1. 在0.618，0，π，，，1.101001……（每相鄰兩個(gè)以之間依次多加一個(gè)0），中，無(wú)理數(shù)有（ ）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
2. 2020年是我國(guó)在航天方面收獲滿滿的一年，12月19日，中國(guó)嫦娥五號(hào)任務(wù)月球樣品正式交接．嫦娥五號(hào)任務(wù)是“探月工程”的第六次任務(wù)，也是中國(guó)航天迄今為止最復(fù)雜，難度最大的任務(wù)之一．其有著非常重要的意義，實(shí)現(xiàn)中國(guó)開(kāi)展航天活動(dòng)以來(lái)的四個(gè)“首次”：首次在月球表面自動(dòng)采樣；首次從月面起飛；首次在38萬(wàn)公里外的月球軌道上進(jìn)行無(wú)人交會(huì)對(duì)接；首次帶著月壤以接近第二宇宙速度返回地球．38萬(wàn)公里用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. 3.8×103公里B. 3.8×104公里C. 3.8×105公里D. 38×104公里
3. 如圖所示的幾何體是由7個(gè)相同的小正方體組成的，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 主視圖與俯視圖形狀相同B. 主視圖與左視圖形狀相同
C. 俯視圖與左視圖形狀相同D. 以上說(shuō)法均錯(cuò)誤
4. 如圖，，點(diǎn)O在上，平分，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
5. 下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A B.
C. D.
6. 我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)10的素?cái)?shù)2，3，5，7中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和小于10的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若，，則的長(zhǎng)度為（ ）
A. B. C. D.
8. 某小學(xué)今年六年級(jí)畢業(yè)生有693人，比去年多了10%，設(shè)去年畢業(yè)生有x人，下面所列方程正確的是（ ）
A. B. C. D.
9. 小明用兩個(gè)全等的等腰三角形與設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，，把，合起來(lái)的圖形記為，在圖像上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，則上“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11. 分解因式：________．
12. 關(guān)于的不等式與的解集相同，則 ___________________
13. 習(xí)近平總書(shū)記高度重視青少年的視力健康，并指出“全社會(huì)都要行動(dòng)起來(lái)，共同呵護(hù)好孩子的眼睛，讓他們擁有一個(gè)光明的未來(lái)”．專家建議預(yù)防兒童青少年近視首先要讓孩子養(yǎng)成健康的生活方式，保證充足的戶外活動(dòng)時(shí)間．某校學(xué)生會(huì)想了解同學(xué)們進(jìn)行戶外活動(dòng)的時(shí)間情況，他們隨機(jī)調(diào)查了25名同學(xué)近一周累計(jì)戶外活動(dòng)的時(shí)間，并繪制出如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這25名同學(xué)一周內(nèi)累計(jì)戶外活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)是______．

14. 如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．
15. 已知反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，則它在各自的象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值逐漸 _______．
16. 如圖是“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載的機(jī)械臂，可以在天宮空間站外進(jìn)行維修作業(yè)．如圖是處于工作狀態(tài)的機(jī)械臂示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，，，工作時(shí)，機(jī)械壁伸展到．則、兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
三．解答題（共9小題，滿分86分）
17. 計(jì)算：．
18. 如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)G．求證：．
19. 解方程：．
20. 某校舉行“云端好聲音”線上歌唱比賽活動(dòng)豐富同學(xué)們的居家生活．由1至4號(hào)的專業(yè)評(píng)委和5至10號(hào)的大眾評(píng)委進(jìn)行評(píng)分．
例如：節(jié)目演出后各個(gè)評(píng)委所給分?jǐn)?shù)如表：
評(píng)分方案如下：
方案一：從評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)中先去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再取其余八位評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，則該節(jié)目的得分為．
方案二：為了既突出專業(yè)評(píng)審的權(quán)威性又尊重大眾評(píng)審的喜愛(ài)度，先計(jì)算1至4號(hào)評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，5至10號(hào)評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，再根據(jù)比賽的需求設(shè)置相應(yīng)的權(quán)重（表示專業(yè)評(píng)委的權(quán)重，表示大眾評(píng)委的權(quán)重，且）．
如當(dāng)時(shí)，則．
該節(jié)目得分為．
（1）當(dāng)按照“方案二”中評(píng)分時(shí)，求節(jié)目的得分；
（2）關(guān)于評(píng)分方案，下列說(shuō)法正確的有______．
①當(dāng)時(shí)，節(jié)目按照“方案二”和“方案一”評(píng)分結(jié)果相同；
②當(dāng)時(shí)，說(shuō)明“方案二”評(píng)分更注重節(jié)目的專業(yè)性；
③當(dāng)時(shí)，節(jié)目按照“方案二”評(píng)分的結(jié)果比“方案一”高．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的交點(diǎn)是．
