使得；
④若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的序號是_________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】對于①，利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)畫出函數(shù)圖1，結(jié)合圖像即可判斷；
對于②，舉反例排除即可；
對于③，將問題轉(zhuǎn)化為與有交點，作出圖2即可判斷；
對于④，結(jié)合圖1對進行分析即可.
【詳解】對于①，因為，
所以由二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可畫出函數(shù)圖象，如圖1，
由的圖像易知的值域是，故①正確；
對于②，易得，，顯然在上并不單調(diào)遞增，所以②說法不成立，故②錯誤；
對于③，假設存在，，則，即，
即與有交點，作出圖像，如圖2，顯然假設成立，故③正確；
對于④，由圖1易知，則，
因為，所以，即，解得，
所以，即的取值范圍是，故④正確；
綜上：①③④正確.
故答案：①③④.
三、解答題（本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16. 設關(guān)于x的不等式的解集為A，不等式的解集為B.
（1）求集合A，B；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）解絕對值不等式和二次不等式即可得解；
（2）利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【小問1詳解】
因為，所以，則，
所以，
因為，所以，解得，
所以
【小問2詳解】
因為，
因為恒成立，所以，
所以，解得，
故a取值范圍為.
17. 已知函數(shù).
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）任取，且，通過計算的正負來判斷單調(diào)性；
（2）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性求出最值即可.
【小問1詳解】
任取，且，
則，
因為，，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函數(shù).
【小問2詳解】
由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.
18. 已知二次函數(shù)的最小值為1，且.
（1）求的解析式；
（2）在區(qū)間上，圖象恒在的圖象上方，確定實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函數(shù)解析式的頂點式、待定系數(shù)法分析運算即可得解.
（2）由題意將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，利用分離參數(shù)法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運算即可得解.
【小問1詳解】
解：由題意，設二次函數(shù)，，
∵，
∴，解得：，
∴，.
【小問2詳解】
解：∵在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，
∴在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，則區(qū)間上恒成立，
∴，
∵函數(shù)圖象的對稱軸為，開口向上，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，則，
∴實數(shù)m的取值范圍是.
19. 為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設一座購物中心，現(xiàn)在計劃對其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為9萬元．設S為隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和．
（1）求m的值及用x表示S；
（2）當隔熱層的厚度為多少時，總費用S達到最小，并求最小值．
【答案】（1），（）；
（2）當隔熱層的厚度為6.25cm時，總費用取得最小值110萬元.
【解析】
【分析】（1）利用給定條件，求出的值，進而可得能源消耗費用與隔熱層建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根據(jù)等號成立的條件可得隔熱層厚度.
【小問1詳解】
設隔熱層厚度x，依題意，每年的能源消耗費用為：，而當時，，
則，解得，
顯然建造費用為，所以隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和為：
（）.
【小問2詳解】
由（1）知
，
當且僅當，即時取等號，
所以當隔熱層的厚度為6.25cm時，總費用取得最小值110萬元．
20. 已知是定義域為的函數(shù)，若對任意，，均有，則稱是S關(guān)聯(lián).
（1）判斷和證明函數(shù)是否是關(guān)聯(lián)?是否是關(guān)聯(lián)?
（2）若是關(guān)聯(lián)，當時，，解不等式：.
【答案】（1）是關(guān)聯(lián)，不是關(guān)聯(lián)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)定義直接判斷即可；
（2）先根據(jù)關(guān)聯(lián)定義確定函數(shù)滿足的性質(zhì)，再結(jié)合時的解析式畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像即可求解.
【小問1詳解】
任取，若，則
所以是關(guān)聯(lián)；
若，則，
所以不是關(guān)聯(lián).
【小問2詳解】
由題意知，當時，，即，
由于當時，，所以畫出的圖像如圖，
當時，令得，
令得或，
結(jié)合圖像求出點，，
所以當時，，
每戶每月用水量
水價
不超過的部分
3元/
超過但不超過的部分
6元/
超過的部分
9元/
每戶每月用水量
水價
不超過的部分
3元/
超過但不超過的部分
6元/
超過的部分
9元/

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