初中數學人教版（2024）七年級下冊第五章 相交線與平行線5.3 平行線的性質5.3.1 平行線的性質課后測評

這是一份初中數學人教版（2024）七年級下冊第五章 相交線與平行線5.3 平行線的性質5.3.1 平行線的性質課后測評，文件包含人教版數學七年級下冊同步講與練專題53-54平行線的性質平移講練原卷版doc、人教版數學七年級下冊同步講與練專題53-54平行線的性質平移講練解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共70頁， 歡迎下載使用。
一、知識點
1.平行線的性質：
性質1：兩直線平行，同位角相等。
性質2：兩直線平行，內錯角相等。
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。如圖所示。性質4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
2.判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設 和 結論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。
如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫真命題；如果題設成立，那么結論不一定成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據。
3.平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。
平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。
平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。
平移性質:平移前后兩個圖形中①對應點的連線平行（或共線）且相等；②對應線段相等③對應角相等
二、考點點撥與訓練
考點1:應用平行線的性質求角度
典例：（2020·山西太原市·八年級期末）如圖，，平分交于點E，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
∵∠1＝64°
∴∠BAC＝180°－64°＝116°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝∠BAC＝58°
∵AC∥BD
∴∠2＝180°－∠EAC＝122°
故選：B．
方法或規(guī)律點撥
本題考查平角的定義，角平分線的性質，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握角的平分線把角分成相等的兩個小角，且都等于大角的一半．
鞏固練習
1．（2019·甘肅慶陽市·七年級期中）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正確的是（ ）
A．∠1+∠2?∠3=90°B．∠1?∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3?∠1=180°
【答案】D
【詳解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3?∠1=∠COE?∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3?∠1=180°
故選：D．
2．（2020·成都市金牛實驗中學校七年級月考）如圖，將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，若，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
紙條兩邊平行，
（兩直線平行，同位角相等），
又三角板為直角三角形，
，
（兩直線平行，內錯角相等），
．
故選C．
3．（2020·沈陽市雨田實驗中學八年級期末）如圖，于點，，，則（ ）
A．112°B．122°C．132°D．142°
【答案】C
【詳解】
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°?42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故選：C．
4．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，直線，點B在直線b上，且，，則的度數為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
∵a∥b，
∴∠1＝∠3．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠2＝90°?∠3＝90°?56°＝34°，
故選：B．
5．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，直線a，b被直線c所截，，則的度數是（ ）
A．130°B．30°C．45°D．50°
【答案】D
【詳解】
，
（兩直線平行，同位角相等），
故選：D．
6．（2020·四川攀枝花市·七年級期末）如圖，某地域的江水經過B、C、D三點處拐彎后，水流的方向與原來相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數為（ ）
A．20°B．25°C．35°D．50°
【答案】A
【詳解】
解：由題意得，AB∥DE，
如圖，過點C作CF∥AB，則CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC=180°，
∴∠BCF=180°-125°=55°，
∴∠DCF=75°-55°=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．