（1）有下列結(jié)論，其中正確的是____．(填寫序號(hào))
①拋物線對(duì)稱軸為直線；
②；
③；
④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
（2）若拋物線的頂點(diǎn)在直線上．
①求拋物線的解析式；
②若直線分別與拋物線、拋物線：相交，交點(diǎn)自左向右依次為A，B，C，D，直接寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系．
22. 如圖，等腰直角中，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連接．
（1）若，求證：垂直平分；
（2）若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)．
①請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②求證：平分．
23. 解答下列各題：
（1）已知三角形表示，方框表示，求的值；
（2）已知，求代數(shù)式的值．
24. 綜合與實(shí)踐
如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)_____時(shí)，四邊形是正方形．
25. 如圖1，點(diǎn)A、C、E、G在上，；
（1）求證：；
（2）如圖2，點(diǎn)F在上，連接、，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)B，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若，，求證：；
（3）在（2）的條件下，若°，求的長(zhǎng)．
2025年福建省中考模擬試題
一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1. 在0.618，0，π，，，1.101001……（每相鄰兩個(gè)以之間依次多加一個(gè)0），中，無(wú)理數(shù)有（ ）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，
在0.618，0，π，，，1.101001……（每相鄰兩個(gè)以之間依次多加一個(gè)0），中，無(wú)理數(shù)有π，1.101001……（每相鄰兩個(gè)以之間依次多加一個(gè)0），，共3個(gè)，
故選：D．
2. 2020年是我國(guó)在航天方面收獲滿滿的一年，12月19日，中國(guó)嫦娥五號(hào)任務(wù)月球樣品正式交接．嫦娥五號(hào)任務(wù)是“探月工程”的第六次任務(wù)，也是中國(guó)航天迄今為止最復(fù)雜，難度最大的任務(wù)之一．其有著非常重要的意義，實(shí)現(xiàn)中國(guó)開(kāi)展航天活動(dòng)以來(lái)的四個(gè)“首次”：首次在月球表面自動(dòng)采樣；首次從月面起飛；首次在38萬(wàn)公里外的月球軌道上進(jìn)行無(wú)人交會(huì)對(duì)接；首次帶著月壤以接近第二宇宙速度返回地球．38萬(wàn)公里用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. 3.8×103公里B. 3.8×104公里C. 3.8×105公里D. 38×104公里
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：38萬(wàn)公里=380000公里=3.8×105米，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3. 如圖所示的幾何體是由7個(gè)相同的小正方體組成的，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 主視圖與俯視圖形狀相同B. 主視圖與左視圖形狀相同
C. 俯視圖與左視圖形狀相同D. 以上說(shuō)法均錯(cuò)誤
【答案】A
【解析】
【分析】先分別畫(huà)出該幾何體的主視圖、俯視圖及左視圖，進(jìn)而分析判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，畫(huà)出該幾何體的主視圖、俯視圖及左視圖，如圖所示：
分析可得，主視圖和俯視圖形狀相同，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)該幾何體畫(huà)出其主視圖、俯視圖及左視圖，考查學(xué)生的空間想象能力．
4. 如圖，，點(diǎn)O在上，平分，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查平行線的性質(zhì)、垂直的定義、角平分線的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)．根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，由平分，得到，由垂直的定義即可求得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
5. 下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)、冪乘方、同底數(shù)冪的乘除法等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、合并同類項(xiàng)等運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A．，故A選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B．，故B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
C．，故C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
D．，故D選項(xiàng)計(jì)算正確．
故選：D．
6. 我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)10的素?cái)?shù)2，3，5，7中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和小于10的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中抽到的兩個(gè)素?cái)?shù)之和小于10的結(jié)果有8個(gè)，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：
共有12個(gè)等可能的結(jié)果，抽到的兩個(gè)素?cái)?shù)之和小于10的結(jié)果有8個(gè)，∴抽到的兩個(gè)素?cái)?shù)之和小于10的概率為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了列表法與樹(shù)狀圖法求概率以及概率公式，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有的可能是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若，，則的長(zhǎng)度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，含角直角三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
