實戰(zhàn)訓(xùn)練
一．路徑最短之化曲為直
1．為了慶祝國慶，學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓大廳的圓柱體柱子上貼彩帶，已知柱子的底面周長為lm，高為3m．如果要求彩帶從柱子底端的A處繞柱子4圈后到達(dá)柱子頂端的B處，那么至少應(yīng)購買彩帶 米．
2．如圖：一個圓柱的底面周長為16cm，高為6cm，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，則螞蟻爬行的最短路程為 cm．
3．如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱表面爬到B點，那么它所行的最短路線的長是 ．
二．?dāng)?shù)形結(jié)合---勾股定理的逆運(yùn)用
4．如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，則此三角形的周長為 ．
5．若△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，則這個三角形最長邊上的高是多少？
6．已知，在△ABC中，三條邊長分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），求證：∠C＝90°．
7．|x﹣12|+|x+y﹣25|與z2﹣10z+25互為相反數(shù)，那么以x、y、z為邊的三角形是什么三角形？
三．勾股與將軍飲馬的融合
8．如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少？
9．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 cm（假設(shè)蜂蜜不會下滑）．
四．勾股定理的證明--等面積法
10．三國時代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀(jì)）在《勾股圓方圖注》一書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖”（如圖1），并給出了勾股定理的證明．已知，圖2中涂色部分是直角邊長為a，b，斜邊長為c的4個直角三角形，請根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗證勾股定理．
11．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖擺放時，也可以用面積法來證明，請將下面說理過程補(bǔ)充完整：
證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，交BC的延長線于點F，
則四邊形DFCE為長方形，所以DF＝EC＝ ．（用含字母的代數(shù)式表示）
因為S四邊形ABCD＝S△ACD+ ＝ ；
S四邊形ABCD＝S△ADB+ ；
所以 ；
所以 ．
12．如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．
（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：
由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．
因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝ ．
（2）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：連接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程；
（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗證勾股定理．（注：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，由可得ad＝bc）
五．勾股定理的應(yīng)用
13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)c為最長邊．當(dāng)a2+b2＝c2時，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，可以判斷△ABC的形狀（按角分類）．
（1）請你通過畫圖探究并判斷：當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，9時，△ABC為 三角形；當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，11時，△ABC為 三角形．
（2）小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形．”請你根據(jù)小明的猜想完成下面的問題：
當(dāng)a＝2，b＝3時，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時，△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形？
六．半角中的勾股定理
14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N．
（Ⅰ）當(dāng)扇形CEF繞點C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖1，求證：MN2＝AM2+BN2；
（思路點撥：考慮MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．請你完成證明過程．）
（Ⅱ）當(dāng)扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，關(guān)系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
七．折疊中的勾股定理--小三角
15．在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如圖所示，折疊紙片使點A落在邊BC上的A'處，折痕為PQ．當(dāng)點A'在邊BC上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P、Q分別在邊AB、AD上移動，則點B與點A'間的最小距離為 ．
16．如圖，將長方形紙條ABCD沿EF，GH折疊，使點B，C兩點恰好都落在AD邊的P點處．若BC＝10cm，則△PFH的周長為 cm．
八．雙直角模型
17．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求證：△ABD是直角三角形；
（2）求△ADC的面積．
18．如圖，在一塊四邊形ABCD空地種植草皮，測得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，則需要投資多少錢？
九．格點中的勾股定理
19．如圖，每個小正方形的邊長都為1．
（1）分別求出AB，BC，AC的長；
（2）求△ABC的面積．
20．如圖正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，請你根據(jù)所學(xué)的知識判斷△ABC是什么形狀？并說明理由．
十．風(fēng)吹荷動
21．如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了多少米．
22．小穎爸爸為了豐富活動，為小區(qū)里的小朋友們搭了一架簡易秋千（如圖），秋千AB在靜止位置時，下端B距離地面0.6m，即OB＝0.6m，當(dāng)秋千蕩到AC的位置時，下端C距離地面1.4m，即CD＝1.4m，與靜止位置的水平距離OD＝2.4m，求秋千AB的長．
十一．梯子下滑
23．有一梯子長25米，靠在垂直的墻面上，梯子的跟部離墻的底部是7米，若梯子頂部下滑4米，那么梯子跟部到墻的底部的距離是多少米？
24．如圖，在△ABC中，CE是AB邊上的中線，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，求DE的長．
十二．勾股中的分類討論
25．若直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三條邊的長的平方為 ．
26．已知m，n為一個直角三角形的兩邊的長度，且（m﹣2）2+|n﹣3|＝0，則該直角三角形第三條邊的長度為 ．
十三．勾股數(shù)
27．我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．
（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)： ；
（2）若第一個數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為 和 ．
十四．動點與勾股
28．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
（1）若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；
（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；
（3）在運(yùn)動過程中，直接寫出當(dāng)t為何值時，△BCP為等腰三角形．
29．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，同時停止．
（1）P、Q出發(fā)4秒后，求PQ的長；
（2）當(dāng)點Q在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒鐘后，△CQB能形成直角三角形？
十五．方向中的勾股定理
30．一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到達(dá)點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處．若M，N兩點相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．90°
31．如圖，甲船以20海里/時的速度從港口O出發(fā)向西北方向航行，乙船以15海里/時的速度同時從港口O出發(fā)向東北方向航行，則2小時后，兩船相距（ ）
A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里

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