故選：A．
7．（2021·河南新鄉(xiāng)市·七年級期末）如圖，，若，則的度數為____．
【答案】
【詳解】如圖，
故答案為：．
8．（2020·浙江金華市·七年級期中）在一個平面內，已知的兩邊與的兩邊分別平行，若，則__．
【答案】65°或115°
【詳解】
如圖，當∠A與∠B相等時，滿足它們的兩條邊分別平行，此時∠B=65°；
當∠A與∠B互補時，滿足它們的兩條邊分別平行，此時∠B=115°；
故答案為：65°或115°．
9．（2021·保定市蓮池區(qū)賀陽外國語學校八年級期末）如圖，直線，直線與，均相交，若，則________．
【答案】
【詳解】
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故填：142°
10．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期中）如圖，將一張長方形紙片按如圖所示折疊，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
【答案】110
【詳解】如圖：
由折疊的性質可得，∠1＝∠3，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵長方形紙片的兩條長邊平行，
∴∠2＝∠1+∠3，
∴∠2＝110°，
故答案為：110．
11．（2021·全國七年級）如圖，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，則∠ACD的度數為__．
【答案】132°
【詳解】
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故答案為：132°．
12．（2020·河南濮陽市·油田十中八年級期中）一副直角三角板如圖放置，點在的延長線上，，，則的度數為______．
【答案】
【詳解】
由題意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故答案為．
13．（2020·成都市棕北中學）如圖，，若，，則______．
【答案】12°
【詳解】
解：∵AB∥EF，∠ABE=32°，
∴∠BEF=∠ABE=32°；
又∵CD∥EF，∠DCE=160°，
∴∠DCE+∠CEF=180°，
∴∠CEF=20°；
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=32°-20°=12°．
故答案為：12．
14．（2020·寧波市惠貞書院七年級期中）如圖，，，平分，，，為______°．
【答案】20
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵．
又∵，
∴．
∵平分，
∴∠BCE＝∠ECF＝∠BCF＝20°
∵，
∴，
∴．
故答案為：20．
15．（2021·浙江寧波市·七年級期末）一副三角板按圖1的形式擺放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板繞直角頂點逆時針旋轉，設旋轉的角度為（）．在旋轉過程中，當兩塊三角板有兩邊平行時，的度數為______．
【答案】30°或45°或120°或135°或165°
【詳解】
解：①當CD∥OB時，∠α=∠D=30°
②當OC∥AB時，∠OEB=∠COD=90°，此時∠α=90°-∠B=90°-45°=45°
③當DC∥OA時，∠DOA=∠D=30°，此時∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°
④當OD∥AB時，∠AOD=∠A=45°，此時∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°
⑤當CD∥AB時，延長BO交CD于點E，則∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°
∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此時∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°
綜上，在旋轉過程中，當兩塊三角板有兩邊平行時，的度數為30°或45°或120°或135°或165°
考點2：真假命題的判定
典例： （2020·甘肅張掖市·張掖四中八年級期末）下列四個命題中，真命題有（ ）
①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②等角或同角的余角相等；③三角形的一個外角大于任何一個內角；④如果，那么．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】A
【詳解】
解：①兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故原命題是假命題；
②等角或同角的余角相等，故原命題是真命題；
③三角形的一個外角大于任何不相鄰的一個內角，故原命題是假命題；
④當x和y都為負數時不滿足條件，故原命題是假命題．
只有②是真命題，共1個．
故選：A．
方法或規(guī)律點撥
本題考查命題與定理，正確掌握平行線的性質以及余角的性質與內外角性質和非負數的性質是解題的關鍵．
鞏固練習
1．（2021·浙江杭州市·八年級期末）要說明命題“若a>b，則a2>b2” 是假命題，可設( )
A．a=3，b=4B．a=4， b=3C．a=－3，b=－4D．a=－4，b=－3
【答案】C
【詳解】
解：A選項和D選項中，a＜b，不滿足條件，不能作為反例，不符合題意；
B選項中，a=4， b=3，滿足a>b，也滿足a2>b2，不能作為反例，不符合題意；
C選項中，a=－3，b=－4，滿足a>b，a2＜b2，能作為反例，符合題意；
