人教版數(shù)學(xué)九年級下冊重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題27.11相似三角形與實際問題大題專練（2份，原卷版+解析版）

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專題2.11相似三角形與實際問題大題專練（重難點培優(yōu)） 一、解答題（共24題） 1．（2022·遼寧·沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）九年級期中）如圖，在水平桌面上的兩個“E”，當(dāng)點在一條直線上時，在點O處用①號“E”（大“E”）測得的視力與用②號“E”（小“E”）測得的視力效果相同． (1)與相似嗎？請說明理由． (2)圖中滿足的數(shù)量關(guān)系為___________． (3)若，①號“E”的測量距離，要使得測得的視力相同，則②號“E”的測量距離為___________． 【答案】(1)相似，理由見解析 (2) (3)5 【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理進行判定； （2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答； （3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)進行計算． 【詳解】（1）解：相似，理由如下： 如圖，連接，， 根據(jù)題意得：，， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴，即； 故答案為： （3）解：∵，， ， ∴，解得：． 故答案為：5 【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理及性質(zhì)． 2．（2022·安徽合肥·九年級期中）如圖，直立在處的標(biāo)桿米，小愛站在處，其中眼睛，標(biāo)桿頂，樹頂在同一條直線上（人，標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點，，在同一條直線上）．已知米，米，米，求樹高． 【答案】樹高為米 【分析】過點作于點，交于點，由題意可得，四邊形為矩形，再根據(jù)求得，即可求解． 【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點． 由已知得，，． ，， 四邊形、、為矩形， （米），（米），（米）， （米）． ，， ， ， ， ，解得（米）， （米）． 答：樹高為米． 【點睛】本題考查了、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形在實際問題中的運用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形． 3．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)南海實驗中學(xué)九年級期中）九年級二班的興趣小組想去測量學(xué)校升旗桿的高度，如圖所示，小逸同學(xué)眼睛A與標(biāo)桿頂點F、升旗桿頂端E在同一直線上，已知小逸眼睛距地面的長為，標(biāo)桿的長為，測得的長為，的長為，求升旗桿的高． 【答案】升旗桿的高為． 【分析】過A點作交于H，交于G，易證四邊形、四邊形是矩形，可求出，，，然后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可解決問題． 【詳解】解：過A點作交于H，交于G， 由題意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴四邊形、四邊形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：升旗桿的高為． 【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通過解方程求出答案． 4．（2022·陜西師大附中九年級期中）小紅和小亮經(jīng)常去學(xué)校圖書館里閱讀各種書籍，兩位同學(xué)想利用剛學(xué)過的測量知識來測量該圖書館的高度．某天，他們帶著測量工具來圖書館前，但由于校園整體規(guī)劃的原因，他們無法到達(dá)圖書館底部．于是小亮在地面上的點處放置了一個平面鏡，小紅從處出發(fā)沿著方向移動，當(dāng)移動到點處時，剛好在平面鏡內(nèi)看到圖書館的頂端的像，此時，測得米，小紅眼睛到地面的距離為1.6米；然后，小亮沿方向移動到點，用測量器測得圖書館頂端的仰角為45°，此時，測得，測量器的高度米．已知點、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，求該圖書館的高度． 【答案】米 【分析】作關(guān)于地面的鏡像點，連接，根據(jù)鏡像的原理得到點在一條直線上，通過，證得，得到，再根據(jù)四邊形是平行四邊形得到，再根據(jù)得到，從而得到，再根據(jù)建立關(guān)于的方程，解方程即可得到答案． 【詳解】解：如下圖所示，作關(guān)于地面的鏡像點，連接，作交于點 ∵在點剛好可以看到點，故點在一條直線上， ∵， ∴， ∵, ∴ ∴， ∴， ∵點是點的鏡像點， ∴ ∵，， ∴四邊形是平行四邊形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得米． 【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將測量得到的數(shù)據(jù)與相似三角形的知識相結(jié)合建立方程． 5．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)九年級專題練習(xí)）甲乙兩位同學(xué)利用燈光下的影子來測量一路燈A的高度，如圖，當(dāng)甲走到點C處時，乙測得甲直立身高CD與其影子長CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點E處時，甲直立身高EF與影子恰好是線段EG，并測得EG=2.5m，已知甲直立時的身高為1.5m，求路燈的高AB的長. 