實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練
一．函數(shù)的圖象
1．小明爸爸開車從單位回家，沿途部分路段正在進(jìn)行施工改造，小明爸爸回家途中距離家的路程ykm與行駛時(shí)間xmin之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．結(jié)合圖象，解決下列問題：
（1）小明爸爸回家路上所花時(shí)間為 min；
（2）小明爸爸說：“回家路上，有一段路連續(xù)4分鐘恰好行駛了2.4千米．”你認(rèn)為該說法有無可能？若有，請(qǐng)求出這4分鐘的起止時(shí)間；若沒有，請(qǐng)說明理由．
二．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
2．在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，我們學(xué)習(xí)了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．同時(shí)，在初一的時(shí)候我們學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義：|a|．請(qǐng)你完成下列問題．
【嘗試】
（1）①當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣2|x﹣2|+3＝3；
②當(dāng)x＜2時(shí)，y＝﹣2|x﹣2|+3＝ ．
③當(dāng)x＞2時(shí)，y＝﹣2|x﹣2|+3＝ ．
【探索】
（2）探究函數(shù)y＝﹣2|x﹣2|+3的圖象與性質(zhì)．
①請(qǐng)完成以下列表
②請(qǐng)根據(jù)①中的表格，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝﹣2|x﹣2|+3的圖象．
【拓展應(yīng)用】
（3）若關(guān)于x的方程﹣2|x﹣2|+x+3x+m有且只有一個(gè)正的解和一個(gè)負(fù)的解，則m的取值范圍是 ．
三．一次函數(shù)的應(yīng)用
3．某興趣小組利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電子蟲運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)．如圖1，在相距100個(gè)單位長度的線段AB上，電子蟲甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，電子蟲乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，設(shè)定不低于甲的速度勻速往返干端點(diǎn)B、A之間，他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)．
興趣小組成員重點(diǎn)探究了甲、乙迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．
設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度．
【觀察】請(qǐng)直接寫出：當(dāng)x＝20時(shí)，y的值為 ；當(dāng)x＝40時(shí)，y的值為 ；
【發(fā)現(xiàn)】興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（如圖2中的線段OM，但不包括點(diǎn)O，因此點(diǎn)O用空心畫出）
①請(qǐng)直接寫出：a＝ ；
②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；
【拓展】設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為z個(gè)單位長度．若z不超過40，則x的取值范圍是 （直接寫出結(jié)果）．
四．一次函數(shù)與幾何圖形的融合
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，3）、B（﹣4，0），連接AB，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與A、B重合），過點(diǎn)C作CP⊥x軸，垂足為P，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，且∠PAQ＝∠BAO．連接OQ，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)A、B的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，△ACP≌△AOQ；
（3）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)的過程中，
①在y軸上是否存在一點(diǎn)D，使得∠ADQ的大小始終不發(fā)生變化？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②連接OQ，請(qǐng)直接寫出OQ長度的取值范圍．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），△ABC為等腰直角三角形，且AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如圖1，點(diǎn)B、點(diǎn)C都在第一象限．
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4.5），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖2，點(diǎn)B在直線yx﹣1上，若點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，試直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）如圖3，直線yx﹣1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B為線段MN上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直線y＝kx+6上且不在第一象限，試求出k的范圍．
6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣12分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線交直線yx于點(diǎn)C，D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn)，連接OD，以O(shè)D為直角邊作等腰直角三角形ODE，使∠ODE＝90°，且E點(diǎn)在線段AC上，過D點(diǎn)作x軸的平行線交y軸于G，設(shè)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
（2）用含m的代數(shù)式表示E點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出m的取值范圍；
（3）如圖2，連接BE交DG于點(diǎn)F，若EF＝DF﹣2m，求m的值．
7．如圖，已知一次函數(shù)y＝2x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)．
（1）點(diǎn)D（﹣4，﹣2） 一次函數(shù)y＝2x+6的圖象；（填“不在”或“在”）
（2）若一次函數(shù)yx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（﹣4，﹣2），與x軸交于C點(diǎn)．
①求BC的長；
②求證：AB平分∠OBC；
③若正比例函數(shù)y＝mx的圖象與一次函數(shù)y＝2x+6的圖象交于點(diǎn)P，且點(diǎn)O、點(diǎn)P到一次函數(shù)yx+b的圖象的距離相等，則符合條件的m值為 ．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，又P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
（1）連接AQ，當(dāng)△ABQ是直角三角形時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ；
（2）當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，如果沿著直線AQ翻折，點(diǎn)P恰好落在線段AB上，求這時(shí)∠AQP的度數(shù)；
（3）若將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得P落在線段BQ上，記作P'，且AP'∥PQ，求此時(shí)直線PQ的解析式．
9．【初步探究】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE＝CF．小明的證明思路是：如圖2，連接AP，△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積．請(qǐng)按照小明的思路完成證明過程．
【類比探究】（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)直接寫出PD、PE與CF的數(shù)量關(guān)系．
【解決問題】（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1、l2，分別是函數(shù)y1x+3和y2＝3x+3的圖象，l1，l2與x軸的交點(diǎn)分別為A，B．
①求證：AB＝AC；
②若l2上的一點(diǎn)M到l1的距離是2，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于M，N兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T，使得∠MTN＝90°，且MT＝NT，則稱M，N兩點(diǎn)互相等垂，其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)點(diǎn)的等垂點(diǎn)．已知A點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）．
（1）如圖①，在點(diǎn)B（2，﹣2），C（0，1），D（﹣2，0）中，點(diǎn)A的等垂點(diǎn)是 （選填“B”，“C”或“D”）
（2）如圖②，若一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象上存在點(diǎn)A的等垂點(diǎn)A'，求A'點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)A的等垂點(diǎn)，試寫出該一次函數(shù)的所有表達(dá)式： ．