故選：C．
2．（2021·重慶南岸區(qū)·八年級期末）下列命題中，是假命題的是（ ）
A．兩直線平行，內錯角相等B．兩直線平行，同位角相等
C．兩直線平行，同旁內角相等D．兩直線平行，同旁內角互補
【答案】C
【詳解】
解：A. 兩直線平行，內錯角相等，正確，真命題，不符合題意；
B. 兩直線平行，同位角相等，正確，真命題，不符合題意；
C. 兩直線平行，同旁內角相等，錯誤，假命題，符合題意；
D. 兩直線平行，同旁內角互補，正確，真命題，不符合題意；
故選：C．
3．（2020·浙江杭州市·八年級其他模擬）用反證法證明“三角形中至少有一個角不小于”，應該先假設這個三角形中（ ）
A．沒有一個內角小于B．每一個內角都小于
C．至多有一個內角不小于D．每一內角都大于
【答案】B
【詳解】解：用反證法證明“三角形中至少有一個角不小于60°”時，
應先假設：每一個內角都小于，
故選：B．
4．（2018·山東濟南市·七年級期中）下列說法正確的是（ ）．
A．同位角相等B．相等的角是對頂角C．同角的補角相等D．兩直線平行，同旁內角相等
【答案】C
【詳解】
當兩直線平行時，同位角相等，故選項A錯誤；
對頂角相等，相等的角不一定是對頂角，故選項B錯誤；
同角的補角相等，故選項C正確；
兩直線平行，同旁內角互補，故選項D錯誤；
故選：C．
5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學七年級期末）下列命題是假命題的是（ ）
A．對頂角相等B．兩點之間線段最短
C．同角的余角相等D．內錯角相等
【答案】D
【詳解】
根據相關定義A，B，C均正確，
對于D，當兩直線平行時，內錯角相等，故本選項是假命題，
故選：D．
6．（2021·福建三明市·七年級期末）下列命題中真命題是（ ）
A．如果，那么
B．兩邊分別相等且其中一組等邊的對角也相等的兩個三角形全等
C．三角形的一個外角大于任何一個內角
D．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
【答案】D
【詳解】
A.舉反例：，但，故A錯誤；
B.SSA不能判定兩個三角形全等，故B錯誤；
C.三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角和，三角形的一個外角大于不相鄰的任何一個內角，故C錯誤；
D. 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題，故D正確，
故選：D．
7．（2020·珠海市紫荊中學七年級期中）有下列命題，其中假命題有（ ）
①內錯角相等．
②在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行．
③相等的角是對頂角．
④經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【詳解】
①兩直線平行，內錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，符合題意．
②在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意．
③相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，是假命題，符合題意．
④經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，正確，是真命題，不符合題意．
故選：B．
8．（2021·四川成都市·八年級期末）下列命題中，真命題的是（ ）
A．同旁內角互補，兩直線平行B．相等的角是對頂角
C．同位角相等D．直角三角形兩個銳角互補
【答案】A
【詳解】
解：A、同旁內角互補，兩直線平行，正確，是真命題；
B、對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故錯誤，是假命題；
C、只有當兩直線平行時，同位角才會相等；兩直線不平行時，同位角不會相等，故錯誤，是假命題；
D、直角三角形兩銳角互余，不會互補，故錯誤，是假命題．
故選：A．
9．（2021·山東青島市·八年級期末）下列句子，是命題的是（ ）
A．美麗的天空B．相等的角是對頂角
C．作線段AB=CDD．你喜歡運動嗎？
【答案】B
【詳解】
解：A、美麗的天空，是描敘性語言，它不是命題，所以A選項不符合題意；
B、相等的角是對頂角是命題，所以B選項符合題意；
C、作線段AB=CD，是描敘性語言，它不是命題，所以C選項不符合題意；
D、你喜歡運動嗎？，是疑問句，沒有對事物作出判斷，它不是命題，所以D選項不符合題意．
故選：B．
11．（2021·四川省遂寧市第二中學校八年級月考）命題“等角的補角相等”的條件是( )
A．等角B．這兩個角相等C．補角相等D．兩個角是等角的補角
【答案】D
【詳解】
命題：等角的補角相等，
改寫成“如果…,那么….”，
命題的題設：兩個角是等角的補角，結論是這兩個角相等．
故選擇：D．
12．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期末）下列命題為假命題的是（ ）
A．對頂角相等B．如果，垂足為O，那么
C．經過一點，有且只有一條直線與這條直線平行D．兩直線平行，同位角相等
【答案】C
【詳解】
A、對頂角相等，是真命題；
B、如果，垂足為O，那么，是真命題；
C、經過直線外的一點，有且只有一條直線與這條直線平行，故本選項是假命題；
D、兩直線平行，同位角相等，是真命題；
故選：C．
13．（2020·浙江紹興市·八年級其他模擬）能說明命題“若，則”是假命題的一個反例可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
解：能說明命題“若，則”是假命題的一個反例是：
，，，但，
故選：A．
14．（2020·沈陽市第一二六中學八年級期末）下列命題是真命題的是（ ）