【答案】3.75m 【分析】根據(jù)，，，得到，從而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式求解即可． 【詳解】解：如圖，設(shè)AB= x， 由題意知，，，CD=CE， ∴，∠CED=45°， ∴BE=AB=x， ∴△ABG∽△FEG， ∴，即， ∴x=3.75m 答：路燈高AB約為3.75m． 【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，理解題意，運用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)系式是解題關(guān)鍵． 6．（2022·湖南·湘潭縣景泉中學(xué)九年級階段練習(xí)）杭州市西湖風(fēng)景區(qū)的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社會實踐小組為了測量雷峰塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿，這時地面上的點E，標(biāo)桿的頂端點D，雷峰塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得米，將標(biāo)桿向后平移到點G處，這時地面上的點F，標(biāo)桿的頂端點H，雷峰塔的塔尖點B正好又在同一直線上（點F，點G，點E，點C與塔底處的點A在同一直線上），這時測得米，米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算雷峰塔的高度． 【答案】雷峰塔的高度為米 【分析】先證明，利用相似比得到①，再證明，利用相似比得到②，由①②得，解得的長，據(jù)此求解即可求出的長． 【詳解】解：根據(jù)題意得米，米，米，米， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 由①②得，解得（米）， 把代入①得，解得（米）， 答：雷峰塔的高度為米． 【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題． 7．（2022·江蘇·靖江市實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）《鐵血紅安》在中央一臺熱播后，吸引了眾多游客前往影視基地游玩．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面1.6米，涼亭頂端離地面2米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出城樓的高度． 【答案】城樓的高度為米 【分析】過點作于點，交于點，構(gòu)造直角三角形，進而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可． 【詳解】過點作于點，交于點， 由題意可得：，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故城樓的高度為：（米， 答：城樓的高度為米． 【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形得出相似三角形是解題的關(guān)鍵． 8．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示：筆直的公路邊有甲、乙兩棟樓房，高度分別為和，兩樓之間的距離為，現(xiàn)有一人沿著公路向這兩棟樓房前進，當(dāng)他走到與甲樓的水平距離為且筆直站立時（這種姿勢下眼睛到地面的距離為），他所看到的乙樓上面的部分有多高？ 【答案】 【分析】作，交于M，如圖，把題中數(shù)據(jù)與幾何圖中的線段對應(yīng)起來，,點A、E、C共線，則，，然后證明，利用相似比計算出，再計算進行計算． 【詳解】解：作，交于M，如圖， ，點A、E、C共線， 則，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即他所看到的乙樓上面的部分有7.8m高. 【點睛】本題考查了視點、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．視線到達(dá)不了的區(qū)域為盲區(qū)．合理使用相似的知識解決問題． 9．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）①操作方法：選一名學(xué)生為觀測者，在他和旗桿之間的地面上直立一根高度已知的標(biāo)桿，觀測者前后調(diào)整自己的位置，使旗桿頂部、標(biāo)桿頂部與眼睛恰好在同一直線上時，分別測出 ，以及 ，然后測出 即可求出旗桿的高度． ②點撥：如圖，過點A作AN⊥DC于N，交EF于M．△_____∽△_____， ∴=，代入測量數(shù)據(jù)即可求出旗桿CD的高度． 【答案】①觀測者的腳到旗桿底端的距離，觀測者的腳到標(biāo)桿底端的距離，標(biāo)桿的高，②AME，ANC，= 【解析】略 10．（2022·陜西師大附中九年級階段練習(xí)）小明想利用太陽光測量樓高．他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設(shè)計了一種測量方案，具體測量情況如下：如示意圖．小明邊移動邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同．此時，測得小明落在地上的影子高度，，（點A、E、C在同一直線上）．已知小明的身高是1.7m．請你幫小明求出樓高． 【答案】樓高AB為19.95（m） 【分析】此題屬于實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行解答；解題時要注意構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題． 