在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．
（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線．
記作：a∥b；
讀作：直線a平行于直線b．
（2）同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對(duì)于這一知識(shí)的理解過程中要注意：
①前提是在同一平面內(nèi)；
②對(duì)于線段或射線來說，指的是它們所在的直線．
二．平行公理及推論
（1）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．
（2）平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．
（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
（4）平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時(shí)應(yīng)用．
三．平行線的判定
（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行． 簡(jiǎn)單說成：同位角相等，兩直線平行．
（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
（3 ）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．
（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．
一．平行線（共4小題）
1．（2021春?饒平縣校級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交C．相交或垂直D．相交或平行
【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系判斷．
【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是相交或平行，相交包含垂直．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】考查在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系．概念理解題．
2．（2021春?和平區(qū)校級(jí)月考）下列語句正確的有（ ）個(gè)
①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行
②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行
③過兩條直線a，b外一點(diǎn)P，畫直線c，使c∥a，且c∥b
④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系是相交、平行；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進(jìn)行分析即可．
【解答】解：①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行，說法錯(cuò)誤，應(yīng)為根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行；
②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯(cuò)誤，應(yīng)為過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行；
③過兩條直線a，b外一點(diǎn)P，畫直線c，使c∥a，且c∥b，說法錯(cuò)誤；
④若直線a∥b，b∥c，則c∥a，說法正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線，關(guān)鍵是掌握平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行；
推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
3．（2021春?青龍縣期末）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行、相交或垂直
【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系解答．
【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系，是平行或相交，
所以在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是：平行或相交．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線的位置關(guān)系，需要特別注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有平行或相交兩種位置關(guān)系．
4．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的是（ ）
A．不相交的兩條直線叫做平行線
B．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直
C．平角是一條直線
D．過同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，只能畫出3條直線
【分析】根據(jù)平行線、垂線的性質(zhì)，角和直線的概念逐一判斷可求解．
【解答】解：A．應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)，錯(cuò)誤；
B．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，正確；
C．直線與角是不同的兩個(gè)概念，錯(cuò)誤；
D．過同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，能畫出3條直線或1條直線，故錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的定義，垂線的性質(zhì)，平角的定義，直線，對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義，要善于區(qū)分不同概念之間的聯(lián)系和區(qū)別．
二．平行公理及推論（共3小題）
5．（2019春?嘉祥縣期末）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等
B．在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直
C．經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
D．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短
【分析】分別利用平行線的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)分別判斷得出答案．
【解答】解：A、如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等，錯(cuò)誤，符合題意；
B、在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，正確，不合題意；
C、經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，正確，不合題意；
D、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，正確，不合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行公理及推論和垂線的性質(zhì)，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
6．（2020春?崇明區(qū)期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角
B．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短
C．如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等
D．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】利用對(duì)頂角的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及平行公理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A、相等的角不一定是對(duì)頂角，故錯(cuò)誤；
B、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，正確；
