一．選擇題（共10小題）
1．在中，，若，，則的值是
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故選：．
2．如圖，該幾何體的主視圖是
A．B．
C．D．
【解答】解：從正面看，底層是一個矩形，上層的右邊是一個矩形．
故選：．
3．以下剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
4．如圖，在等腰中，，，是的角平分線，則的度數(shù)等于
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
又為的平分線，
，
．
故的度數(shù)為．
故選：．
5．已知點在第三象限，則的整數(shù)值是
A．3.4B．2，3C．4，5D．2，3，4，5
【解答】解：點在第三象限，
，
解得：，
整數(shù)的值是3，4．
故選：．
6．2022年杭州亞運會以“中國新時代杭州新亞運”為定位．“中國風(fēng)范、浙江特色、杭州韻味、共建共享”為目標(biāo)，秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦會理念，堅持“以杭州為主，全省共享”的辦賽原則，高質(zhì)量推進亞運會籌辦工作，某校對亞運知識進行了相關(guān)普及，學(xué)生會為了了解學(xué)生掌握情況，從中抽取50名學(xué)生成績，列表如下：
根據(jù)表格提供的信息可知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是
A．100分，95分B．98分．95分C．98分，98分D．97分，98分
【解答】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的是98，
所以眾數(shù)是98分，
總?cè)藬?shù)是（人，
第25個和第26個數(shù)據(jù)分別是98和98，
所以中位數(shù)是（分，
故選：．
7．下列運算正確的是
A．B．
C．D．
【解答】解：選項，故選項錯誤，
選項，故選項錯誤，
選項，故選項錯誤，
選項，故選項正確，
故選：．
8．如圖，，在上，是直徑，，則
A．B．C．D．
【解答】解：連接，
，
，
為的直徑，
，
，
故選：．
9．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意即：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是 （注：其中的丈、尺是長度單位，1丈尺）
A．3尺B．4尺C．4.55尺D．5尺
【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，
根據(jù)勾股定理得：．
解得：，
答：折斷處離地面的高度為4.55尺．
故選：．
10．已知二次函數(shù)是常數(shù)）的圖象與軸有兩個交點，，，，，則下列說法：
①該二次函數(shù)的圖象一定過定點；
②若該函數(shù)圖象開口向下，則的取值范圍為：；
③若，當(dāng)時，的最大值為0，最小值為，則的取值范圍為．
其中，正確的個數(shù)為
A．0個B．1個C．2個D．3個
【解答】解：①，
當(dāng)時，，故該函數(shù)圖象一定過定點，故①正確；
②若該函數(shù)圖象開口向下，則，且△，
△，解得：，且，故的取值范圍為：，故②正確；
③當(dāng)，函數(shù)為，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，時，的最大值為0，最小值為，
原點關(guān)于直線的對稱點為，
，故③正確；
故選：．
二．填空題（共6小題）
11．分解因式： ．
【解答】解：
，
故答案為：．
12．一個不透明的箱子中裝有10個球，它們除顏色外其余都相同，從箱子中隨機摸出一個球，記下顏色并放回．若摸到紅球的概率是0.4，則箱子中紅球有 4 個．
【解答】解：設(shè)有紅球個，
根據(jù)題意得：，
解得：，
故答案為：4．
13．如圖，射線是的平分線，是射線上一點，于點，，若是射線上一點，，則的面積是 12 ．
【解答】解：過點作于點，
是的角平分線，，，
，
則，
故答案為：12．
14．如圖，數(shù)軸上每個刻度為1個單位長，則，分別對應(yīng)數(shù)，，且，那么數(shù)軸上原點的位置在 ．
【解答】解：數(shù)軸上每個刻度為1個單位長，，分別對應(yīng)數(shù)，，
，
，
，
，
點對應(yīng)的數(shù)為，
點在點右邊4個單位長度，
點表示的數(shù)為0，即原點．
15．如圖，正六邊形的邊長為2，以為圓心，的長為半徑畫弧，得，連接、，則圖中陰影部分的周長為 ．
【解答】解：正六邊形的邊長為2，
，，
，
，
過作于，
，，
在中，，
，
同理可證，，
，
圖中陰影部分的周長為
故答案為：．
16．如圖，已知直線與軸、軸相交于、兩點，與的圖象相交于，，，兩點，連接、，現(xiàn)有以下4個結(jié)論：①；②不等式的解集是；③；④．其中正確結(jié)論的序號是 ①③④ ．（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）
【解答】解：①如圖所示，直線經(jīng)過第一、三象限，則．
雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則．
所以．
故結(jié)論①正確；
②如圖所示：不等式的解集是或；
故結(jié)論②不正確；
③把，，，的坐標(biāo)代入得，，
，
把，，，的坐標(biāo)代入，得，
，
，
，
，
，
；
故結(jié)論③正確；
④把，，，的坐標(biāo)代入得，，
解得，
直線解析式為，
點，，
把，，，的坐標(biāo)代入，得，
，
，
．
故結(jié)論④正確．
故答案是：①③④．
三．解答題（共10小題）
