專題1.10 巧用運算規(guī)律簡化有理數(shù)計算的七種方法【七大題型】 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc9285" 【題型1 歸類法】  PAGEREF _Toc9285 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc27198" 【題型2 湊整法】  PAGEREF _Toc27198 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc30854" 【題型3 逆向法】  PAGEREF _Toc30854 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc8638" 【題型4 拆項法】  PAGEREF _Toc8638 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc3031" 【題型5 組合法】  PAGEREF _Toc3031 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc13946" 【題型6 裂項相消法】  PAGEREF _Toc13946 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc27960" 【題型7 倒數(shù)求值法】  PAGEREF _Toc27960 \h 11  【知識點1 歸類法】 運用加法交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等. 【題型1 歸類法】 【例1】（2022春?普陀區(qū)校級期中）計算：8+（﹣1）﹣5﹣（）． 【分析】根據(jù)加法交換律、加法結(jié)合律，求出算式的值即可． 【解答】解：8+（﹣1）﹣5﹣（） ＝（8﹣5）+[（﹣1）﹣（）] ＝3+（） ＝2． 【變式1-1】（2022春?徐匯區(qū)校級期中）計算：． 【分析】利用有理數(shù)的加減混合運算，進(jìn)行計算即可． 【解答】解：原式 ． 【變式1-2】（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：． 【分析】運用加法交換律和結(jié)合律計算． 【解答】解：原式＝21 ＝（21）+（） 1 ＝1． 【變式1-3】（2022秋?和平區(qū)校級月考）計算： （1）； （2）﹣5． 【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運算和加法結(jié)合律計算即可； （2）根據(jù)有理數(shù)加減混合運算和加法結(jié)合律計算即可． 【解答】解：（1） ＝31214 ＝（32）+（﹣11）﹣4 ＝1﹣4 ； （2）﹣5 ＝（﹣59）+（173） ＝﹣1514 ＝﹣1． 【知識點2 湊整法】 將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消. 【題型2 湊整法】 【例2】（2022秋?普陀區(qū)期末）計算：3.43﹣26.57﹣5． 【分析】先運用加法的交換結(jié)合律進(jìn)行簡便計算，再進(jìn)行最后的減法運算． 【解答】解：3.43﹣26.57﹣5 ＝（3.43+6.57）﹣（25） ＝10﹣8 ＝2． 【變式2-1】（2022秋?濟(jì)南期末）計算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）． 【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法放入法則進(jìn)行計算即可． 【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5 ＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5） ＝﹣20+15 ＝﹣5． 【變式2-2】（2022秋?上蔡縣月考）計算： （1）22（﹣5）﹣（﹣5）． （2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18． 【分析】（1）先將加減統(tǒng)一為加法，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可； （2）先將加減統(tǒng)一為加法，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可． 【解答】解：（1）22（﹣5）﹣（﹣5） ＝2255 ＝（25）+（25） ＝8﹣3 ＝5； （2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18 ＝3.75﹣5.18+2.25+5.18 ＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18） ＝6． 【變式2-3】（2022秋?石景山區(qū)校級期中）計算：（﹣12.7）﹣（﹣5）﹣87.3+3． 【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法法則進(jìn)行計算即可得出結(jié)果． 【解答】解： ＝（﹣12.7﹣87.3）+（53） ＝﹣100+9 ＝﹣91． 【知識點3 逆向法】 主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)互相轉(zhuǎn)化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計算變得更加簡單. 【題型3 逆向法】 【例3】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）用簡便方法計算 ． 【分析】先根據(jù)同號得正異號得負(fù)進(jìn)行符號運算，然后逆運用乘法分配律，提取，并利用加法結(jié)合律計算，最后進(jìn)行有理數(shù)的乘法運算即可得解． 