C、如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等，故錯(cuò)誤；
D、經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及平行公理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定理及定義，難度不大．
7．（2018春?嘉定區(qū)期中）在平面內(nèi)，下列四個(gè)說法中，正確的是（ ）
A．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條線段與已知直線垂直
B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條線段與已知直線平行
C．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
D．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】依據(jù)垂線的性質(zhì)以及平行公理，即可得出結(jié)論．
【解答】解：A．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)正確；
D．經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂線的性質(zhì)以及平行公理，在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
三．平行線的判定（共14小題）
8．（2020春?華亭市期末）如圖，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，由下列條件不能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠B＝∠DCE
C．∠3＝∠4D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行逐一分析解答即可．
【解答】解：A、正確，符合內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行的判定定理；
B、正確，符合同位角相等，兩條直線平行的判定定理；
C、錯(cuò)誤，若∠3＝∠4，則AD∥BE；
D、正確，符合同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行的判定定理；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定定理，比較簡(jiǎn)單．
9．（2020秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知直線a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，則圖中平行線組數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由∠2＝∠3，根據(jù)同位角相等，則兩直線平行可證得b∥c，可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝60°，
∴a∥b，
∵∠2＝∠3，
∴b∥c，
∴a∥c，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，掌握“同位角相等，則兩直線平行”是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，如果∠A+ ∠B ＝180°，那么AD∥BC．
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC．
故答案為∠B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
11．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，則 DE∥BC ．
【分析】由DF平分∠CDE，∠CDF＝55°可得∠CDE＝110°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得結(jié)論．
【解答】解：∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，
∴∠CDE＝2∠CDF＝110°，
∵∠C＝70°，
∴∠C+∠CDE＝70°+110°＝180°，
∴DE∥BC．
故答案為：DE∥BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，熟練的掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
12．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請(qǐng)說明AE∥GF的理由．
解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（ 已知 ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 鄰補(bǔ)角的定義 ），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的補(bǔ)角相等 ）．
因?yàn)镋A平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分線的定義 ）．
因?yàn)镕G平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC ，
得∠1＝∠2（ 等量代換 ），
所以AE∥GF（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）．
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義及題意得出∠BAG＝∠AGC，再根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
【解答】解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補(bǔ)角的定義），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的補(bǔ)角相等），
因?yàn)镋A平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分線的定義），
因?yàn)镕G平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代換），
所以AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：已知；鄰補(bǔ)角的定義；同角的補(bǔ)角相等；∠BAG；角平分線的定義；∠AGC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．
13．（2021春?上海期中）如圖，直線a、b都與直線c相交，其中不能判定a∥b的條件是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠6C．∠1＝∠4D．∠5+∠8＝180°
【分析】根據(jù)平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到a∥b，不合題意；
B、∠3＝∠6可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到a∥b，不合題意；
C、∠1＝∠4不能得到a∥b，符合題意；
D、∠5+∠8＝180°可得∠3+∠2＝180°，可根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到a∥b，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，記住同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，解題的關(guān)鍵是搞清楚同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，屬于中考?？碱}型．
14．（2020春?下城區(qū)期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠AB．∠A＝∠3C．∠1＝∠4D．∠A+∠2＝180°
【分析】根據(jù)平行線的判定逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：
當(dāng)∠1＝∠A時(shí)，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故A不可以；
當(dāng)∠A＝∠3時(shí)，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF；∠2+∠A＝180°時(shí)，是一對(duì)同旁內(nèi)角，可得AB∥DF；故B、D都可以；