17．先化簡，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
當(dāng)時，原式．
18．如圖，正方形中，點，分別為，邊上的點，且，連接，．求證：．
【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．計算：．
【解答】解：原式
．
20．解不等式組：并寫出它的所有整數(shù)解．
【解答】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式組的解集為，
不等式組的整數(shù)解有、、0．
21．如圖，中，是的角平分線．
（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，交于點，交于點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）連接，若，，求的長．
【解答】解：（1）如圖，為所作；
（2）垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
22．如圖．是半圓的直徑，圓心是，點在半圓上，連接，作弦，連接．過點作半圓的切線分別交，的延長線于點、．
（1）求證：；
（2）若，．求弦的長．
【解答】（1）證明：連接，
是的切線，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：連接，
，
由（1）可知，，
設(shè)的半徑為，
，
，
，
，
在中，．
23．一家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：，結(jié)果如下：
75 74 84 83 70 75 84 80 80 85 85 86 85 87 89 96 94 94 91 93 99 100 107 99 109 97 101 107 117 104
（1）一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求．店長承諾每天只賣當(dāng)天新進的蘋果，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，若進貨量為100千克，請估計100天中能滿足顧客需求的天數(shù)；
（2）將上述30天的銷售量數(shù)據(jù)利用等距分組的頻數(shù)分布表來整理．
①若組距為6，則組數(shù)是 8 ．
②在①的情況下，記銷售量數(shù)據(jù)為，第一組為．店長想要用850元的宣傳費來增加銷售量，希望第一、二組的日平均銷售量獲得足夠的增加，第三、四組的日平均銷售量增加7千克，第五、六組的日平均銷售量增加3千克，其余組保持穩(wěn)定，已知該款蘋果每千克的平均利潤為5元，若該店能夠盈利，請估計第一、二組的日平均銷售量至少增加多少千克？
【解答】解：（1）因為有6天的進貨量大于100千克，
所以30天中有24天能滿足顧客需求，
所以估計100天中能滿足顧客需求的天數(shù)為：（天；
（2）①因為組數(shù)，
所以組數(shù)是8；
故答案為：8；
②由數(shù)據(jù)可知：第一、二組有6天，第三、四組有11天，第五、六組有9天，
設(shè)第一、二組的日平均銷售量增加千克，根據(jù)題意，得
，
解得．
答：估計第一、二組的日平均銷售量至少增加11千克．
24．?dāng)?shù)學(xué)是一個不斷思考，不斷發(fā)現(xiàn)，不斷歸納的過程，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯把三等分的操作如下：
任務(wù)一：判斷四邊形的形狀，并證明；
任務(wù)二：請證明．
【解答】證明：（1）軸，軸，軸，軸，
，，
四邊形是平行四邊形，
軸軸，軸，軸，
，
四邊形是矩形；
（2）四邊形是矩形，
，
，
，
軸，
，
，
，
，
，
，
．
25．在平面直角坐標(biāo)系中，，為拋物線上兩點，其中．
（1）求拋物線與軸的交點坐標(biāo)；
（2）若，點，在拋物線上運動，當(dāng)時，求的值；
（3）記拋物線在，兩點之間的部分為圖象（包含，兩點），若圖象上最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為1，直接寫出的取值范圍．
【解答】解：（1）令，解得或，
拋物線與軸的交點坐標(biāo)為或；
（2）由題意得，此時點的坐標(biāo)為，
為等腰直角三角形，故，
則，
，
解得或；
（3）由拋物線的表達式知，頂點坐標(biāo)為，，
①當(dāng)點、在對稱軸同側(cè)時，
當(dāng)點、均為對稱軸的右側(cè)時，即，
則，
，解得；
當(dāng)點、均在對稱軸左側(cè)時，可得：；
；
②當(dāng)點、在對稱軸兩側(cè)時，
則最小值為，最大值為或，
當(dāng)最大值為時，則，
即，解得或（舍去），
則與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點的橫坐標(biāo)為，
故點的橫坐標(biāo)在和之間，即，
解得；
當(dāng)最大值為時，同理可得，；
故；
綜上，．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
C
C
A
C
D
C
C
D
分?jǐn)?shù)（分
90
92
94
96
98
100
人數(shù)（人
2
4
10
8
15
11
（1）以點為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，繪制反比例函數(shù)的圖象，圖象與的邊交于點；
（3）以點為圓心，為半徑作弧，交函數(shù)的圖象于點；
（4）分別過點和作軸和軸的平行線，兩線交于點，；
（5）作射線，交于點，得到．

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