實戰(zhàn)訓練
一．生活中軸對稱
1．如圖，桌球的桌面上有M，N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個點中，可以反彈擊中N球的是 點D 點．
試題分析：要擊中點N，則需要滿足點M反彈后經(jīng)過的直線過N點，畫出反射路線即可得出答案．
答案詳解：解：
可以瞄準點D擊球．
所以答案是：點D．
2．數(shù)的運算中含有一些有趣的對稱形式，如12×231＝132×21，按照此等式的形式填空：12×462＝ 264 × 21 ； 18 ×891＝ 198 ×81．
試題分析：分析題目中算式可得：各個數(shù)字關(guān)于等號是“軸對稱”；依據(jù)所給例子的形式填空，并通過計算驗證等式．
答案詳解：解：（1）12×462＝5544＝264×21；
（2）18×891＝3564＝198×81．
所以答案是：264，21；18，198．
二．軸對稱圖形的辨析
3．在“線段、角、直角三角形、等邊三角形”這四個圖形中，對稱軸最多的圖形是 等邊三角形 ．
試題分析：根據(jù)軸對稱及對稱軸的定義，進行填空即可．
答案詳解：解：在“線段、角、直角三角形、等邊三角形”這四個圖形中，是軸對稱圖形的有線段、角、等邊三角形；角都有一條對稱軸，線段有兩條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，
所以對稱軸最多的是：等邊三角形．
所以答案是：等邊三角形．
4．如圖，在3×3的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有 5 個．
試題分析：根據(jù)軸對稱圖形的定義與判斷可知．
答案詳解：解：與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形有5個，
分別為△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5個．
所以答案是：5．
5．線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是 線段的垂直平分線或線段本身所在的直線 ；角是軸對稱圖形，它的對稱軸是 角的平分線所在直線 ．
試題分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
答案詳解：解：線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是：線段的垂直平分線或線段本身所在的直線；
角是軸對稱圖形，它的對稱軸是：角的平分線所在直線．
所以答案是：線段的垂直平分線或線段本身所在的直線；角的平分線所在直線．
三．鏡面對稱
6．有兩面可繞一立軸轉(zhuǎn)動的立式鏡，我站在這兩面鏡手前的一個點上，這個點位于鏡面夾角的角平分面上．若兩鏡面的夾角為50°，我將可以看到自己的鏡像數(shù)為（ ）
A．10B．8C．6D．4
試題分析：可畫出一個圓，以及圓心角為50°的一個角，利用圓心角內(nèi)有一點A，分別作出點A關(guān)于兩面鏡子的多次反射，數(shù)出相關(guān)的像即可．
答案詳解：解：物體A在每面鏡子中各有一個初始鏡像A1和A1′．
∵它們在對面的鏡子中又會產(chǎn)生鏡像，A1′的鏡像為A2，A1的鏡像為A2′．
∴一面鏡子就反射出了一系列的鏡像：A1，A2，A3，An，另一面鏡子則對稱地反射出鏡像A1′，A2′，A3′…An′．
由圖中可以看出總共會得到6個鏡像．
所以選：C．
四．剪紙類
7．將一個正方形紙片對折后對折再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是（ ）
A．B．C．D．
試題分析：嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來．
答案詳解：解：將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是：
所以選：A．
8．如圖，從△ABC的紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE．若∠1+∠2＝230°，則∠C＝（ ）
A．230°B．130°C．50°D．110°
試題分析：根據(jù)∠1+∠2的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B的度數(shù)，即可得出∠C的度數(shù)
答案詳解：解：∵四邊形ABDE的內(nèi)角和為360°，且∠1+∠2＝230°．
∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°．
∵△ABC的內(nèi)角和為180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣130°＝50°．
所以選：C．
五．設(shè)計軸對稱圖案
9．如圖是5個小正方形紙片拼成的圖形，現(xiàn)將其中一個小正方形紙片平移，使它與原圖中剩下的小正方形紙片有一條或兩條邊重合后拼成一個軸對稱圖形，在拼出的所有不同位置的軸對稱圖形中，全等的圖形共有（ ）
A．0對B．1對C．2對D．3對
試題分析：將其中一個小正方形紙片平移，使它與原圖中剩下的小正方形紙片有一條或兩條邊重合后拼成一個軸對稱圖形，進而得出結(jié)論．
答案詳解：解：如圖所示：
在拼出的所有不同位置的軸對稱圖形中，全等的圖形共有3對，
所以選：D．
六．軸對稱的性質(zhì)
10．如圖，點P為∠AOB內(nèi)部任意一點，點P與點P1關(guān)于OA對稱，點P與點P2關(guān)于OB對稱，OP＝4，∠AOB＝45°，則△OP1P2的面積為 8 ．
試題分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得OP1、OP2的長度等于OP的長，∠P1OP2的度數(shù)等于∠AOB的度數(shù)的兩倍，再根據(jù)直角三角形的面積計算公式解答即可．
答案詳解：解：∵點P1和點P關(guān)于OA對稱，點P2和點P關(guān)于OB對稱，
∴OP1＝OP＝OP2＝4，且∠P1OP2＝2∠AOB＝90°．
∴△P1OP2是直角三角形，
∴△OP1P2的面積為4×4＝8，
所以答案是：8．
11．如圖，把一張長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應點D′落在∠BAC的內(nèi)部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，則∠DAE的度數(shù)為 36° （用含n的式子表示）．
試題分析：由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可得出答案．
答案詳解：解：如圖，設(shè)∠BAD′＝x，則∠CAE＝2x，
由翻折變換的性質(zhì)可知，∠DAE＝∠EAD′＝2x+n，
∵∠DAB＝90°，
∴4x+2n+x＝90°，
∴x（90°﹣2n），
∴∠DAE＝2（90°﹣2n）+n36°．
所以答案是：36°．
七．：軸對稱與最值
12．如圖，AD，BE在AB的同側(cè)，AD＝4，BE＝4，AB＝8，點C為AB的中點，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是 12 ．
試題分析：如圖，作點A關(guān)于直線CD的對稱點M，作點B關(guān)于直線CE的對稱點N，連接DM，CM，CN，MN，NE．證明△CMN是等邊三角形，再根據(jù)DE≤DM+MN+EN，當D，M，N，E共線時，DE的值最大．
答案詳解：解：如圖，作點A關(guān)于直線CD的對稱點M，作點B關(guān)于直線CE的對稱點N，連接DM，CM，CN，MN，NE．
由題意AD＝EB＝4，AC＝CB＝4，DM＝CM＝CN＝EN＝4，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，
∵∠DCE＝120°，
∴∠ACD+∠BCE＝60°，
∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，
∴∠ACM+∠BCN＝120°，
∴∠MCN＝60°，
∵CM＝CN＝4，
∴△CMN是等邊三角形，
∴MN＝4，
∵DE≤DM+MN+EN，
∴DE≤12，
∴當D，M，N，E共線時，DE的值最大，最大值為12，
所以答案是：12．
13．如圖，點C，D在AB的同側(cè)，AC＝5，AB＝10，BD＝10，點M為AB的中點，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是 15+5 ．
試題分析：如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．
答案詳解：解：如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′為等邊三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝5+510＝15+5，
∴CD的最大值為15+5，
所以答案是15+5．
14．如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D為BC上一動點，過D作DE⊥AC于點E，作DF⊥AB于點F，連接EF，則EF的最小值為 ．
試題分析：連接AD，取AD中點G，連接EG、FG，過點A作AH⊥BC于H，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得∠EGF＝2∠EAF，再由∠B＝45°，∠C＝75°得∠EGF＝120°，即有EFEG，使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，故求出AH即可解決問題．
答案詳解：解：如圖，連接AD，取AD中點G，連接EG、FG，過點A作AH⊥BC于H，
∵DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∴EG＝GF＝0.5AD＝AG＝GD，
∴∠EAG＝∠AEG，∠GAF＝∠AFG，
∴∠EGF＝2∠EAF，
∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EGF＝120°，
∴EFEG，
要使EF最小，即要使EG最小，即要使EG+GF＝AD最小，
∵點到直線垂線段最短，
∴AD最小為AH，
∵∠B＝45°，
∴AB，
∴AH＝2，
∴EG最小值為，
∴EF最小值為．
解法二：延長DE到M，使得EM＝DE，延長DF到N使得FN＝DF，連接ANM，AM，MN．
∵EFMN，
∴MN最小時，EF的值最小，
∵當AD最小時，MN的值最小，AD的最小值為2，
∴MN的最小值為2，
∴EF的最小值為．
所以答案是：．
15．如圖，在銳角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，點P是邊BC上的一動點，點P關(guān)于直線AB，AC的對稱點分別是M，N，連接MN，則MN的最小值為 ．
試題分析：由軸對稱的性質(zhì)得出MN＝AP，即可求解．
答案詳解：解：連接PM，PN，AM，AP，AN，ρ
∵點P關(guān)于直線AB，AC的對稱點分別是M，N，
∴AB垂直平分PM，AC垂直平分PN，
∴AM＝AP，AN＝AP，
∴∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∵∠PAB+∠PAC＝30°，
∴∠MAB+∠NAC＝30°，
∴∠MAN＝60°，
∴△AMN是等邊三角形，
∴MN＝AM＝AP，
當AP⊥CB時，AP最小，此時NM最小，
∵S△ABC＝8，
∴BC?AP＝8，
∴AP，
∴MN的最小值是，
所以答案是：．
八．作圖：軸對稱的變換
16．如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，△A′B′C′和△ABC關(guān)于直線l成軸對稱，其中A′點的對應為A點．
（1）請畫出△A′B′C′，并標出相應的字母；
（2）若網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1，求△A′B′C′的面積．
試題分析：（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；
（2）直接利用三角形面積求法得出答案．
答案詳解：解：（1）如圖所示：△A′B′C′，即為所求；
（2）△A′B′C′的面積為：2×4＝4．
17．如圖，在平面直角坐標系的網(wǎng)格中，其最小正方形的邊長為1個單位長度，△ABC的頂點都在格點上．
（1）作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A'B'C'，并寫出△A'B'C'三個頂點的坐標；
（2）判斷△A'B'C'的形狀，并簡單加以說明．
試題分析：（1）先作出三角形各頂點的對稱點，連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形，進而得到△A'B'C'三個頂點的坐標；
（2）先依據(jù)DB'＝EA'，∠A'DB'＝∠C'EA'，A'D＝C'E，判定△A'DB'≌△C'EA'，即可得到A'B'＝A'C'．
答案詳解：解：（1）作出的△A'B'C'如圖所示．
△A'B'C'頂點的坐標A'（2，﹣3）、B'（﹣3，﹣1）、C'（0，2）．
（2）△A'B'C'是等腰三角形；
理由：如圖所示，∵DB'＝EA'，∠A'DB'＝∠C'EA'，A'D＝C'E，
∴△A'DB'≌△C'EA'，
∴A'B'＝A'C'，
即△A'B'C'是等腰三角形．
九．角平分線的性質(zhì)
18．如圖，已知△ABC的周長是18，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，OD⊥BC于點D，若OD＝3，則△ABC的面積是 27 ．
試題分析：過點O作OE⊥AB于點E，過點O作OF⊥AC于點F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OD＝OF，進一步求△ABC的面積即可．
答案詳解：解：過點O作OE⊥AB于點E，過點O作OF⊥AC于點F，連接OA，如圖所示：
∵點O為∠ABC與∠ACB的平分線的交點，且OD⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∵OD＝3，△ABC的周長為18，
∴△ABC的面積＝S△AOB+S△AOC+S△BOC


18×3
＝27，
所以答案是：27．
19．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，PA＝3，點Q是射線OM上一個動點，若PQ＝m，則m的取值范圍是 m≥3 ．
試題分析：過P作PE⊥OM于E，當Q和E重合時，PQ的值最小，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PE＝PA，即可求出答案．
答案詳解：解：如圖，過P作PE⊥OM于E，當Q和E重合時，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PE＝PA＝3，
即PQ的最小值是3，
∴m≥3．
所以答案是：m≥3．
20．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分線交于O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
試題分析：過O分別作OE⊥AB，F(xiàn)O⊥BC，OD⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EO＝DO＝FO，再根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
答案詳解：解：過O分別作OE⊥AB，F(xiàn)O⊥BC，OD⊥AC，
∵BO是∠ABC平分線，
∴EO＝FO，
∵CO是∠ACB平分線，
∴EO＝DO，
∴EO＝DO＝FO，
