一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.掌握二次根式的概念和性質(zhì);
2.理解最簡二次根式的概念;
3.掌握二次根式的四則運算;
4.利用二次根式解決一些綜合性的數(shù)學(xué)問題.
重點：掌握二次根式的概念和性質(zhì);掌握二次根式的四則運算.
難點：利用二次根式解決一些綜合性的數(shù)學(xué)問題
二、學(xué)習(xí)過程：
知識梳理
一、二次根式的概念
一般地，我們把形如___________的式子叫做二次根式，“____”稱為二次根號.
【深度理解】________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________
二、二次根式的有意義的條件
1.單個二次根式如有意義的條件：________
2.多個二次根式相加如有意義的條件：_________
3.二次根式作為分式的分母如或有意義的條件：________
4.二次根式與分式的和如或有意義的條件：_______________
三、二次根式的性質(zhì)
性質(zhì)一：一般地，__________________
即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于_________.
注意：___________________________________________________________.
性質(zhì)二：任意一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的_________.
四、代數(shù)式及其寫法
思考：到現(xiàn)在為止，初中階段所學(xué)的代數(shù)式主要有哪幾類？
【歸納】代數(shù)式書寫格式注意事項：
1.________________________________________________________________
2.________________________________________________________________
3.________________________________________________________________
4.________________________________________________________________
5.________________________________________________________________
六、二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法則：__________________________
即：二次根式相乘，________不變，________相乘.
語言表述：____________________________________________________.
2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：__________________________
語言表述：____________________________________________________.
七、二次根式的除法
1.二次根式的除法法則： (a≥0，b＞0)
即：二次根式相除，________不變，________相除.
語言表述：___________________________________________.
當(dāng)二次根式根號外的因數(shù)(式)不為1時，可類比單項式除以單項式法則，易得
2.二次根式的商的算術(shù)平方根的性質(zhì):
語言表述：_______________________________________________.
八、最簡二次根式
(1) _________________________；
(2) _________________________________________.
我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做___________________.
在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為__________，并且______中不含二次根式.
九、二次根式的加減
1.化成_______________后，被開方數(shù)________的幾個二次根式，叫做___________________.
2.二次根式加減時，可以先將二次根式化成_______________，再將被開方數(shù)_____的二次根式(________________)進行合并.
加減法的運算步驟：
(1)______________________________________；
(2)______________________________________；
(3)______________________________________.
簡單說成“__________________________”
十、二次根式的混合運算
二次根式的混合運算：
二次根式的混合運算的順序：________________________________________
__________________________________________________________________.
考點解析
考點1：二次根式的相關(guān)概念有意義的條件
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
例2.當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

例3.已知,求3x+2y的算術(shù)平方根.
【遷移應(yīng)用】
【1-1】下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【1-2】使式子有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
【1-3】已知a，b為等腰三角形的兩條邊長，且a，b滿足，求此三角形的周長．
考點2：二次根式的性質(zhì)及其應(yīng)用
例4.若，求a-b+c的值.
例5.已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示,化簡．
例6.已知a，b，c為△ABC的三邊長，化簡：++
+.
【遷移應(yīng)用】
【2-1】下列計算正確的是（ ）
A．B． C． D．
【2-1】成立的條件是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【2-3】若，則化簡的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．1
【2-4】如圖，實數(shù)a，b，c是數(shù)軸上A，B，C三點所對應(yīng)的數(shù)，化簡．
考點3：二次根式的運算及典型應(yīng)用
例7.計算：
例8.計算：

例9.已知，，求的值．
例10.化簡求值：．
【遷移應(yīng)用】
【3-1】下列各式計算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【3-2】計算：
(1)； (2);
【3-3】先化簡，再求值：,其中
考點4：二次根式的實際應(yīng)用
例11.把兩張面積都為18的正方形紙片各剪去一個面積為2的正方形，并把這兩張正方形紙片按照如圖所示疊合在一起，做出一個雙層底的無蓋長方體紙盒．求這個紙盒的側(cè)面積（接縫忽略不計）．
例12.某居民小區(qū)有塊形狀為矩形的綠地，長為米，寬為米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為米，寬為米．
(1)求矩形的周長．（結(jié)果化為最簡二次根式）
(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？
【遷移應(yīng)用】
【4-1】如圖，用四張一樣大小的長方形紙片拼成一個面積是125的正方形ABCD，，圖中空白部分是一個小正方形，求這個小正方形的周長．
【4-2】已知a,b,c滿足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c為三邊長能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出其周長；若不能，請說明理由.
【4-3】為了表示對老師的敬意，張昊同學(xué)特地做了兩張大小不同的正方形的畫送給老師，其中一張面積為800cm2，另一張面積為450cm2.他想：如果再用金色細彩帶把畫的邊鑲上會更漂亮．他手上現(xiàn)有1.2m長的金色細彩帶．請你幫他算一算，他的金色細彩帶夠用嗎？如果不夠用，還需買多少厘米的金色細彩帶？(≈1.414，結(jié)果保留整數(shù))
考點5：二次根式中的規(guī)律性問題
例13.觀察下列等式：
①；
②；
③
…回答下列問題：
（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：
（2）計算： ．
【遷移應(yīng)用】
【5-1】將一組數(shù)，2，，2，，…，2按圖中的方法排列：
若3的位置記為（2，3），2的位置記為（3，2），則這組數(shù)中最大數(shù)的位置記為______．
【5-2】觀察下列等式：
第1個等式：a1=，
第2個等式：a2=，
第3個等式：a3==2-，
第4個等式：a4=，
…
按上述規(guī)律,回答以下問題：
(1)請寫出第n個等式：an=__________.
(2)a1+a2+a3+…+an=_________
【5-3】觀察下列各式及證明過程：
①；
②；
③．
驗證：；
．
（1）按照上述等式及驗證過程的基本思想，猜想的變形結(jié)果，并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用（為正整數(shù)，且）表示的等式．

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16.1 二次根式

版本： 人教版（2024）

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