A．如果一個數的相反數等于這個數本身，那么這個數一定是0和1
B．如果一個數的倒數等于這個數本身，那么這個數一定是1
C．如果一個數的平方等于這個數本身，那么這個數一定是0和1
D．如果一個數的算術平方根等于這個數本身，那么這個數一定是0
【答案】C
【詳解】
A、如果一個數的相反數等于這個數本身，那么這個數一定是0，故A是假命題；
B、如果一個數的倒數等于這個數本身，那么這個數一定是1，例如：-1的倒數也是-1，故B是假命題；
C、如果一個數的平方等于這個數本身，那么這個數一定是0和1，故C是真命題；
D、如果一個數的算術平方根等于這個數本身，那么這個數一定是0，例如：1的算術平方根也是1，故D是假命題；
故選：C．
15．（2021·山東青島市·八年級期末）把命題“銳角小于90°”改寫成“如果……那么……”的形式：______．
【答案】如果一個角是銳角，那么這個角小于90°
【詳解】
題設是“一個角是銳角”，結論是“這個角小于90°”，
寫成“如果…那么…”的形式是：如果一個角是銳角，那么這個角小于90°．
故答案為：如果一個角是銳角，那么這個角小于90°．
16．（2020·浙江杭州市·九年級期中）用一組，的值說明命題“若，則”是錯誤的，這組值可以是____， ____
【答案】1（答案不唯一） -2（答案不唯一）
【詳解】
解：當a=1，b=-2時，滿足a＞b，
但是a2=1，b2=4，a2＜b2，
∴命題“若a＞b，則a2＞b2”是錯誤的．
故答案為：1、-2．（答案不唯一）
17．（2020·安徽滁州市·八年級月考）命題“如果，那么”，是______（選填“真”或“假”）命題．
【答案】假
【詳解】
解：∵，
∴令a=1，b=-1，
∴，， ，
故結論不成立，即命題是假命題，
故答案為：假．
考點3：平行線的性質與判定的綜合應用
典例：．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期中）在三角形中，于點，是上一點，于點，點在上，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，延長、交于點，若，請直接寫出圖中與互余的角，不需要證明．
【答案】（1）見解析；（2）、、、、
【詳解】
（1）證明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴∠FGB＝∠CDB＝90°，
∴FG∥CD，
∴∠BFG＝∠BCD，
又∵∠EDC＝∠BFG，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
（2）解：圖中與∠B互余的角為∠BFG、∠BCD、∠A、∠G、∠CDE，理由如下：
∵FH⊥AB，CD⊥AB，
∴∠B＋∠BFG＝∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠BFG、∠BCD與∠B互余，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°，
∴∠A與∠B互余，
∵FG∥CD，DE∥BC，
∴∠G＝∠BFG，∠CDE＝∠G，
∴∠G、∠CDE與∠B互余．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了平行線的判定與性質、垂直的定義等知識；熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
鞏固練習
1．（2021·山東青島市·八年級期末）已知：如圖，直線，平分，．求：的度數．
【答案】∠2=65°．
【詳解】
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
而∠ABC=∠1=50°，
∴∠BCD=130°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ACD=65°．
2．（2021·和平區(qū)·天津一中八年級期末）如圖，，點E是線段上一點，且，．求的大小．
【答案】90°
【詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴·
∴．
∴
．
3．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學七年級期末）如圖，點、分別為、上的點，點、為上的點，連接，連接、交于點．已知，，若，求的度數．
請你將下面解答過程填寫完整．
解：∵
∴________
∴（________________________）
∵
∴_______
∴（____________________________）
∴
∵
∴
【答案】見解析．
【詳解】
解：∵，
∴，
∴（兩直線平行，內錯角相等），
∵，
∴，
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴，
∵，
∴．
4．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，已知，．
（1）試判斷DE與BC的位置關系，并說明理由．
（2）若DE平分，，求的度數．
【答案】（1）DE∥BC；（2）72°
【詳解】
解：（1）DE∥BC．
理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BDC=3∠B，
∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，
又∵∠BDC+∠ADC=180°，
3∠ADE+2∠ADE=180°，
解得∠ADE=36°，
∴∠ADF=72°，
又∵AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=72°．