【解答】解：（﹣92）+（）×3423， 923423， （92﹣3423）， （92﹣11）， 81， ＝18． 【變式3-1】（2022秋?蘭山區(qū)月考）252525×（） 【分析】逆運用乘法分配律進(jìn)行計算即可得解． 【解答】解：252525×（） ＝25×（） ＝25×0 ＝0． 【變式3-2】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）用簡便方法計算： （1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31； （2）99（﹣36）． 【分析】（1）原式逆用乘法分配律計算即可得到結(jié)果； （2）原式變形后，利用乘法分配律計算即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）原式＝31（﹣9﹣8+16） ＝31（﹣1） ＝﹣31； （2）原式＝（100）×（﹣36） ＝100×（﹣36）（﹣36） ＝﹣3600 ＝﹣3599． 【變式3-3】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）簡便計算 （﹣48）×0.125+48 【分析】利用乘法的分配律先提取48，再進(jìn)行計算即可得出答案； 【解答】解：（﹣48）×0.125+48 ＝48×（） ＝0. 【知識點4 拆項法】 將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔. 【題型4 拆項法】 【例4】（2022秋?安陸市期中）閱讀下面的計算過程，體會“拆項法” 計算：﹣5． 解：原式0 啟發(fā)應(yīng)用 用上面的方法完成下列計算： 【分析】將原式利用“拆項法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（），再根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算可得． 【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（） ＝﹣4+（） ＝﹣4． 【變式4-1】（2022秋?鐵西區(qū)期末）計算：1.5﹣（﹣4）+3.75﹣（+8）． 【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則即可求出答案． 【解答】解：原式＝1438 ＝﹣7+8 ＝1． 【變式4-2】（2022秋?浦東新區(qū)期中）計算：． 【分析】可按法則從左往右算求出結(jié)果；亦可把帶分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)與分?jǐn)?shù)和的形式，再利用加法的交換律和結(jié)合律，把整數(shù)與分?jǐn)?shù)分別相加． 【解答】解：原式＝52 （5﹣2）+（） ＝3+（） ＝3 ＝3． 【變式4-3】（2022秋?涼山州期末）：． 【分析】寫成幾個整數(shù)的和以及幾個分?jǐn)?shù)的和即可． 【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（）]+[（﹣2022）+（）]+4044+（） ＝（﹣2021﹣2022+4044）+（） ＝1+（﹣1） ＝0． 【知識點5 組合法】 找出規(guī)律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化題目. 【題型5 組合法】 【例5】（2022秋?南開區(qū)期中）計算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝　﹣50?。?【分析】根據(jù)結(jié)合律，可得答案． 【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99 99 ＝49﹣99 ＝﹣50， 故答案為：﹣50． 【變式5-1】（2022秋?襄汾縣期中）計算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016 【分析】根據(jù)每四項運算結(jié)果可知，每四項結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504，正好為4的倍數(shù)，從而得出結(jié)論． 【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四項結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504， ∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016． 【變式5-2】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值為（　?。?A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101 【分析】原式兩項兩項合并正好得50個（﹣1），最后計算結(jié)果即可． 【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+?+（99﹣100） ＝﹣50， 故選：B． 【變式5-3】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算： （1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99； （2）||+||﹣||． 【分析】（1）兩個一組計算，再相加即可求解； （2）先計算絕對值，再抵消計算即可求解． 【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99 ＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2） ＝﹣2×25 ＝﹣50； （2）||+||﹣|| ＝0． 