【詳解】解：過點D作DG⊥AB，分別交AB、EF于點G、H， ∵ABCD，DG⊥AB，AB⊥AC， ∴四邊形ACDG是矩形， ∴EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30， ∵EFAB， ∴， ∴， 由題意，知FH＝EF?EH＝1.7?1.2＝0.5， ∴， 解得，BG＝18.75（m）， ∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95（m）． ∴樓高AB為19.95（m）． 【點睛】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想． 11．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)） 如圖，是一塊底邊BC長為120mm，高AH為80mm的三角形余料，現(xiàn)要把它加工成正方形DEFG零件，使得正方形的四個頂點D、E、F、G都在三角形三邊上，其中E、F在BC邊上，求加工后正方形的邊長． 【答案】加工后正方形的邊長為48mm 【分析】設(shè)正方形的邊長為xmm，根據(jù)正方形的對邊平行可得，然后判斷出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算求解即可． 【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為xmm， ∵四邊形DEFG是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得x=48， ∴加工后正方形的邊長為48mm． 【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了正方形的性質(zhì)和相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出比利時是解決本題的關(guān)鍵是． 12．（2022·浙江·九年級單元測試）如圖，為一塊鐵板余料，，，，要把它加工成正方形小鐵板，有如圖所示的兩種加工方案，請你分別計算這兩種加工方案的正方形的邊長． 【答案】方案①正方形邊長cm，方案②正方形邊長cm． 【分析】方案①：設(shè)正方形的邊長為xcm,然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解． 方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，構(gòu)造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性質(zhì)和等面積法求得線段BH的長度，則BK＝4.8?y；然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得答案． 【詳解】解：設(shè)方案①正方形的邊長為cm， ，四邊形是正方形， ， ， ， 即， 解得， 即加工成正方形的邊長為cm． 設(shè)方案②正方形的邊長為cm，作于，交于， ∵四邊形是正方形， ∴，． ∴于． ∴． ∴四邊形為矩形． 設(shè)． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． ∴． 解得． 即方案②加工成正方形的邊長為cm． 【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形的對應(yīng)邊成比例，正方形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出比例式是解題的關(guān)鍵． 13．（2020·浙江·義烏市賓王中學(xué)九年級期中）某校九年級一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動課安排了測量操場上懸掛國旗的旗桿的高度．甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組設(shè)計的測量方案如圖所示：甲組測得圖中BO＝60米，OD＝3.4米，CD＝1.7米；乙組測得圖中，CD＝1.5米，同一時刻影長FD＝0.9米，EB＝18米；丙組測得圖中，、，BD＝90米，EF＝0.2米，人的臂長（FH）為0.6米，請你任選一種方案，利用實驗數(shù)據(jù)求出該校旗桿的高度． 【答案】30米 【分析】此題三種方案均為把實際問題抽象成三角形相似的問題，解題方法都是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出結(jié)果．采用甲組方案，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出，然后求出該校旗桿的高度即可． 【詳解】解：采用甲組方案， 在和中， ∵，， ∴， ∴，即， 解得米， 即該校旗桿的高度為30米． 【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求解． 14．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點時,發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點時，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈 B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=x m. (1)求兩路燈之間的距離. (2)當(dāng)小萌在A，B之間走動時，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個影子的長的和變嗎?請說明理由. 