5．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，已知點E、F在直線上，點G在線段上，與交于點H，，，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．
【答案】∠AED+∠D=180°，理由見解析
【詳解】
解：∠AED+∠D=180°，
理由是：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°．
6．（2021·重慶萬州區(qū)·七年級期末）補全解答過程：
如圖，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2= ，（兩直線平行，同位角相等）．
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代換）
∴AB∥ ，（ ）
∴∠AGD＋∠BAC=180°．（ ）
∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD= ．
【答案】∠3；DG；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；110°
【詳解】
∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3．（兩直線平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代換）
∴AB∥DG．（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°．（兩直線平行，同旁內角互補）
又∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD=110°．
故答案為：∠3；DG；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；110°．
7．（2020·四川資陽市·七年級期末）如圖，直線和直線相交于點，連接，點分別在、、上，連接、，是上一點，已知
（1）求證：；
（2）若平分，，求的度數．（用表示）
【答案】（1）見解析（2）90°＋α
【詳解】
解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°
∴∠DFE＝∠1，
∴AB∥EF，
∴∠CEF＝∠EAD；
（2）∵AB∥EF，
∴∠2＋∠BDE＝180°
又∵∠2＝α
∴∠BDE＝180°?α
又∵DH平分∠BDE
∴∠1＝∠BDE＝（180°?α）
∴∠3＝180°? （180°?α）＝90°＋α．
8．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期末）三角形ABC中，D是AB上一點，交AC于點E，點F是線段DE延長線上一點，連接FC，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，連接BE，若，，求的度數；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G是線段FC延長線上一點，若，BE平分，求的度數．
【答案】（1）證明見解析；（2）100°；（3）12°．
【詳解】
（1）證明：∵DE∥BC，
∴，
又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，
∴，
∴，
（2）解：過E作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
答：的度數是100°，
（3）解：∵BE平分， ，
∴，
∴，
∴設，則，
∵DE∥BC，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
答：的度數是12°．
9．（2021·全國七年級）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F．
（1）CD與EF平行嗎？為什么？
（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B的度數．
【答案】（1）CD與EF平行．理由見解析；（2）∠B=35°
【詳解】
（1）CD與EF平行．理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴EF∥CD；
（2）∵EF∥CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠ACB=∠3=115°，
∵∠A=30°，
∴∠B=35°．
10．（2021·全國七年級）已知：如圖，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2
（1）求證：AB∥CD
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，求∠C的度數．
【答案】（1）證明見解析；（2）30°
【詳解】
（1）證明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠GNB＝90°，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠2；
又∵∠2＝∠1，
∴∠A＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝30°．
11．（2020·山東省青島第五十九中學八年級期末）如圖，已知，，．
（1）請你判斷與的數量關系，并說明理由；
（2）若，平分，試求的度數．
【答案】（1）∠1=∠ABD，證明見解析；（2）∠ACF=55°．
【詳解】
解：（1）∠1=∠ABD，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC∥DE，