∵S△ABOAB?EO，S△BCOCB?FO，S△CAOAC?DO，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
所以選：D．
十．角平分的性質(zhì)與面積
21．如圖所示，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是 50 ．
試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．
答案詳解：解：過O作OE⊥AB于點E，
∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于點D，
∴OD＝OE＝5，
∴△AOB的面積，
所以答案是：50．
22．如圖，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面積是 27 ．
試題分析：過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OE＝OD＝OF＝3，求出△ABC的面積S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，再求出答案即可．
答案詳解：解：過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，
∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵△ABC的周長為18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴△ABC的面積S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC

AB×3BC×3
（AB+BC+AC）
18
＝27，
所以答案是：27．
23．已知點O是△ABC的三個內(nèi)角平分線的交點，若△ABC的周長為24cm，面積為36cm2，則點O到AB的距離為 3 cm．
試題分析：連接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD＝OE＝OF，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．
答案詳解：解：連接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
同理，OD＝OE＝OF，
則AB?ODAC?OFCB?OE＝36，即（AB+AC+BC）×OD＝36，
∴OD＝3（cm），
所以答案是：3．
十一．角平分線的判定
24．如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且O到三邊AB，BC，CA的距離相等（即OF＝OD＝OE），若∠BAC＝80°，則∠BOC（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
試題分析：由角平分線的判定即可推出∠OBC＝∠ABO，∠OCB＝∠ACO，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
答案詳解：解：∵OF＝OD，OF⊥BF，OD⊥BD，
∴BO是∠FBD的角平分線，
同理可得CO是∠ACB的角平分線，
∴∠OBC＝∠ABO，∠OCB＝∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB
＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
所以選：C．
25．東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設(shè)一批精品口袋公園．如圖所示，△ABC是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得S△ABH＝S△BCH，則涼亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點
B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點
C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點
D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點
試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得點H在∠BAC的角平分線上，再根據(jù)三角形的中線性質(zhì)可得△ABE的面積＝△BCE的面積，△AHE的面積＝△CHE的面積，然后利用等式的性質(zhì)可得△ABH的面積＝△CBH的面積，即可解答．
答案詳解：解：如圖：
∵AD平分∠BAC，點H在AD上，
∴點H到AB、AC的距離相等，
∵BE是AC邊上的中線，
∴△ABE的面積＝△BCE的面積，△AHE的面積＝△CHE的面積，
∴△ABE的面積﹣△AHE的面積＝△BCE的面積﹣△CHE的面積，
∴△ABH的面積＝△CBH的面積，
∴涼亭H是∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點，
所以選：A．
十二．垂直平分線的性質(zhì)
26．如右圖：AB比AC長3cm，BC的垂直平分線交AB于D，交BC于E，△ACD的周長是14cm，則AB＝ 8.5 cm．
試題分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，根據(jù)題意和三角形的周長公式計算即可．
答案詳解：解：∵DE是BC的垂直平分線，
∴DB＝DC，
由題意得，AC＝AB﹣3，
△ACD的周長＝AD+DC+AC＝AD+BD+AB﹣3＝2AB﹣3＝14，
解得，AB＝8.5，
所以答案是：8.5．
27．如圖，在△ABC中，AB、AC的中垂線GF、DE分別交BC于點F、E，連接AE、AF，∠B+∠C＝50°，那么∠FAE的度數(shù)是（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
試題分析：由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝BF，AE＝CE，即可得∠B＝∠BAF，∠C＝∠CAE，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．
答案詳解：解：∵AB、AC的中垂線GF、DE分別交BC于點F、E，
∴AF＝BF，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAF，∠C＝∠CAE，
∵∠B+∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°，∠BAF+∠CAE＝50°，
∴∠FAE＝130°﹣50°＝80°，
所以選：A．
十三．垂直平分線的判定
28．如圖，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；
（2）求證：EF垂直平分AD．
試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE＝AEAB，DF＝AFAC，再根據(jù)四邊形的周長的定義計算即可得解；
（2）根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上證明即可．
答案詳解：（1）解：∵AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，
∴DE＝AEAB10＝5，DF＝AFAC8＝4，
∴四邊形AEDF的周長＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；
（2）證明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴EF垂直平分AD．
十四．角平分線與垂直平分線的融合
