一、教學目標
1.理解并掌握正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；
2.會利用正切線及正切函數(shù)的性質(zhì)作正切函數(shù)的圖象，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；
3.能夠應用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)
二、教學重難點
重點：正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性 .
難點：能夠應用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題．

三、教學過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
情境：孔子東游，見兩小兒辯斗，問其故.
一兒曰：“我以日始出時去人近，而日中時遠也?！?
一兒曰：“日初出大如車蓋。及日中，則如盤盂，此不為遠者小而近者大乎？”
一兒曰：“日初出滄滄涼涼，及其日中如探湯，此不為近者熱而遠者涼乎？” 孔子不能決也。兩小兒笑曰：“孰為汝多知乎？”
事實上，中午的氣溫較早晨高，主要原因是早晨太陽斜射大地，中午太陽直射大地.在相同的時間、相等的面積里，物體在直射狀態(tài)下吸收的熱量多，這就涉及太陽光和地面的角度問題.
研究太陽光和地面的角度問題常常用到那個函數(shù)的性質(zhì)與圖象呢？
答：正切函數(shù).
回顧：結(jié)合所學，你能說出正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的圖象與性質(zhì)的研究過程嗎？
答：作函數(shù)圖象→根據(jù)圖象研究性質(zhì)
y=sin x，x∈[0，2π]→y=sin x，x∈R→正弦函數(shù)的性質(zhì)
根據(jù)研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應該如何研究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)？
答：正切函數(shù)的定義→部分性質(zhì)→圖象
研究圖象→正切函數(shù)的性質(zhì)
設(shè)計意圖：通過重溫“正弦函數(shù)的圖象”，類比得出探索正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的可能思路：思考正切函數(shù)的部分性質(zhì)（定義域和周期性），借助單位圓作出一個周期內(nèi)的。第二步，根據(jù)圖象探索新的性質(zhì).
探究新知
任務1：探索正切函數(shù)的周期性、奇偶性
思考：根據(jù)已有的知識準備，你能得到正切函數(shù)的哪些性質(zhì)？
要求：
1.先獨立思考2分鐘；
2.小組內(nèi)交流討論；
3.以小組為單位進行展示匯報.
答：定義域： {x|x≠π2+kπ，k∈Z}
周期性：由誘導公式 tan(π+x)=tanx，x∈R且x≠π2+kπ，k∈Z可知：
正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π；
奇偶性：由誘導公式 tan(–x)=– tanx，x∈R 且x≠π2+kπ，k∈Z可知，
正切函數(shù)有奇偶性，是奇函數(shù).
師生活動：通過回顧誘導公式，引導學生歸納正切函數(shù)的周期性與奇偶性．
設(shè)計意圖：通過對已有的知識進行回顧，探究正切函數(shù)的性質(zhì)，并為利用這些性質(zhì)畫出正切函數(shù)的圖象作出鋪墊．
任務2：探索正切函數(shù)的圖象
探究：如何畫出函數(shù)y=tanx, x ∈[0,π2) 的圖象的圖象？
答：設(shè)x ∈[0,π2) ，在直角坐標系中畫出角x的終邊與單位圓的交點B（x0, y0）過點B作x軸的垂線，垂足為M；過點A（1,0）作x軸的垂線與角x的終邊交于點T，則
tanx=y0x0=MBOM=ATOA=AT；由此可見，當x ∈[0,π2) 時，線段AT的長度就是相應角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數(shù)y=tanx, x ∈[0,π2) 的圖象.