∴∠3+∠CBD=180°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠CBD，
∴CF∥DB，
∴∠1=∠ABD．
（2）∵∠1=70°，CF∥DB，
∴∠ABD=70°，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴∠2=∠DBC=35°，
又∵BC⊥AG，
∴∠ACF=90°-∠2=90°-35°=55°．
12．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖所示，直線分別與直線是好點B、F，且，的平分線交直線于點E，的平分線交直線于點C．
（1）請判斷直線與的位置關系，并說明理由
（2）請判斷直線與的位置關系，并說明理由
（3）若，求的度數
【答案】（1）AC∥DG，理由見解析；（2）BE∥CF，理由見解析；（3）145°
【詳解】
（1）AC∥DG
證明：∵∠1=∠2，∠2=∠BFG，
∴∠1=∠BFG，
∴AC∥DG，
（2）BE∥CF
證明：∵AC∥DG
∴∠ABF=∠BFG，
∵∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C，
∴∠EBF=∠ABF，∠CFB＝∠BFG，
∴∠EBF=∠CFB，
∴BE∥CF；
（3）∵AC∥DG，BE∥CF，∠C=35°，
∴∠C=∠CFG=35°，
∴∠CFG=∠BEG=35°，
∴∠BED=180°-∠BEG=145°．
13．（2020·哈爾濱市第四十七中學七年級月考）如圖，，，， ，求：的度數．
請完成下面的推理和計算過程，并在括號內寫明依據．
∵（已知）
∴ ① （ ② ）
∵（已知）
∴ ③
∵（已知）
∴
∴ ④
∴ ⑤
∴（ ⑥ ）
∴ ⑦
∵
∴ ⑧° ．
【答案】① ②兩直線平行，同位角相等 ③ ④ ⑤ ⑥內錯角相等，兩直線平行 ⑦ ⑧115°．
【詳解】
證明∵（已知）
∴（兩直線平行，同位角相等）
∵（已知）
∴
∵（已知）
∴
∴
∴
∴（內錯角相等，兩直線平行）
∴
∵
∴115°．
考點4：利用圖形的平移解決問題
典例：（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，已知在每個小正方形的網格圖形中，的頂點都在格點上，為格點．
（1）先將先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，請在圖中畫出平移后，（點，，所對應的頂點分別是，，）
（2）求出的面積；
（3）連結，，直接說出與的關系（不需要理由）．
【答案】（1）見解析；（2）8；（3）AD=BE且AD∥BE
【詳解】
解：（1）如圖，△DEF即為所作；
（2）S△DEF==8；
（3）如圖，由平移可知：
AD=BE且AD∥BE．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了作圖-平移變換：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．
鞏固練習
1．（2021·浙江溫州市·七年級期末）將圖1中周長為32的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號正方形和5號長方形，并將它們按圖2的方式放入周長為48的長方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長為（ ）
A．16B．24C．30D．40
【答案】D
【詳解】
設1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y，則3號正方形的邊長為x+y，4號正方形的邊長為2x+y，5號長方形的長為3x+y，寬為y-x，
由圖1中長方形的周長為32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如圖，
∵圖2中長方形的周長為48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根據平移得：沒有覆蓋的陰影部分的周長為四邊形ABCD的周長，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故選：D．
．
2．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，將沿方向平移得到，若的周長為，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
解：根據題意，將周長為10cm的△ABC沿AC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE=1cm，AF=AC+CF=AC+1cm，EF=BC；
又∵AB+AC+BC=10cm，
∴四邊形ABEF的周長=BE+AB+AF+EF=1+AB+AC+1+BC=12cm．
故選：C．
3．（2021·山東煙臺市·八年級期末）如圖，將△ABC向右平移8個單位長度得到△DEF，且點B，E，C，F在同一條直線上，若EC＝4，則BC的長度是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【詳解】
解：∵△DEF是由△ABC向右平移8個單位長度得到，
∴BC=EF，CF=8，
∴BC=EF=EC+CF=4+8=12．
故選：B．
4．（2021·上海寶山區(qū)·七年級期末）如圖，經過平移后得到，下列說法：
①
②
③
④和的面積相等
⑤四邊形和四邊形的面枳相等，其中正確的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】A
【詳解】
解：經過平移后得到，
∴，故①正確；
，故②正確；
，故③正確；
和的面積相等，故④正確；
