第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1. 4的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. 2D.
2. 我國(guó)近年來(lái)大力推進(jìn)國(guó)家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng)，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過(guò)7.8萬(wàn)門(mén)，學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（ ）
A. B. C. D.
3. 下列幾何體中三個(gè)視圖完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
4．如圖，直線，矩形的頂點(diǎn)A在直線b上，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
5．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
6．在下列事件中，必然事件是（ ）
A. 擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3
B. 籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，未投中
C. 經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈
D. 任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°
7．如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于“方程”的問(wèn)題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問(wèn)牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問(wèn)牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（ ）
A. B.
C. D.
9．如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力、，則的力臂大于的力臂．這一判斷過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A. 垂線段最短
B. 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
C. 兩點(diǎn)確定一條直線
D. 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
10．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
① ②
③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立 ④若點(diǎn)，在拋物線上，則
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．分解因式：________．
12．計(jì)算：______．
13．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．抽獎(jiǎng)方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個(gè)，黃球有3個(gè)，藍(lán)球有5個(gè)，每次搖勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng)，每個(gè)家庭有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_____．
14．如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
15．如圖1為一汽車(chē)停車(chē)棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車(chē)棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車(chē)需在停車(chē)棚下避雨，貨車(chē)截面看作長(zhǎng)，高的矩形，則可判定貨車(chē)________完全停到車(chē)棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．
16．“綠波”，是車(chē)輛到達(dá)前方各路口時(shí)，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時(shí)刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個(gè)路口顯示綠燈倒計(jì)時(shí)32s，第二個(gè)路口顯示紅燈倒計(jì)時(shí)44s，此時(shí)車(chē)輛分別距離兩個(gè)路口480m和880m．已知第一個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是30s、50s，第二個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車(chē)速全程勻速“綠波”通過(guò)這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過(guò)），則車(chē)速v（）的取值范圍是________．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（8分）計(jì)算：．
18．（8分）如圖，在四邊形中，，是邊的中點(diǎn)，．求證：四邊形是矩形．
19.（8分）解方程．
20．（8分）我國(guó)古詩(shī)詞源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．某校以“賞詩(shī)詞之美、尋文化之根、鑄民族之魂”為主題，組織學(xué)生開(kāi)展了古詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．為了解學(xué)生對(duì)古詩(shī)詞的掌握情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，將成績(jī)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
（1）本次共抽取了________名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）若該校共有2000人參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锽等級(jí)的學(xué)生人數(shù)；
（3）學(xué)校在競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳等級(jí)中的甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生里，隨機(jī)選取2人參加經(jīng)典誦讀活動(dòng)，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求出甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率．
21．（8分） 在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開(kāi)研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過(guò)程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上表，請(qǐng)確定拋物線表達(dá)式；
（2）請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．
22．（10分）如圖所示，是一張對(duì)邊平行的紙片，點(diǎn)，分別在平行邊上．
(1)求作：菱形，使點(diǎn)，落在紙片的平行邊上；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)若，，求菱形的面積．（，，）
23．（10分）已知實(shí)數(shù)a、b、c，且
（1）若a、b、c分別是關(guān)于x的一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，由公式法解得方程的根為，求證：；
（2）若，，求c的最小值．
24．（13分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開(kāi)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)
【操作判斷】
操作一：如圖①，對(duì)折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；
操作二：如圖②，在邊上選一點(diǎn)E，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；
操作三：如圖③，在邊上選一點(diǎn)F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點(diǎn)分別為G、H．
根據(jù)以上操作，得________．
【探究證明】
（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；
（2）如圖⑥，連接，過(guò)點(diǎn)G作的垂線，分別交于點(diǎn)P、Q、M．求證：．
【深入研究】
若，請(qǐng)求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．
25．（13分）如圖，為內(nèi)接三角形，AB為的直徑，將沿直線AB翻折到，點(diǎn)在上．連接CD，交AB于點(diǎn)，延長(zhǎng)BD，CA，兩線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，．求的值．水平距離
0
3
4
10
15
20
22
27
豎直高度
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24

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