【答案】(1)18m (2)兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m 【分析】（1）連接AC，易證∽，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出x的值，兩路燈間的距離等于PQ+2x； （2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相思筆即可求出影子的長度和． （1） 如圖，連接AC， ∵DP⊥AB，CB⊥AB， ∴， ∴∽， ∴，即：， 解得：x=3， ∴AB=2×3+12=18（m） （2） 如圖，當(dāng)小萌在A，B之間走動時，在A路燈下的影子長度為ON，在B路燈下的影子長度為OM， ∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB， ∴， ∴∽，∽， ∴，， 則，，整理得：，， ON+OM= MN= 由（1）得：AB=18m， ∴MN=，解得：MN=3.6m， 故：兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m 【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法． 15．（2023·遼寧·沈陽市南昌初級中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）九年級階段練習(xí)）如圖，是一座矩形的展覽館地基，東邊墻長45米，南邊墻長35米，東墻點和南墻點分別是，的中點，垂足為點，垂足為點，米，經(jīng)過點．求的長度． 【答案】5.25 【分析】根據(jù)題意可得，利用相似三角形對應(yīng)線段成比例即可求解． 【詳解】解：∵長45米，南邊墻長35米，東墻點和南墻點分別是，的中點， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【點睛】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊成比例． 16．（2022·湖南·九年級單元測試）如圖，有一塊三角形土地，它的底邊m，高m，某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓，且使矩形的兩個端點D、G分別在AB、AC上，當(dāng)這座大樓的地基面積為1875時，求這個矩形沿BC邊所占的EF的長． 【答案】當(dāng)EF的長為62.5或37.5米時，最大面積為1875平方米 【分析】設(shè)DE的長為x，先證△ADG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比得，得，再根據(jù)面積列出，求出x即可． 【詳解】解：設(shè)DE的長為x， ∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AM⊥DG ∴， ∴， ∴， ∴矩形DEFG面積為：， 解得：x＝30或50， EF＝DG＝62.5或37.5． ∴當(dāng)EF的長為62.5或37.5米時，最大面積為1875平方米． 【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理清題意正確地找到相似三角形． 17．（2022·山西省運城市運康中學(xué)校九年級階段練習(xí)）小明想用鏡子測量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點，人在F點時正好在鏡子中看到樹尖A的像；第二次把鏡子放在D點，人在H點正好看到樹尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距離，量得，，．已知點B、C、F、D、H在一條直線上，，，，請你求出松樹的高． 【答案】 【分析】首先根據(jù)題意，得出，，再證明，利用三角形的相似性質(zhì)，得出，然后再證明，得到，最后將代入，即可得出的長． 【詳解】解：∵，，， ∴，， ∵，（反射定律） ∴， ∴，即， ∴， ∵，（反射定律） ∴， ∴，即， ∴， 解得， 答：松樹的高為． 【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握三角形相似的性質(zhì)與判定． 三角形相似的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比等于相似比． 反射定律：光線反射時，入射角等于反射角． 18．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6） 【答案】旗桿AB的高度為12.8m 【分析】設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點F，作FH⊥AB于點H，利用相似和銳角三角函數(shù)可以求出旗桿AB的高度． 【詳解】解：如圖，設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長為0.25m， 作DF⊥CD交AE于點F，作FH⊥AB于點H， ∵DFMN， ∴＝， ∴＝， ∴DF＝5.6， ∴BH＝DF＝5.6， 在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°， tan∠AFH＝， ∴tan80.5°＝≈6， ∴AH≈7.2， ∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）． 所以，旗桿AB的高度為12.8m． 【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和相似三角形的應(yīng)用；作出相應(yīng)輔助線得到矩形是解決本題的難點；用到的知識點為：同一時刻物高與影長的比一定，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵． 19．（2022·河南三門峽·九年級期末）如圖，己知直角三角形的鐵片ABC的兩直角邊BC、AC的長分別為3cm和4cm，分別采用（1）、（2）兩種剪法，剪出一塊正方形鐵片，為使所得的正方形面積最大，問哪一種剪法好？為什么？ 【答案】（1）的情形下正方形的面積大，理由見解析 【分析】求出兩個正方形的邊長，根據(jù)面積大的比較合理來選擇． 