29．如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論．
試題分析：連EB、EC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得EF＝EG；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得EB＝EC；再根據(jù)“HL”定理證明Rt△EFB≌Rt△EGC，從而得BF＝CG．
答案詳解：解：相等．
證明如下：連EB、EC，
∵AE是∠BAC的平分線，
且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF＝EG．
∵ED⊥BC于D，D是BC的中點，
∴EB＝EC．
∴Rt△EFB≌Rt△EGC，
∴BF＝CG．
十五．等腰三角形的性質(zhì)
30．如圖，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，點O為△ABC內(nèi)一點，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，則∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190°B．195°C．200°D．210°
試題分析：根據(jù)已知易證CA＝CB，所以想到等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點C作CD⊥AB，垂足為D，延長BO交CD與點P，然后連接AP，易證∠CAP＝∠CBP＝18°，從而求出∠PAO＝18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度數(shù)，放在直角三角形中求出∠ACP的度數(shù)，進而證△ACP≌△AOP，可得AC＝AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可．
答案詳解：解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，延長BO交CD與點P，連接AP，
∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°，
∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°，
∵∠CAB＝∠CBA＝48°，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分線，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°，
∵∠AOP是△AOB的一個外角，
∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°，
∴∠AOP＝∠ACD，
∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°，
∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°，
∴∠CAP＝∠OAP，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AOP（AAS），
∴AC＝AO，
∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°，
∴∠ACO＝∠AOC＝72°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°，
∴∠ACO+∠AOB＝210°，
所以選：D．
31．求證：等腰三角形兩底角的平分線相等．
試題分析：根據(jù)等腰三角形的兩底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到∠BCE＝∠CBF，從而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的對應邊相等即可證得結(jié)論．
答案詳解：已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分別∠ABC，∠ACB的角平分線．
求證：BF＝CE，即等腰三角形的兩底角的平分線相等
證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF，CE分別是∠ABC，∠ACB的角平分線，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF，
∴BF＝CE，即等腰三角形兩底角的平分線相等．
32．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．
試題分析：設(shè)∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．
答案詳解：解：設(shè)∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
十六．考點16：等腰三角形的判定
33．如圖，已知△ABC，CD平分它的外角∠BCE，AB∥CD，證明：△ABC為等腰三角形．
試題分析：利用角平分線的定義可得∠BCD＝∠DCE，再利用平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠BCD，∠A＝∠DCE，從而可得∠A＝∠B，然后利用等角對等邊，即可解答．
答案詳解：證明：∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD，∠A＝∠DCE，
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∴△ABC為等腰三角形．
34．如圖，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于點P，且分別平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）連接EF，求證：△EFP是等腰三角形．
試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，根據(jù)角平分線定義得出∠ABE＝∠CBEABC，，求出∠CBE+∠BCF∠ABCACB＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可；
（2）在BC上截取BQ＝BF，連接PQ，根據(jù)全等三角形的判定得出△FBP≌△QBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，求出∠CEP＝∠CQP，根據(jù)全等三角形的判定得出△CQP≌△CEP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝QP，求出FP＝EP即可．
答案詳解：（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBEABC，，
∴∠CBE+∠BCF∠ABCACB60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°；
（2）證明：在BC上截取BQ＝BF，連接PQ，
在△FBP和△QBP中，
，
∴△FBP≌△QBP（SAS），
∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
∴∠BFP+∠CEP＝180°，
∵∠CQP+∠BQP＝180°，
∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
，
∴△CQP≌△CEP（AAS），
∴EF＝QP，
∵FP＝QP，
∴FP＝EP，
∴△EFP是等腰三角形．
十七．考點17：格點等腰三角形
35．如圖，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點；已知A，B是兩格點，若C點也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C有 10 個．