連接，先根據(jù)圓周角定理得到，再利用含角的直角三角形的三邊關(guān)系得出，，再證明，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出，再求出的長(zhǎng)，最后計(jì)算．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選： D．
8. 某小學(xué)今年六年級(jí)畢業(yè)生有693人，比去年多了10%，設(shè)去年畢業(yè)生有x人，下面所列方程正確是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】“比去年多10%”，即是比去年多的人數(shù)占去年人數(shù)的10%，據(jù)此作答即可．
【詳解】“比去年多10%”，即是比去年多的人數(shù)占去年人數(shù)的10%，
即有：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程的知識(shí)，明確題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
9. 小明用兩個(gè)全等的等腰三角形與設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，從而得到，則可判定B；根據(jù)題意無(wú)法得到和大小關(guān)系，故可判定選項(xiàng)D；過(guò)點(diǎn)O作，則，根據(jù)題意可得，，再由，可得，從而得到，然后根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，即可判定C．
【詳解】解：由題中已知，故選項(xiàng)A不符合題意；
∵等腰三角形與關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，
∴，，，故選項(xiàng)B不符合題意；
根據(jù)題意無(wú)法得到和大小關(guān)系，故選項(xiàng)D符合題意；
如圖，過(guò)點(diǎn)O作，則，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵它們關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，
∴，
∴，故C選項(xiàng)不符合題意；
故選：D．
10. 已知，，把，合起來(lái)的圖形記為，在圖像上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，則上“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，
∴當(dāng)為整數(shù)，也為整數(shù)，
∴是整數(shù)，
∵，
∴符合條件的共有：（個(gè)），
∵，
∴只要是整數(shù)，一定是整數(shù)，
∵，
∴符合條件的共有個(gè)，
∵上當(dāng)時(shí)，，上當(dāng)時(shí)，,
∴兩點(diǎn)重合，
∴“整點(diǎn)”數(shù)為（個(gè)），
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的取值范圍正確求出自變量的數(shù)量是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．用提取公因式法分解即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
12. 關(guān)于的不等式與的解集相同，則 ___________________
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)一元一次不等式解的情況求參數(shù)，先求出不等式的解集為，再根據(jù)解集相同即可得出答案．
【詳解】解：解不等式得：，
關(guān)于的不等式與的解集相同，
，
故答案：．
13. 習(xí)近平總書(shū)記高度重視青少年的視力健康，并指出“全社會(huì)都要行動(dòng)起來(lái)，共同呵護(hù)好孩子的眼睛，讓他們擁有一個(gè)光明的未來(lái)”．專家建議預(yù)防兒童青少年近視首先要讓孩子養(yǎng)成健康的生活方式，保證充足的戶外活動(dòng)時(shí)間．某校學(xué)生會(huì)想了解同學(xué)們進(jìn)行戶外活動(dòng)的時(shí)間情況，他們隨機(jī)調(diào)查了25名同學(xué)近一周累計(jì)戶外活動(dòng)的時(shí)間，并繪制出如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這25名同學(xué)一周內(nèi)累計(jì)戶外活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)是______．

【答案】小時(shí)
【解析】
【分析】本題考查的是中位數(shù)的含義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），根據(jù)定義可得答案．
【詳解】解：∵，
∴由圖中數(shù)據(jù)可以看出這25名學(xué)生近一周累計(jì)戶外活動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí)．
故答案為：小時(shí)
14. 如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)正方形四邊相等，四個(gè)角為直角的性質(zhì)，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，可證明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，則可證明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四邊形MNPQ是正方形，求出MNPQ的邊長(zhǎng)即可求出其面積．
【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，
∴AE=DH=CG=BF，
又∵AB=BC=CD=AD，
∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），
∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，
∵∠HAD+∠BAH=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AMB=180°-(∠BAH+∠ABE)=90°，
同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，
∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），
∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，
∴MQ=MN=PN=PQ，
∴四邊形MNPQ是正方形，
∵AB=BC=CD=AD=10，
∴BE=CF=DG=AH=，
∵，
∴AM=，
∴，
∴MQ=MN=PN=PQ=，
∴四邊形MNPQ的面積=，
故答案為：20