當(dāng)∠1＝∠4時(shí)，可知是AB、DF被DE所截得到的內(nèi)錯(cuò)角，可得AB∥DF，故C可以；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定方法，掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行．
15．（2021春?奉賢區(qū)期末）如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AF平分∠CAD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ 2∠2 （ 角平分線的定義 ）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝ 116 °（等式性質(zhì)）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ 180 °．
∴ AD ∥ BC （ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 ）．
【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分線的定義可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，結(jié)合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出AD∥BC．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分線的定義）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝116°（等式性質(zhì)）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
故答案為：2∠2；角平分線的定義；116；180；AD；BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算以及平行線的判定，根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出∠BAD+∠B＝180°是解題的關(guān)鍵．
16．（2021春?青浦區(qū)期中）如圖，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出的下列四個(gè)條件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的條件的序號(hào)是 ①④ ．
【分析】根據(jù)平行線的判定和各個(gè)小題中的條件，可以判斷是否可以使得a∥b，從而可以解答本題．
【解答】解：當(dāng)∠4＝∠7時(shí)，a∥b，故①正確；
當(dāng)∠2＝∠5時(shí)，無法證明a∥b，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)∠2+∠3＝180°時(shí)，無法證明a∥b，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)∠2＝∠7時(shí)，a∥b，故④正確；
故答案為：①④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
17．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，下列條件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的條件個(gè)數(shù)有 3 個(gè)．
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可判斷．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，則AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，則AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，則AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，則AB∥CD，
故能判定AB∥CD的條件個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
18．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，已知CD⊥AD于點(diǎn)D，DA⊥AB于點(diǎn)A，∠1＝∠2，試說明DF∥AE．
解：因?yàn)镃D⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（ 垂直的定義 ）．
同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（ 等量代換 ）．
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因?yàn)椤?＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（ 等式的性質(zhì)1 ）．
所以DF∥AE（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）．
【分析】根據(jù)垂直定義得出∠CDA＝∠DAB，求出∠3＝∠4，根據(jù)平行線的判定推出即可．
【解答】解：因?yàn)镃D⊥AD（已知），
所以∠CDA＝90°（垂直的定義），
同理∠DAB＝90°．
所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代換），
即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．
因?yàn)椤?＝∠2（已知），
所以∠3＝∠4（等式的性質(zhì)1），
所以DF∥AE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直定義和平行線的判定的應(yīng)用，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵．
19．（2021春?青浦區(qū)期中）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，GH是∠EGC的平分線，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，說明AB∥CD的理由．
解：因?yàn)镚H是∠EGC的角平分線（ 已知 ），
所以∠EGH＝∠HGC＝56°（ 角平分線的定義 ）．
因?yàn)镃D是條直線（已知），
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（ 平角的定義 ）．
所以∠IGD＝68°．
因?yàn)椤螮IB＝68°（已知），
所以 ∠IGD ＝ ∠EIB （ 等量代換 ）．
所以AB∥CD（ 同位角相等，兩直線平行 ）．
【分析】根據(jù)題意和圖形，可以寫出解答過程中空格中需要填寫的內(nèi)容，本題得以解決．
【解答】解：因?yàn)镚H是∠EGC的角平分線（已知），
所以∠EGH＝∠HGC＝56°（角平分線的定義），
因?yàn)镃D是條直線（已知），
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（平角的定義），
所以∠IGD＝68°，
因?yàn)椤螮IB＝68°（已知），
所以∠IGD＝∠EIB（等量代換），
所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．
故答案為：已知，角平分線的定義，平角的定義，∠IGD，∠EIB，等量代換，同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
20．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求證：BC∥DE．
【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，利用已知，等量代換可得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠2＝∠3，故有兩直線平行．
【解答】證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BC∥DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了角平分線的性質(zhì)，以及平行線的判定中內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的知識(shí)．
21．（2021春?長(zhǎng)沙縣期末）如圖，直線AE、CF分別被直線EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．將下列證明AB∥CD的過程及理由填寫完整．