11．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D在x軸上．如果將直線AB沿直線BD翻折，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在y軸上，那么直線BD稱為直線AB的“伴隨直線”．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），BC＝10．
（1）若點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，求直線AB的“伴隨直線”BD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知在（1）的條件下，存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)E，使得△BOD與以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形全等，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）直線AB的“伴隨直線”BD上是否存在點(diǎn)F（異于點(diǎn)D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
12．如圖1，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（1，0）和B（0，1）．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，點(diǎn)P在y軸的正半軸，連接PA．將△OAP沿直線AP折疊，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求線段O′B的長度；
（3）點(diǎn)P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．
①直線PC與直線AB的交點(diǎn)為D，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，存在某些位置，使得△PAD為等腰三角形．求出當(dāng)P點(diǎn)在y軸負(fù)軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)C到x軸的距離是否為一個(gè)定值，如果是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值，如果不是，請(qǐng)說明理由．
13．【模型建立】
如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥ED于點(diǎn)E，易證明△BEC≌△CDA，我們將這個(gè)模型稱為“K形圖”，接下來我們就刊用這個(gè)模型來解決一些問題：
【模型應(yīng)用】
（1）如圖1，若AD＝3，BE＝4，則△ABC的面積為 ；
（2）如圖2，已知直線l1：yx+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B．將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖3．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的函數(shù)關(guān)系式為：y＝2x+1，點(diǎn)A（3，2）在直線l上找一點(diǎn)B，使直線AB與直線l的夾角為45°，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
14．（1）問題解決：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)yx+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為 、 、 ．
（2）綜合運(yùn)用：①如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)（0，﹣6），點(diǎn)B坐標(biāo)（8，0），過點(diǎn)B作x軸垂線l，點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是在一次函數(shù)y＝﹣2x+2圖象上一動(dòng)點(diǎn)，若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
②如圖2，在（2）的條件中，若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，把AM繞M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段NM，ON+AN的最小值是 ．
五．三角形綜合題
15．【問題情境】八上《伴你學(xué)》第138頁有這樣一個(gè)問題：如圖1，把一塊三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一個(gè)“U”形槽中，使三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在槽
的兩壁及底邊上滑動(dòng)，已知∠D＝∠E＝90°，在滑動(dòng)過程中，你發(fā)現(xiàn)線段AD與BE有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)論；
【變式探究】小明在解決完這個(gè)問題后，將其命名為“一線三等角”模型；如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，則這三個(gè)相等的角之間的聯(lián)系又會(huì)使圖形中出現(xiàn)其他的一些等角．請(qǐng)你寫出其中的一組，并加以說理；
【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，點(diǎn)D、F分別是邊BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AF＝2BD．以DF為腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，連接CE．
①試判斷線段DC、BD、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖4，已知AC＝2，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接EA、EG，直接寫出EA+EG的最小值．
16．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．
（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，連接CE，則△BCE的形狀是 ，∠CDB＝ °；
（2）探索：如圖2，點(diǎn)P為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交射線DE于Q，連接BQ，即△BPQ是等邊三角形；
思路：在線段BD上截取點(diǎn)H，使DH＝DP，得等邊△DPH，由∠DPQ＝∠HPB，PD＝PH，∠QDP＝∠BHP，易證△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ＝PB，即△BPQ是等邊三角形．試判斷線段DQ、DP、AD之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）類比：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)連接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交射線DE于Q，連接BQ．
①試判斷△BPQ的形狀，并說明理由；
②若AD＝2，設(shè)AP＝x，DQ＝y(tǒng)，請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且AB＝4，OB＝3．
（1）試判斷△AOB的形狀，并說明理由．
（2）點(diǎn)P是線段OA上一點(diǎn)，且PB﹣PA＝1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為線段OB、BA上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝BD，求AC+OD的最小值．
六．幾何變換綜合題
18．如圖1，△ABC與△ADE是共頂點(diǎn)A的兩個(gè)等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．
（1）求證：CE＝BD；
（2）如圖2，固定△ABC，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到線段BC上時(shí)，求CE的長；
（3）如圖3，設(shè)F為BD、CE的交點(diǎn)，G、H分別為BD、CE的中點(diǎn)，∠BFC＝α，∠AGH＝β，試探究α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
19．問題：要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓鐖D①，已知A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)到l的距離分別為2km、3km，CD＝12km，試確定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短．
方案一：如圖②，分別向A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)輸送燃?xì)猓唧w方法是：作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，線段A′B與直線l的交點(diǎn)P的位置即為所求，即在點(diǎn)P處建燃?xì)庹荆?br>方案二：如圖③，在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，先向A城鎮(zhèn)輸送燃?xì)?，再向B城鎮(zhèn)輸送燃?xì)猓?br>（1）通過計(jì)算說明哪個(gè)方案路線更短；
（2）小明認(rèn)為圖②中點(diǎn)P的位置既然確定了，那么CP的長也就確定了，請(qǐng)寫出求CP的長的思路．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…



3



…

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