四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，即兩個平行四邊形的底相等，但高不一定相等，
∴四邊形和四邊形的面枳不一定相等，故⑤不正確；
綜上：正確的有4個
故選A．
5．（2020·上海松江區(qū)·七年級期末）如圖，沿射線方向平移到（點E在線段上），如果，，那么平移距離為（ ）
A．3cmB．5cmC．8cmD．13cm
【答案】A
【詳解】
解：根據平移的性質，
易得平移的距離=BE=8-5=3cm，
故選：A．
6．（2020·山東泰安市·泰山外國語學校八年級月考）如圖，將周長為8的沿BC方向平移1個單位得到，則四邊形ABFD的周長是（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】B
【詳解】
解：∵將周長為8的沿BC方向平移1個單位得到，
∴AD=CF=1，AC=DF，AB+BC+AC=8，
∴四邊形ABFD的周長=AD+AB+BC+CF+DF=AB+BC+AC+2AD=8+2=10．
故選：B．
7．（2020·河南洛陽市·七年級期末）如圖所示，沿平移后得到，則移動的距離是（ ）
A．線段的長B．線段的長C．線段的長D．線段的長
【答案】C
【詳解】∵△ABC沿BC平移后得到△A′B′C′，
∴△ABC移動的距離是BB′．
故選：C．
8．（2020·東營市實驗中學七年級月考）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將沿AB方向平移得到，，，下列結論：①；②；③：④；⑤陰影部分的面積為．其中正確的是（ ）
A．①②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
【答案】D
【詳解】解：因為將沿AB方向平移得到，
所以，，DF∥AC，故①②正確；
所以，故④正確；
而BD與CH不一定相等，故③不正確；
因為，，
所以BH=2cm，
又因為BE=2cm，
所以陰影部分的面積=S△ABC－S△DBH= S△DEF－S△DBH=S梯形BEFH=，故⑤正確；
綜上，正確的結論是①②④⑤．
故選：D．
9．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）一塊長為，寬為的長方形地板中間有一條裂縫（如圖甲）．若把裂縫右邊的一塊向右平移（如圖乙），則產生的裂縫的面積可列式為_______．
【答案】bx
【詳解】解：如圖乙，
產生的裂縫的面積=S矩形ABCD-ab=（a+x）b-ab=bx（cm2）．
故答案為：bx．
10．（2021·上海浦東新區(qū)·七年級期末）如圖，已知直角三角形，，厘米，厘米，厘米，將沿方向平移1.5厘米，線段在平移過程中所形成圖形的面積為__________平方厘米．
【答案】6
【詳解】
解：如圖：線段在平移過程中所形成圖形為平行四邊形且底CE=1.5cm，高DF=AB=4cm，
所以線段在平移過程中所形成圖形的面積為CE·DF=1.5×4=6cm2．
故答案為6．
12．（2020·上海寶山區(qū)·七年級期末）如圖，已知中，、、，將沿直線BC向右平移得到，點A、B、C的對應點分別是、、，連接．如果四邊形的周長為19，那么四邊形的面積與的面積的比值是________．
【答案】
【詳解】
解：過點A作BC上的高
由平移的性質可得=，且，
∴四邊形為梯形
∵四邊形的周長為19，
∴＋＋＋AB=19
∴＋5＋6＋＋4=19
∴2=4
∴=2
∴=2
∴=BC＋=8
∴四邊形的面積與的面積的比為
故答案為：．
13．（2019·四川德陽市·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位后，得到，連接，則的周長為________．
【答案】12
【詳解】
平移兩個單位得到的，
，，
，，
，，
，
又，
，
是等邊三角形，
的周長為．
故答案為：12．
14．（2020·濮陽市第一中學九年級月考）如圖，將Rt△ABC沿CB的方向平移BE距離后得到Rt△DEF，已知AG=2，BE=4，DE=8，則陰影部分的面積是______．
【答案】28
【詳解】
Rt△ABC沿CB的方向平移BE距離后得到Rt△DEF，
故答案為：28．
15．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，要為一段高為5米，水平長為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要______米．
【答案】
【詳解】
解：根據平移不改變線段的長度，可得地毯的長=臺階的長+臺階的高， 則紅地毯至少要13+5=18米．
故答案為：．
16．（2019·甘肅慶陽市·七年級期中）如圖，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，則陰影部分的面積是___

【答案】130cm2．
【詳解】
解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，
∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH=CD，BC=FG，
∵梯形EFMD是兩個梯形的公共部分，
∴S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD，
∴S陰影=S梯形MGHD=（DM+GH）?GM=（28-4+28）×5=130（cm2）．
故答案是130cm2．
17．（2020·山西大同市·七年級月考）如圖，長方形的周長為，則圖中虛線部分總長為____________．
【答案】15
【詳解】
解：根據題意，
虛線部分的總長為：．
故答案為：15．
18．（2020·重慶市萬州第三中學八年級期中）如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距離為6，則陰影部分面積為__
【答案】48.