試題分析：分三種情況，CA＝CB，AB＝AC，BA＝BC．
答案詳解：解：如圖：
當CA＝CB時，作AB的垂直平分線，符合條件的點有6個，
當AB＝AC時，以A為圓心，AB長為半徑作圓，符合條件的點有2個，
當BA＝BC時，以B為圓心，BA長為半徑作圓，符合條件的點有2個，
綜上所述，△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C有10個，
所以答案是：10．
36．如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是 a＝4或a＞8 ．
試題分析：分兩種情況，①作線段MN的垂直平分線交OB于點P，連接PM，PN，過點M作MH⊥OB于點H，當MH＝MN時，a＝8，即可求出a的取值范圍；②當△PMN是等邊三角形時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OM＝MP＝MN，求出a，即可確定a的取值范圍．
答案詳解：解：①作線段MN的垂直平分線交OB于點P，連接PM，PN，如圖所示：
則PM＝PN，此時△PMN是等腰三角形，
過點M作MH⊥OB于點H，
當MH＞MN，滿足條件的點P恰好只有一個，
∵MN＝4，∠AOB＝30°，
當MH＝4時，OM＝2MH＝8，
∴當a＞8時，滿足條件的點P恰好只有一個，
②當△PMN是等邊三角形時，滿足條件的點P恰好只有一個，
此時MN＝MP，∠NMP＝60°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴OM＝MP＝MN＝4，
∴a＝4，
綜上，滿足條件的a的取值范圍：a＝4或a＞8，
所以答案是：a＝4或a＞8．
十八．圖形的存在性之等腰
37．如圖，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，點P在△ABC的三邊上運動，當△PAC成為等腰三角形時，其頂角的度數(shù)是 100°或55°或70° ．
試題分析：作出圖形，然后分點P在AB上與BC上兩種情況討論求解．
答案詳解：解：①如圖1，點P在AB上時，AP＝AC，頂角為∠A＝100°，
②∵∠B＝25°，∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣25°﹣100°＝55°，
如圖2，點P在BC上時，若AC＝PC，頂角為∠C＝55°，
如圖3，若AC＝AP，則頂角為∠CAP＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×55°＝70°，
當PA＝PC時，則∠C＝∠PAC＝55°，
∴頂角＝180°﹣2×55°＝70°，
綜上所述，頂角為100°或55°或70°．
所以答案是：100°或55°或70°．
38．在△ABC中，∠A＝40°，當∠C＝ 40°或70°或100° 時，△ABC為等腰三角形．
試題分析：分三種情形分別討論即可解決問題；
答案詳解：解：①當AB＝AC時，
∵∠A＝40°，
∠C＝∠B＝70°．
②當CA＝CB時，
∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠C＝100°．
③當BA＝BC時，
∴∠C＝∠A＝40°，
綜上所述，∠C的值為40°或70°或100°，
所以答案是40°或70°或100°．
39．如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，M，N兩點分別從點A，B同時出發(fā)，沿△ABC的邊順時針運動，點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，當點N第一次到達B點時，M，N兩點同時停止運動，則當M，N運動時間t＝ 4或16 s時，△AMN為等腰三角形．
試題分析：分兩種情況求解：如圖1，由可得AN＝AM，可列方程求解；如圖2，首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設(shè)出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值．
答案詳解：解：如圖1，設(shè)點M、N運動x秒后，AN＝AM，
由運動知，AN＝（12﹣2x）cm，AM＝xcm，
∴12﹣2x＝x，
解得：x＝4，
∴點M、N運動4秒后，△AMN是等腰三角形；
如圖，假設(shè)△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等邊三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∠C＝∠B，∠AMC＝∠ANB，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
設(shè)當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝（y﹣12）cm，NB＝（36﹣2y）cm，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假設(shè)成立．
∴點M、N運動時間為4秒或16秒時，△AMN為等腰三角形．
所以答案是：4或16．
十九．考點19:等腰三角形的性質(zhì)與判定綜合
40．如圖，點D在等邊△ABC的外部，連接AD、CD，AD＝CD，過點D作DE∥AB交AC于點F，交BC于點E．
（1）判斷△CEF的形狀，并說明理由；
（2）連接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的長．
試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是線段AC的垂直平分線，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BDE，于是得到結(jié)論．
答案詳解：解：（1）△CEF是等邊三角形，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，
∴△CEF是等邊三角形；
（2）∵△ABC是等邊三角形，△CEF是等邊三角形，
∴AB＝BC，CF＝CE＝4．
∵AD＝CD，
∴BD是線段AC的垂直平分線，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB∥DE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE．
∵BC＝BE+EC＝DE+CF，
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
41．在等邊△ABC中，點E是AB上的動點，點E與點A、B不重合，點D在CB的延長線上，且EC＝ED．
（1）如圖1，若點E是AB的中點，求證：BD＝AE；
（2）如圖2，若點E不是AB的中點時，（1）中的結(jié)論“BD＝AE”能否成立？若不成立，請直接寫出BD與AE數(shù)量關(guān)系，若成立，請給予證明．
試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根據(jù)ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再證出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，從而證出AE＝DB；
（2）作輔助線得出等邊三角形AEF，得出AE＝EF，再證明三角形全等，得出DB＝EF，證出AE＝DB．
答案詳解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵點E是AB的中點，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：過點E作EF∥BC交AC于點F．如圖2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等邊三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