如圖所示：

當x ∈[0,π2) 時，
1.隨著x的增大，線段AT的長度也在增大
2.且當x趨向于π2時AT的長度趨向于無窮大
3.函數(shù)y=tanx, x ∈[0,π2)的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，且向右上方無限逼近直線 x =π2.
師生活動：學生觀察圖象，討論交流.
思考：你能借助以上的結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫出正切函數(shù)的圖象嗎？
答：根據(jù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，只要畫出y=tanx, x ∈[0,π2)的圖象關(guān)于原點的對稱圖形，就可得到y(tǒng)=tanx, x∈(?π2，0]的圖象.
借助正切函數(shù)的周期性，只要把函數(shù)y=tanx, x∈(?π2，π2)的圖象向左、右平移，每次平移π個單位，就可得到函數(shù) y=tanx,x≠π2+kπ，k∈Z的圖象.
思考：類比五點法作圖，正切函數(shù)的圖象是否也能抓住幾個關(guān)鍵點？
答：“三點”：(π4,1),(?π4,?1),(0,0)
“兩線”：直線x=±π2?
師生活動：引導學生觀察總結(jié)圖象特征：正切曲線是由相互平行的直線x≠π2+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成，每支曲線向上、向下可無限接近相應的兩條直線。
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生的總結(jié)歸納能力．
任務3：探索正切函數(shù)的單調(diào)性與值域
做一做：觀察正切函數(shù)的圖象，完成下列填空.
總結(jié)：正切曲線是由被與y軸平行的一系列直線x=π2+kπ，k∈Z 所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的，圖象無限接近這些直線但永不相交.
思考：正切函數(shù)在在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？
正切函數(shù)在每一個區(qū)間?π2+kπ,π2+kπ，k∈Z上都單調(diào)遞增；但是在整個定義域上不是增函數(shù).
總結(jié)：
設(shè)計意圖：通過對正切函數(shù)圖象的分析，歸納總結(jié)單調(diào)性和最值，使學生理解正切函數(shù)的性質(zhì)，突破難點．發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．
任務4：探索正切函數(shù)的對稱性
探究：正切函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，除了原點之外，正切函數(shù)還有其它的對稱中心嗎？有沒有對稱軸？
師生活動：學生觀察正切函數(shù)的圖象，分組討論，共同歸納總結(jié).
總結(jié)：正切函數(shù)的對稱中心是 (kπ2，0)，k∈Z；無對稱軸.
設(shè)計意圖：學生通過觀察正切函數(shù)的圖象，嘗試總結(jié)正切函數(shù)的對稱性，培養(yǎng)學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)，同時培養(yǎng)他們的團隊合作意識.
（三）應用舉例
例1求函數(shù)y＝tan(2x?π4)的定義域．
解：由2x?π4≠kπ+π2(k∈Z)，得x≠3π8+kπ2(k∈Z)，
所以函數(shù)的定義域為{x|x≠3π8+kπ2，k∈Z}.
總結(jié)：函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的定義域是{x|x≠π2ω?φ2ω+kπω，k∈Z}
設(shè)計意圖：通過例1的鞏固訓練，讓學生加深對正切函數(shù)定義域的理解.并掌握“整體代換”思想.
例2 求函數(shù)y=tan2x?2tanx+3,x∈[π4,π3]的值域.
解：由題意，得 y=(tanx?1)2+2，
因為x∈[π4,π3]，
所以tanx∈[1 , 3]，
所以原函數(shù)的值域為[2 , 6?23].
總結(jié)：
1.求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tanx有意義，即x≠π2+kπ，(k∈Z)，而對于構(gòu)建的三角函數(shù)不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．
2.求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要注意函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求值域；對于求由正切函數(shù)復合而成的函數(shù)的值域時，常利用換元法，但要注意新“元”的范圍．
例3 比較大?。簍an1與tan4．
解：因為tan4＝tan[π＋(4－π)]＝tan(4－π)，
因為－ π2＜4－π＜1＜ π2，
且y＝tanx在區(qū)間(?π2，π2) 上單調(diào)遞增
所以，tan(4－π)＜tan1，
即，tan1＞tan4.
師生活動：師生共同分析此問題，然后共同完成求解．
設(shè)計意圖：初步應用正切函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問題．
總結(jié)：運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小時，先把各角轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再運用單調(diào)性比較大小.
例4 求函數(shù)y=tanπ2x+π3的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間．
分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應的結(jié)論.
解：自變量x的取值應滿足;
π2x+π3≠π2+kπ，k∈Z；即;x≠13+2k，k∈Z
所以，函數(shù)的定義域是xx ≠13+2k，k∈Z
設(shè)z=π2x+π3，又tanz+π=tanz，
所以tan?[π2x+π3+π]=tanπ2x+π3
即： tan?[π2x+2+π3]=tanπ2x+π3
因為?x∈xx ≠13+2k，k∈Z,
都有tan?[π2x+2+π3]=tanπ2x+π3
所以，函數(shù)的周期為2．
由?π2+kπ0)，
解得ω=4，
故選C．
2.若函數(shù)y=tanx+φφ≥0的圖象與直線x=2π沒有交點，則φ的最小值為( )
A. πB. π2C. π4D. 0
解：函數(shù)y=tanx的圖象與直線x=π2+kπ(k∈Z)沒有交點．
若函數(shù)y=tanx+φφ≥0的圖象與直線x=2π沒有交點，
則2π+φ=π2+kπ(k∈Z)，φ=?3π2+kπ(k∈Z)，又φ?0，
則φ的最小值為π2．
故選：B．
3.已知函數(shù)f(x)=3tan(2x+π6)，下列結(jié)論正確的是( )
A. 函數(shù)f(x))恒滿足f(x+π2)=f(x)
B. 直線x=π6為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸
C. 點(?π12,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心
D. 函數(shù)y=f(x)在(?7π12,5π12)上單調(diào)遞增
解：對于A，根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式，f(x)的最小正周期為π2，A正確；
對于B，正切型函數(shù)無對稱軸，B錯誤；
對于C，由f(?π12)=3tan0=0，所以點(?π12,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心，C正確；
對于D，區(qū)間(?7π12,5π12)的長度為π，而f(x)的最小正周期為π2，故f(x)在該區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，D錯誤．
故選AC．
4.已知函數(shù)f(x)=3tanπ6?x4．
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較f(π)與f11π2的大?。?br>解：(1)函數(shù)f(x)=3tan (π6?x4)=?3tan (x4?π6)，
所以最小正周期T=π|ω|=π14=4π．
由kπ?π2

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5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

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