【詳解】解:由平移的性質知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四邊形ODFC＝S梯形ABEO（AB+OE）?BE×（10+6）×6＝48．
故答案為48．
考點5：作平行線輔助證明
典例：（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）已知：如圖1，，點，分別為，上一點．
（1）在，之間有一點（點不在線段上），連接，，探究，，之間有怎樣的數量關系，請補全圖形，并在圖形下面寫出相應的數量關系，選其中一個進行證明．
（2）如圖2，在，之兩點，，連接，，，請選擇一個圖形寫出，，，存在的數量關系（不需證明）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【詳解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
證明：過點M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
證明：過點M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如圖2第一個圖：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
過點M作MP∥AB，過點N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如圖2第二個圖：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
過點M作MP∥AB，過點N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．
方法或規(guī)律點撥
本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
鞏固練習
1．（2020·浙江金華市·七年級期中）已知：如圖1直線、被直線所截，．
（1）求證：；
（2）如圖2，點E在，之間的直線上，P、Q分別在直線、上，連接、，平分，平分，則和之間有什么數量關系，請直接寫出你的結論；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過P點作交于點H，連接，若平分，，求的度數．
【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）．
【詳解】
解：（1）如圖1中，
，，
，
．
（2）結論：如圖2中，．
理由：作．
，，
，
，，
，
，
同理可證：，
∵平分，平分，
，，
∵，，
；
（3）設，．，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
2．（2020·浙江金華市·七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．
（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關系并說明理由；
（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關系并說明理由；
（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關系并說明理由．
【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析
【詳解】
（1），理由如下：
如圖所示，過點E作直線a，使得，
則，，（兩直線平行，內錯角相等），
∴，
即：；
（2），理由如下：
如圖所示，過點E作直線b，使得，
則，，（兩直線平行，同旁內角互補），
∴，
∵，
∴，
即：；
（3），理由如下：
如圖所示，過點E，F，G作直線c，d，e，使得，
則，，，，（兩直線平行，內錯角相等），
∵，，
∴，
∴，
即：．
2．（2020·吉林長春市·七年級期末）（感知）如圖①， ， ，．求的度數．
（提示：過點P作直線）
（探究）如圖②，，點P在射線OM上運動， ，．
（1）當點P在線段AB上運動時，，，之間的數量關系為_______________．
（2）當點P在A，B兩點外側運動時（點P與點A，B，O三點不重合），直接寫出，， 之間的數量關系為____________________________________________________________．
【答案】【感知】；【探究】（1）；（2）或．
【詳解】
解：過點P作直線，
∵，
∴．
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
∴的度數為．
探究（1）．
如圖②：作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
（2）或．
如圖③：當P在AM上時，作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
當P在OB上時，同理：．
綜上所述，或．
3．（2020·河南新鄉(xiāng)市·七年級期末）把一塊含60°角的直角三角尺放在兩條平行線之間．
（1）如圖1，若三角形的60°角的頂點放在上，且，求的度數；
（2）如圖2，若把三角尺的兩個銳角的頂點分別放在和上，請你探索并說明與間的數量關系；
（3）如圖3，若把三角尺的直角頂點放在上，30°角的頂點落在上，請直接寫出與的數量關系．
【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）+=300°
【詳解】
(1)∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=40°；
(2)如圖,過點F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) +=300°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
即?30°+?90°=180°，
整理得：+=300°．
4．（2020·忠縣烏楊初級中學校七年級月考）如圖，已知直線l1//l2，l3、和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；
（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系；
（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關系并給予證明；
（4）若點P在線段DC延長線上運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系．
【答案】（1）證明見詳解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2，證明見詳解；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【詳解】
解：（1）如圖（1）證明：過P作PQ∥l1∥l2，
由兩直線平行，內錯角相等，可得：
∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，
∴∠EPF＝∠1+∠2．
（2）∠3＝∠2﹣∠1；
證明：如圖2，過P作直線PQ∥l1∥l2，
則：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，
∴∠EPF＝∠2﹣∠1．
（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
證明：如圖（3），過P作PQ∥l1∥l2；
∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；
∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，
即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；
（4）點P在線段DC延長線上運動時，∠3＝∠1﹣∠2．
證明：如圖（4），過P作PQ∥l1∥l2；
∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；
∴∠3＝∠1﹣∠2．
5．（2020·東營市實驗中學七年級月考）已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E、F點，．
（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則______；
（2）將直角如圖2位置擺放，N為AC上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由．
（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長AC交直線b于點Q，點P是射線GF上一動點，探究，與的數量關系，請直接寫出結論．
【答案】（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見解析；（3）當點P在GF上時，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當點P在線段GF的延長線上時，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【詳解】
解：（1）如圖1，作CP∥a，
∵，
∴CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°，
故答案為136°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°．
理由如下：如圖2，作CP∥a，
則CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
而∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°；
（3）如圖3，當點P在GF上時，過點P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如圖4，當點P在線段GF的延長線上時，過點P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．