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)和全等三角形是解題的關(guān)鍵．
15. 已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則它在各自的象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值逐漸 _______．
【答案】增大
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，
∴在各自象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值逐漸增大，
故答案為：增大．
16. 如圖是“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載的機(jī)械臂，可以在天宮空間站外進(jìn)行維修作業(yè)．如圖是處于工作狀態(tài)的機(jī)械臂示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，，，工作時(shí)，機(jī)械壁伸展到．則、兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】6.7
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，先作輔助線，在中，求出 ，，然后根據(jù)勾股定理求出答案即可．
【詳解】過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接．
∵，
∴．
在中，，，，
解得（m），（m），
∴（m）．
在中，（m）．
故答案為：6.7．
三．解答題（共9小題，滿分86分）
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】題目主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)、零次冪的運(yùn)算等，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值、零次冪及特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計(jì)算加減法即可，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
18. 如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)G．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再通過(guò)證明即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法．根據(jù)去分母、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1，即可求解．
【詳解】解：
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
原方程的解為．
20. 某校舉行“云端好聲音”線上歌唱比賽活動(dòng)豐富同學(xué)們的居家生活．由1至4號(hào)的專業(yè)評(píng)委和5至10號(hào)的大眾評(píng)委進(jìn)行評(píng)分．
例如：節(jié)目演出后各個(gè)評(píng)委所給分?jǐn)?shù)如表：
評(píng)分方案如下：
方案一：從評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)中先去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再取其余八位評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，則該節(jié)目的得分為．
方案二：為了既突出專業(yè)評(píng)審的權(quán)威性又尊重大眾評(píng)審的喜愛(ài)度，先計(jì)算1至4號(hào)評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，5至10號(hào)評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，再根據(jù)比賽的需求設(shè)置相應(yīng)的權(quán)重（表示專業(yè)評(píng)委的權(quán)重，表示大眾評(píng)委的權(quán)重，且）．
如當(dāng)時(shí)，則．
該節(jié)目的得分為．
（1）當(dāng)按照“方案二”中評(píng)分時(shí)，求節(jié)目的得分；
（2）關(guān)于評(píng)分方案，下列說(shuō)法正確的有______．
①當(dāng)時(shí)，節(jié)目按照“方案二”和“方案一”評(píng)分結(jié)果相同；
②當(dāng)時(shí)，說(shuō)明“方案二”評(píng)分更注重節(jié)目的專業(yè)性；
③當(dāng)時(shí)，節(jié)目按照“方案二”評(píng)分的結(jié)果比“方案一”高．
【答案】（1）
（2）正確的有②③
【解析】
【分析】本題主要考查平均數(shù)，掌握算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，直接代入數(shù)據(jù)，即可求解；
（2）根據(jù)對(duì)①②③進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
，，，，
，
節(jié)目的得分為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，節(jié)目按照“方案二”的評(píng)分結(jié)果，與“方案一”的評(píng)分結(jié)果不一樣，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
②當(dāng)時(shí)，說(shuō)明專業(yè)評(píng)委的權(quán)重占比大于大眾評(píng)委的權(quán)重，即“方案二”評(píng)分更注重節(jié)目的專業(yè)性，故原說(shuō)法正確；
③當(dāng)時(shí)，節(jié)目按照“方案二”評(píng)分的結(jié)果，比“方案一”高，故原說(shuō)法正確；
綜上所述：②③正確．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的交點(diǎn)是．
（1）有下列結(jié)論，其中正確的是____．(填寫序號(hào))
①拋物線的對(duì)稱軸為直線；
②；
③；
④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
（2）若拋物線的頂點(diǎn)在直線上．
①求拋物線的解析式；
②若直線分別與拋物線、拋物線：相交，交點(diǎn)自左向右依次為A，B，C，D，直接寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）①②③ （2）①；②
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可；
（2）①運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
②設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)分別為 則有