證明：因?yàn)椤?＝∠2，所以 AE ∥ CF ，（ 同位角相等，兩直線平行 ）
所以∠EAC＝∠ACG，（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
因?yàn)锳B平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ∠3 ＝， ∠4 ＝，
所以 ∠3 ＝ ∠4 ，
所以AB∥CD（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）．
【分析】利用平行線的判定及性質(zhì)就可求得本題．即同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．反之即為性質(zhì)．
【解答】證明：因?yàn)椤?＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，兩直線平行），
所以∠EAC＝∠ACG（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
因?yàn)锳B平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3＝，∠4＝，
所以∠3＝∠4，
所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定即同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
平行線的判定即兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一．選擇題（共9小題）
1．（2021春?芝罘區(qū)期末）如圖，在下列條件中，能說明AC∥DE的是（ ）
A．∠A＝∠CFDB．∠BED＝∠EDF
C．∠BED＝∠AD．∠A+∠AFD＝180°
【分析】直接利用平行線的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A、當(dāng)∠A＝∠CFD時(shí)，則AB∥DF，不合題意；
B、當(dāng)∠BED＝∠EDF時(shí)，則AB∥DF，不合題意；
C、當(dāng)∠BED＝∠A時(shí)，則AC∥DE，符合題意；
D、當(dāng)∠A+∠AFD＝180°時(shí)，則AB∥DF，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
2．（2020秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知直線a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，則圖中平行線組數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由∠2＝∠3，根據(jù)同位角相等，則兩直線平行可證得b∥c，可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝60°，
∴a∥b，
∵∠2＝∠3，
∴b∥c，
∴a∥c，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，掌握“同位角相等，則兩直線平行”是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2020春?楊浦區(qū)期末）如圖，在下列條件中，能判定AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠ABC＝∠ADCD．∠ABC+∠BCD＝180°
【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
4．（2020春?江岸區(qū)校級(jí)期中）設(shè)a、b、c為同一平面內(nèi)的三條直線，下列判斷不正確的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，則a∥cD．若a∥b，b⊥c，則a⊥c
【分析】根據(jù)平行線的判定定理及垂直的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行分析，用排除法即可找到答案．
【解答】解：A、根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行，即可推出本選項(xiàng)正確，不合題意，
B、根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行，即可推出a∥c，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，
C、根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行，即可推出a∥c，本選項(xiàng)正確，不合題意，
D、根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可推出a⊥c，本選項(xiàng)正確，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理并做到熟練應(yīng)用．
5．（2019春?虹口區(qū)期末）如圖，能推斷AD∥BC的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠2＝∠4C．∠3＝∠4+∠5D．∠3＝∠1+∠2
【分析】利用平行線的判定進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、∠3＝∠4不能推斷AD∥BC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∠2＝∠4不能推斷AB∥DC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∠3＝∠4+∠5能推斷AB∥DC，故此選項(xiàng)正確；
D、∠3＝∠1+∠2不能推斷AB∥DC，能推出AB∥CD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
6．（2019春?花都區(qū)期末）如圖，能判定直線a∥b的條件是（ ）
A．∠2+∠4＝180°B．∠3＝∠4C．∠1+∠4＝90°D．∠1＝∠4
【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；依據(jù)平行線的判定方法得出結(jié)論．
【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直線a∥b；
B．由∠3＝∠4，不能判定直線a∥b；
C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直線a∥b；
D．由∠1＝∠4，能判定直線a∥b；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，解題時(shí)注意：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
7．（2019春?浦東新區(qū)期中）下列說法正確的是（ ）
A．如果兩條直線被第三條直線所截，那么同位角相等
B．點(diǎn)到直線的距離是指直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度
C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行
D．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】依據(jù)平行線的判定，點(diǎn)到直線的距離以及平行公理進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A． 如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B． 點(diǎn)到直線的距離是指直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，故本選項(xiàng)正確；
C． 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D． 經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，點(diǎn)到直線的距離以及平行公理，解題時(shí)注意：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．
8．（2019春?普陀區(qū)期中）如圖，下列推理正確的是（ ）
A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BCB．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC
C．∵∠4+∠D＝180°，∴AD∥BCD．∵∠4+∠B＝180°，∴AD∥BC
【分析】根據(jù)平行線的判定判斷即可．