二十．等邊三角形的性質(zhì)
42．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，CE＝CD，
（1）求證：DB＝DE．
（2）在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周長．
試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC＝∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到DB＝DE．
（2）由DF的長可求出CD，進而可求出AC的長，則△ABC的周長即可求出．
答案詳解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角對等邊）；
（2）∵∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝8，
∵AD＝CD，
∴AC＝16，
∴△ABC的周長＝3AC＝48．
二十一．等邊三角性的判定
43．如圖，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）求證：△ADE是等邊三角形．
試題分析：（1）因為AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個底角相等，又∠BAC＝120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可求出∠C的度數(shù)為30°．
（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三個角是60°的三角形是等邊三角形．
答案詳解：（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
所以答案是：30°．
（2）證明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等邊三角形．
二十二．等邊三角性的判定與性質(zhì)的綜合運用
44．已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．
（1）求證：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度數(shù)；
（3）求證：△MNC是等邊三角形．
試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，證△ACD≌△BCE即可；
（2）根據(jù)全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根據(jù)SAS證△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
答案詳解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等邊三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度數(shù)是60°．
（3）證明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵點M、N分別是線段AD、BE的中點，
∴AMAD，BNBE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等邊三角形．
45．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D，E．
（1）求證：AE＝2CE；
（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．
試題分析：（1）連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質(zhì)可證得BE＝2CE，則可證得結(jié)論；
（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可證明△BCD為等邊三角形．
答案詳解：（1）證明：
連接BE，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等邊三角形，
理由如下：連接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D為AB中點，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等邊三角形．
二十三．含30°角的直角三角形
46．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）
試題分析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得：AE＝BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：DF與BE的關(guān)系，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC和AE的關(guān)系，從而得出結(jié)論．
答案詳解：證明：連接AE，
∵DE是AB的垂直平分線（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（線段垂直平分線的性質(zhì)），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等邊對等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
Rt△EDB中，∵F是BE的中點（已知），
∴DFBE（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴ACAE（直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴AC＝DF（等量代換）．
二十四．直角三角形斜中線的運用
47．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第103﹣104頁的部分內(nèi)容．
如圖24.2.1，畫Rt△ABC，并畫出斜邊AB上的中線CD，量一量，看看CD與AB有什么關(guān)系．
相信你與你的同伴一定會發(fā)現(xiàn)，CD恰好是AB的一半．
下面讓我們用演繹推理證明這一猜想．
已知：如圖24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，求證：CDAB．
定理證明：請根據(jù)教材圖24.2.2的提示，結(jié)合圖①完成直角三角形的性質(zhì)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明．
定理應用：（1）如圖②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D（點D在BC上），CE是AB邊上的中線，DG垂直平分CE．求證：∠B＝2∠BCE；
（2）在（1）條件下，若BF⊥AC于點F，連接DE、EF、FD．當△DEF是等邊三角形，且BD＝3時，△DEF的周長為 9 ．
試題分析：定理證明：延長CD到E，使DE＝CD，連接AE，BE，證得四邊形ACBE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（1）連接DE，由線段線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得∠DEC＝∠BCE，由直角三角形斜邊的中線和等腰三角形的性質(zhì)證得∠B＝∠BFE，根據(jù)三角形外角定理及等量代換即可證得結(jié)論；
（2）證得△BDE和△CDF都是等邊三角形，即可求得結(jié)果．