令 得 則有，令 即，代入即可解題．
【小問(wèn)1詳解】
解：①拋物線的對(duì)稱軸為直線，故正確；
②∵對(duì)稱軸為，則，故正確；
③把代入得到，
則，故正確；
④∵開(kāi)口方向不確定，故增減性無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
【小問(wèn)2詳解】
①根據(jù)題意,得，即 ，
∴當(dāng) 時(shí)， ，
即 ，
解得 ，
∴ 拋物線 的解析式為
②，理由為：
設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)分別為
，
，
令 得 它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根應(yīng)為：
，
令 得 它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根應(yīng)為
，
，
即 ．
22. 如圖，等腰直角中，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，連接．
（1）若，求證：垂直平分；
（2）若點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)．
①請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②求證：平分．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）①，理由見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）由，于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一得，即可得出結(jié)論；
（2）①證明，即可得出答案；
②過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)J，于點(diǎn)K，證明，得到，再根據(jù)，利用角平分線的判定即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴是等腰三角形，
∵于點(diǎn)M，
∴，
∴垂直平分；
【小問(wèn)2詳解】
解：①解：，理由如下：
∵，
∴，
∵于點(diǎn)H，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴；
②證明：過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)J，于點(diǎn)K，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴平分．
23. 解答下列各題：
（1）已知三角形表示，方框表示，求的值；
（2）已知，求代數(shù)式的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；
（1）根據(jù)新定義列出式子，根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)得出，，則，整體代入，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意可得：
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴， ，
∴
∴．
24. 綜合與實(shí)踐
如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)_____時(shí)，四邊形是正方形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）四邊形是菱形；理由見(jiàn)解析
（3）45
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．
（1）由題意得出，結(jié)合即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合即可得出四邊形是菱形；
（3）當(dāng)時(shí)，求出，結(jié)合菱形的性質(zhì)求出即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴，
在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
小問(wèn)2詳解】
解：四邊形是菱形；理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，D在的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
【小問(wèn)3詳解】
解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形；理由如下：
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
答案為：45．
25. 如圖1，點(diǎn)A、C、E、G在上，；
（1）求證：；
（2）如圖2，點(diǎn)F在上，連接、，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)B，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若，，求證：；
（3）在（2）的條件下，若°，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)弧、弦、圓周角的關(guān)系證明即可；
（2）根據(jù)圓周角定理證明，即可得證；
（3）連接、、，證明是等邊三角形，則，根據(jù)圓周角定理可得是的直徑，則，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明： ，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
證明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：連接、、，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
是的直徑，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
在中， ，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，涉及弧、弦、圓周角的關(guān)系，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)和判定．
評(píng)委編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
評(píng)分/分
7.2
75
7.8
7.5
8.2
9．7
7.9
6.7
8.5
9.4
評(píng)委編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
評(píng)分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9．7
7.9
6.7
8.5
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