【詳解】解：（1）設(shè)正方形邊長為ycm，則DE=CD=EF=CF=ycm， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴； （2）． 作邊上的高，交于點M． 由， 得，解得． ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴． 設(shè)正方形的邊長為， 則，解得． ∵， ∴（1）的情形下正方形的面積大． 【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、正方形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想思考問題． 20．（2022·全國·九年級單元測試）在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組的兩名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的兩棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作； 小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如圖1）． 小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖2），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米． (1)在橫線上直接填寫甲樹的高度為_____________米； (2)畫出測量乙樹高度的示意圖，并求出乙樹的高度． 【答案】(1)5.1 (2)4.2米 【分析】（1）根據(jù)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用比例式直接得出樹高； （2）根據(jù)輔助線作法得出假設(shè)沒有墻時影子長度，即可求出答案． （1） 解：根據(jù)題意得： 解得：（米）， 故答案為：5.1． （2） 解：假設(shè)是乙樹， ∴（米）（米） ∴， ∴， ∴（米）， ∴， ∴（米）， 答：乙樹的高度為米． 【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)同一時刻影長與高成比例以及假設(shè)沒有墻時求出影長是解決問題的關(guān)鍵． 21．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）綜合與實踐 某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動，他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．他們在旗桿底部所在的平面上，放置一個平面鏡E．來測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)鏡子中心與旗桿的距離米，鏡子中心與測量者的距離米時，測量者剛好從鏡子中看到旗桿的頂端點A．已知測量者的身高為1.6米，測量者的眼睛距地面的高度為1.5米，求學(xué)校旗桿的高度是多少米． 任務(wù)一：在計算過程中C，D之間的距離應(yīng)該是 米． 任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助“綜合與實踐”小組求出學(xué)校旗桿AB的高度． 任務(wù)三：該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論過“利用測量者在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，請你在備用圖中畫出該方案的示意圖，并說明必要的已知條件． 【答案】任務(wù)一：1.5；任務(wù)二：學(xué)校旗桿的高度是15米；任務(wù)三：如圖見解析，點A，M，F(xiàn)三點共線，已知測量者的身高MN，影長FN，旗桿的影長FB即可求得旗桿AB的高度 【分析】（1）C，D之間的距離應(yīng)是測量者的眼睛距離地面的距離，即可作答； （2）因為入射光線和反射光線與鏡面夾角相等，所以△CDE∽△ABE，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答即可； （3）點A，M，F(xiàn)三點共線，已知測量者的身高MN，影長FN，旗桿的影長FB，即可求得旗桿AB的高度． 【詳解】任務(wù)一：C，D之間的距離應(yīng)是測量者的眼睛距離地面的距離，即為1.5米， 故答案為：1.5； 任務(wù)二：由已知，∠DEC=∠BEA， ∠CDE=∠ABE=90°， △CDE∽△ABE， ， ， AB=15， 所以，學(xué)校旗桿的高度是15米； 任務(wù)三：如圖所示，點A，M，F(xiàn)三點共線，已知測量者的身高MN，影長FN，旗桿的影長FB，即可求得旗桿AB的高度． 【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． 22．（2022·全國·九年級單元測試）某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長的相關(guān)知識，于是自己也想實際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關(guān)數(shù)據(jù)． (1)若小明站在人行橫道的中央（點F是BD的中點）時，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝ 米，F(xiàn)Q＝ 米； (2)小明在移動過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點時，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時小明站在什么位置，為什么？ 