答案詳解：解：定理證明：
延長CD到E，使DE＝CD，連接AE，BE，
則CDCE，
∵CD是斜邊AB上的中線，
∴AD＝BD，
∴四邊形ACBE是平行四邊形，
∵∠ACB＝90°，
∴?ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CDAB；
（1）連接DE，
∵CE是AB邊上的中線，
∴AE＝BE，
∵AD⊥BC，
∴DEAB＝AE＝BE，
∴∠B＝∠BDE，
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠BDE＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE；
（2）由（1）得DE＝BE，
∵BF⊥AC，AD⊥BC，點E是AB中點，
∴EF＝BE＝DE，
∵DE＝DC，EF＝CF，
∴DE＝DC＝EF＝FC，
∴四邊形EFCD是菱形，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FED＝60°，DF＝DE，
∴DF＝CF＝CD，
∴△CDF是等邊三角形，
∴∠CDF＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠CDF﹣∠EDF＝60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE＝BD＝3，
∴等邊△DEF的周長為9，
所以答案是：9．
48．如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點，請判斷△PAE的形狀，并說明理由．
試題分析：由直角三角斜邊上的中線性質(zhì)得出PA＝PCCD，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠APD＝2∠ACD，同理得出∠DPE＝2∠DCB，PA＝PE，再證出∠APE＝2∠ACB＝60°，即可得出結(jié)論．
答案詳解：解：△PAE的形狀為等邊三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜邊CD的中點，
∴PA＝PCCD，
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PCCD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等邊三角形．
二十五．新定義
49．定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．
（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是 A ．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB，則該三角形的面積為 ；
（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進行折疊，點A落在點D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP，求△PDC的面積．
試題分析：（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進而可以判斷；
（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，滿足a2+b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2+3＝2b2，即可得a和b的值，進而可得直角三角形的面積；
（3）根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP，延長BP交AD于點E，根據(jù)勾股定理求出BE的長，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，可得PCPB，進而可以求△PDC的面積．
答案詳解：解：（1）對于①等邊三角形，三邊相等，
設(shè)邊長為a，
則a2+a2＝2a2，
根據(jù)“方倍三角形”定義可知：
等邊三角形一定是“方倍三角形”；
對于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：
a2+b2＝c2，
根據(jù)“方倍三角形”定義可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
所以答案是：A；
（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，
則滿足a2+b2＝3，
根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：
a2+3＝2b2，
聯(lián)立解得，
則Rt△ABC的面積為：；
所以答案是：；
（3）由題意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根據(jù)“方倍三角形”定義可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD為等邊三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD為等腰直角三角形，
∴AP＝DP，
∴AD＝2，
延長BP交AD于點E，如圖，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PEAD＝AE＝1，
∴BE，
∴PB＝BE﹣PE1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC為等腰直角三角形，
∴PCPB，
∴S△PDCPC?PD（）1．
二十六．尺規(guī)作圖
50．如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）過點B作∠ABC的平分線交AC于點D（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標注有關(guān)字母，不用寫作法和證明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面積．
試題分析：（1）根據(jù)角平分線的作法，畫出圖形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要證明CD＝DH，根據(jù)三角形的面積公式即可解決問題．
答案詳解：解：（1）∠ABC的平分線如圖所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面積＝S△BCD+S△ABDBC?CDAB?DH3BC3AB（BC+AB）3×16＝24．
51．兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
試題分析：到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C．
答案詳解：解：如圖：
點C即為所求作的點．
二十七．規(guī)律類
52．如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；…，根據(jù)以上操作，若操作2022次，得到小正方形的個數(shù)是（ ）
A．6065B．6066C．6067D．6068
試題分析：根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)：每一次剪的時候，都是把上一次的圖形中的一個進行剪切．所以在4的基礎(chǔ)上，依次多3個，繼而解答各題即可．
答案詳解：解：根據(jù)題意可知：后一個圖形中的個數(shù)總比前一個圖形中的個數(shù)多3個，
即剪第1次時，可剪出4個正方形；
剪第2次時，可剪出7個正方形；
剪第3次時，可剪出10個正方形；
剪第4次時，可剪出13個正方形；
…
剪n次時，共剪出小正方形的個數(shù)為：4+3（n﹣1）＝3n+1．