【知識點6 裂項相消法】 將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔. 【題型6 裂項相消法】 【例6】（2022秋?嘉定區(qū)期末）【閱讀材料】問題：如何計算呢？小紅帶領(lǐng)的數(shù)學(xué)興趣小組通過探索完成了這題的計算．他們的解法如下： 解： 根據(jù)閱讀材料，請你完成下列問題： （1）計算：； （2）直接寫出結(jié)果：　?。唬ú恍枰嬎氵^程） （3）計算：． 【分析】（1）將原式裂項，再兩兩抵消計算可得； （2）原式利用（）裂項求和即可得； （3）利用相同的方法裂項計算可得． 【解答】解：（1）原式； （2）原式[（1）+（）+（）+（）+（）] （1） ， 故答案為：； （3）原式 【變式6-1】（2022秋?遂寧期末）請先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題： 先觀察下列等式：，， 將以上等式兩邊分別相加得： 然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題： （1）猜想并寫出：　?。?（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果： ①　??； ②　　； （3）探究并計算：． 【分析】（1）觀察上述式子，發(fā)現(xiàn)拆項規(guī)律，寫出即可； （2）利用得出的規(guī)律化簡所求式子，計算即可得到結(jié)果； （3）根據(jù)得出的規(guī)律將原式變形，計算即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：； （2）①原式＝11； ②原式＝11； （3）原式（）（）． 故答案為：（1）；（2）①；② 【變式6-2】（2022秋?虹口區(qū)期末）先閱讀，再答題 1，，， 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出 （1）； （2）　??； 計算：． 【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，可以寫出相應(yīng)的結(jié)果； （2）根據(jù)題目中式子的特點，可以計算出相應(yīng)的結(jié)果； （3）根據(jù)題目中式子的特點，可以計算出相應(yīng)的結(jié)果． 【解答】解：（1）； （2）； ＝1 ＝1 ． 故答案為：；． 【變式6-3】（2022秋?高安市期中）閱讀下面的文字，完成解答過程． （1）1，，，則　　，并且用含有n的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律． （2）根據(jù)上述方法計算：． （3）根據(jù)（1），（2）的計算，我們可以猜測下列結(jié)論：?。ǎ。ㄆ渲衝，k均為正整數(shù)），并計算． 【分析】（1）根據(jù)題中給出的列子可直接得出結(jié)論； （2）分別計算出，，的值，再進(jìn)行計算即可； （3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論找出規(guī)律，并進(jìn)行計算即可． 【解答】解：（1）∵1，，， ∴． 故答案為：； （2）∵（1），（），（）， ∴ （1） （1） ． 故答案為：； （3）根據(jù)（1），（2）的計算，我們可以猜測下列結(jié)論：（）． （1）． 故答案為：（）． 【題型7 倒數(shù)求值法】 【例7】（2022秋?城廂區(qū)校級月考）先閱讀理解，再回答問題 計算：． 解：（方法一）原式＝ （方法二）原式的倒數(shù)為 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10． 故原式． 請閱讀上述材料，選擇合適的方法計算：． 【分析】首先應(yīng)用乘法分配律，求出原式的倒數(shù)是多少；然后用1除以原式的倒數(shù)，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：原式的倒數(shù)為： （）÷（） ＝（）×（﹣54） 36+12 ∴原式． 【變式7-1】（2022秋?南開區(qū)期中）（）÷（）． 【分析】先求所求式子的倒數(shù)，然后計算即可． 【解答】解：原式的倒數(shù)是（）÷（） ＝（）×（﹣20） （﹣20）（﹣20）（﹣20）（﹣20） ＝5+8+（﹣18）+30 ＝25， 故原式． 【變式7-2】（2022秋?寬城縣期末）閱讀下列材料： 計算：， 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒數(shù)． 所以原式． （1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法 　一　是錯誤的； （2）計算：　15?。?（3）請你選擇合適的解法計算：． 【分析】（1）有理理數(shù)的除法沒有分配律，據(jù)此可判斷； （2）利用乘法的分配律進(jìn)行求解即可； （3）仿照解法三進(jìn)行解答即可． 【解答】解：（1）除法沒有分配律，故解法一錯誤， 故答案為：一； （2） 363636 ＝18﹣9+6 ＝15， 故答案為：15； （3）原式的倒數(shù)＝（）÷（） ＝（）×（﹣210） （﹣210）（﹣210）（﹣210）（﹣210） ＝﹣90﹣28+63+50 ＝﹣5， ∴． 【變式7-3】（2022秋?懷安縣期末）先計算，再閱讀材料，解決問題： （1）計算：（）×12 （2）選擇合適的方法計算：（）÷（） 【分析】（1）根據(jù)乘法分配律可以解答本題； （2）先求出原式倒數(shù)，再可以求出所求式子的值． 【解答】解：（1） ＝3+2﹣6 ＝﹣1； （2）原式的倒數(shù)是： ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式．

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