【答案】(1)3，2 (2)離B地（或離D地），理由見解析 【分析】（1）通過證明，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解即可； （2）由（1）得，，，設(shè)，可求出，求出x的值，即可求解． （1） 解：由題意得，， ， ， ，點F是BD的中點， ， ， 解得； ， ， ，點F是BD的中點， ， ， 解得； 故答案為：3；2； （2） 小明站在離B點米處的位置，理由如下： 由（1）得，，， ，設(shè)， ， ， ， ， 解得， ， 所以，小明站在離B點米處的位置． 【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵． 23．（2022·陜西渭南·三模）如意塔，也稱火炬塔，是咸陽地標(biāo)性建筑，位于成陽市秦都區(qū)雙照鎮(zhèn)北塬大道奧體中心東側(cè)的雙照湖，建筑形態(tài)典雅端莊，落落大方，與體育場形成“天圓地方”的文化寓意．?dāng)?shù)學(xué)實踐小組為了測量該塔的高度（塔的底部可以到達(dá)，頂部不能到達(dá)），準(zhǔn)備了如下測量工具：①鏡子；②皮尺；③長為2米的標(biāo)桿；④高為1.5米的測角儀（能測量仰角和俯角的儀器），請你用所學(xué)的知識，幫助他們設(shè)計測量方案，回答下列問題 (1)在你設(shè)計的方案中，選用的測量工具是______；（填具的序號） (2)在圖中畫出你的測量方案示意圖，你需要測得示意圖中的哪些數(shù)據(jù)（用a、b、c等表示測得線段的長度，用、等表示測得角的度數(shù)，無需寫出測量過程），并用所測數(shù)據(jù)表示出該塔的高． 【答案】(1)②③ (2)米 【分析】（1）方法不唯一，選皮尺測量長度，選標(biāo)桿利用影長物高成比例即可 （2）利用②③先畫圖，利用平行線，得出，利用相似三角形性質(zhì)得出，然后測量出DE與BD即可． （1） 解：②③． 故答案為：②③． （2） 解：測量方案示意圖如圖． 測量數(shù)據(jù)：米，米，米， ∵CD⊥BE，AB⊥BE， ∴DE∥AB， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米），即該塔的高為米． 【點睛】本題考查相似三角形在測量中應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 24．（2022·山東· 九年級階段練習(xí)）閱讀理解： 如圖1，AD是△ABC的高，點E、F分別在AB和AC邊上，且EFBC，可以得到以下結(jié)論：． 拓展應(yīng)用： (1)如圖2，在△ABC中，BC＝3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長是多少？ (2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm，底邊長為160cm的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個無蓋正方體格子，要求每個正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是0排隔板的長度． ①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計時，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請完成下表： 若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長度，試求出y與n的關(guān)系式； ②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)正方形的邊長為 (2)①，，80；yn+160；②最多可以擺放38瓶葡萄酒 【分析】（1）過點A作AD⊥BC于D，交EF于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分別設(shè)第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，由閱讀理解的結(jié)論可列方程，即可求解． ②分別求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． （1） 如圖2，過點A作AD⊥BC于D，交EF于H， 由閱讀理解的結(jié)論可得：， 設(shè)正方形的邊長為x， ∴， ∴x， ∴正方形的邊長為； （2） ①如圖3﹣1，過點A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝80cm， ∴AD60（cm）， 分別設(shè)第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3， 由閱讀理解的結(jié)論可得： 解得：y1，y2，y3＝80， 故答案為：，，80； ∴， ∴yn+160； ②當(dāng)n＝1時，隔板長cm， ∴可以作正方體的個數(shù)10≈13（個）， 當(dāng)n＝2時，隔板長cm， ∴可以作正方體的個數(shù)10≈10（個）， 當(dāng)n＝3時，隔板長80cm， ∴可以作正方體的個數(shù)＝80÷10≈8（個）， 當(dāng)n＝4時，隔板長cm， ∴可以作正方體的個數(shù)10≈5（個）， 當(dāng)n＝5時，隔板長cm， ∴可以作正方體的個數(shù)10≈2（個）， 當(dāng)n＝6時，隔板長0cm，可以作正方體的個數(shù)為0個， ∴第1排最多可以擺放13瓶葡萄酒，第2排最多可以擺放10瓶葡萄酒，第3排最多可以擺放8瓶葡萄酒，第4排最多可以擺放5瓶葡萄酒，第5排最多可以擺放2瓶葡萄酒，第6排最多可以擺放0瓶葡萄酒， ∴13+10+8+5+2＝38（瓶）， 綜上所述：最多可以擺放38瓶葡萄酒． 【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 排數(shù)/排0123…隔板長度/厘米160__________________…