當n＝2022時，正方形的個數(shù)為3×670+1＝6067，
所以選：C．
53．如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E；…按此做法繼續(xù)下去，則第2022個三角形中以A2022為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（ ）
A．（）2019?75°B．（）2020?75°
C．（）2021?75°D．（）2022?75°
試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1∠BA1C150°．以此類推，運用特殊到一般的思想解決此題．
答案詳解：解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．
∴2∠BA1C＝150°．
∴∠BA1C＝×150°＝75°．
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2．
∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．
∴∠DA2A1∠BA1C150°．
同理可得：∠EA3A2∠DA2A1150°．
…，
以此類推，以An為頂點的內(nèi)角度數(shù)是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°．
∴以A2022為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（）2021?75°．
所以選：C．
二十八．坐標中的軸對稱
54．已知點M（a，﹣3），點N（﹣2，b）關(guān)于y軸對稱，則（a+b）2022的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
試題分析：根據(jù)平面直角坐標系中兩個關(guān)于坐標軸成軸對稱的點的坐標特點：關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．據(jù)此可得a、b的值，再代入所求式子計算即可．
答案詳解：解：∵M（a，﹣3），點N（﹣2，b）關(guān)于y軸對稱，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1．
所以選：C．
55．平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）．
（1）試在平面直角坐標系中，標出A、B、C三點；
（2）求△ABC的面積．
（3）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于x軸對稱，寫出A1、B1、C1的坐標．
試題分析：（1）根據(jù)點A、B、C的坐標及坐標的概念描點即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求解可得；
（3）根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得答案．
答案詳解：解：（1）如圖所示，點A、B、C即為所求；
（2）△ABC的面積為：5；
（3）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于x軸對稱，則A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．
二十九．三線合一的妙用
56．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線交BC于點D，DE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，DE＝3，則CF的長為（ ）
A．4B．6C．9D．12
試題分析：解法一：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠B＝∠ACB，根據(jù)相似三角形的判定定理可證明△BCF∽△CDE，利用相似三角形的性質(zhì)定理即可求出CF的長度．
解法二：利用SAS證明△ABD≌△ACD可得S△ABC＝2S△ACD，再利用三角形的面積公式計算可求解．
答案詳解：解：解法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
由題意可知：∠BFC＝∠DEC＝90°，
∴△BCF∽△CDE，
∴，
設(shè)CD＝x，
∴BC＝2CD＝2x，
∴，
∴CF＝6．
解法二：∵AD是∠BAC的角平分線交BC于點D，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴S△ABD＝S△ACD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC，S△ACD，
∵AB＝AC，DE＝3，
∴CF＝2DE＝6．
所以選：B．
57．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）求證：BE＝CE．
試題分析：（1）通過全等三角形的判定定理SSS證得△ABD≌△ACD，根據(jù)其對應角相等證得結(jié)論；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證得結(jié)論．
答案詳解：（1）證明：∵點D是BC的中點，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
．
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）∵AB＝AC，點D是BC的中點，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC．
三十．角平分與平行、垂直的巧妙融合
58．如圖，在△ABC中，過點B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點G，若AB＝4，則線段FG的長為 2 ．
試題分析：延長BF交AC于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AB＝4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FGAE＝2．
答案詳解：解：延長BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FGAE＝2，
所以答案是：2．
59．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若
FG＝5，ED＝9，求EB+DC＝ 14 ．
試題分析：根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBG和△DFC是等腰三角形，從而可得EB＝EG，DF＝DC，進而可得EB+DC＝ED+FG，然后進行計算即可解答．
答案詳解：解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，
∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝5，ED＝9，
∴EB+DC＝EG+DF
＝ED+FG
＝14，
所以答案是：14．
60．如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則S△ADC 12 m2．
試題分析：延長BD交AC于點E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADCS△ABC．
答案詳解：解：如圖，延長BD交AC于點E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC24＝12（m2），
所以答案是：12；

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