【解答】解：A、由∠2＝∠4不能推出AD∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，故本選項(xiàng)正確；
C、由∠4+，∠D＝180°不能推出AD∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由∠4+∠B＝180°不能推出AD∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定的應(yīng)用，注意：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
9．（2018春?青浦區(qū)期中）下列說法正確的是（ ）
A．有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角
B．不相交的兩條直線叫做平行線
C．在所有聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線段中，垂線段最短
D．兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)
【分析】依據(jù)鄰補(bǔ)角、平行線、垂線段的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：A．有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行，故同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鄰補(bǔ)角、平行線、垂線段的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．
二．填空題（共3小題）
10．（2014秋?朝陽區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，兩條不相重合的直線位置關(guān)系有兩種： 相交 和 平行 ．
【分析】同一平面內(nèi)，直線的位置關(guān)系通常有兩種：平行或相交．
【解答】解：平面內(nèi)的直線有平行或相交兩種位置關(guān)系．
故答案為：相交，平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)熟記這一知識(shí)點(diǎn)．
11．（2019春?靜安區(qū)期中）如圖，如果∠ABD＝∠CDB，那么 DC ∥ AB ．
【分析】直接利用平行線的判定方法得出答案．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，
∴DC∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：DC，AB．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
12．（2018春?青浦區(qū)期中）如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5+∠8＝180°，其中能判斷a∥b的條件是： ①②③④ （把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在空格內(nèi)）．
【分析】根據(jù)平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行進(jìn)行分析即可．
【解答】解：①∠1＝∠2可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到a∥b；
②∠3＝∠6可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到a∥b；
③∠1＝∠8＝∠2可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到a∥b；
④∠5+∠8＝180°可得∠3+∠2＝180°，可根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到a∥b；
故答案為①②③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，記住同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，解題的關(guān)鍵是搞清楚同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念．
三．解答題（共8小題）
13．（2020春?閔行區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠BAP+∠APD＝180°，∠BAE＝∠CPF，求證：AE∥PF．
【分析】由平行線的判定定理得AB∥CD，再由平行線的性質(zhì)得∠BAP＝∠CPA，由已知得出∠PAE＝∠APF，再由平行線的判定定理得出AE∥PF．
【解答】證明：∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠CPA，
∵∠BAE＝∠CPF，
∴∠PAE＝∠APF，
∴AE∥PF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定定理得出，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2019春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，請(qǐng)說明AB∥EF的理由．
【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行、平行公理即可得出AB∥EF．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3+∠4＝180°，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，用到的知識(shí)點(diǎn)是同位角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行、熟練運(yùn)用平行公理是解決此題的關(guān)鍵．
15．（2020春?閔行區(qū)期末）如圖，已知GH、MN分別平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，
試說明AB∥CD的理由．
解：因?yàn)镚H平分∠AGE（已知），
所以∠AGE＝2∠AGH（ 角平分線的定義 ）
同理∠ DMF ＝2∠DMN
因?yàn)椤螦GH＝∠DMN（已知）
所以∠AGE＝∠ DMF （ 等量代換 ）
又因?yàn)椤螦GE＝∠FGB （ 對(duì)頂角相等 ）
所以∠ DMF ＝∠FGB （ 等量代換 ）
所以AB∥CD （ 同位角相等，兩直線平行 ）．
【分析】根據(jù)角平分線的定義和等量關(guān)系可得∠AGE＝∠DMF，再根據(jù)對(duì)頂角相等和等量關(guān)系可得∠DMF＝∠FGB，再根據(jù)平行線的判定推出即可．
【解答】解：因?yàn)镚H平分∠AGE（已知），
所以∠AGE＝2∠AGH（角平分線的定義）
同理∠DMF＝2∠DMN
因?yàn)椤螦GH＝∠DMN（已知）
所以∠AGE＝∠DMF（等量代換）
又因?yàn)椤螦GE＝∠FGB （對(duì)頂角相等）
所以∠DMF＝∠FGB （等量代換）
所以AB∥CD （同位角相等，兩直線平行）．
故答案為：角平分線的定義，DMF，DMF，等量代換，對(duì)頂角相等，DMF，等量代換，同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定的應(yīng)用，注意：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
16．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．說明AB∥EF的理由．
【分析】根據(jù)平行線的判定可得EF∥CD，AB∥CD，再根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行即可求解．
【解答】解：∵∠COF+∠C＝180°，
∴EF∥CD，
∵∠C＝∠B，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF．
【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行的知識(shí)點(diǎn)．
17．（2020春?崇明區(qū)期中）如圖所示，已知∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，請(qǐng)說明AE∥PF的理由．
【分析】先判定PD∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠CPD＝∠CAB，再根據(jù)等式性質(zhì)即可得出∠CPF＝∠CAE，進(jìn)而判定AE∥PF．
【解答】證明：如圖所示，∵∠BAP+∠APD＝180°，
∴PD∥AB，
∴∠CPD＝∠CAB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠CPD﹣∠2＝∠CAB﹣∠1，即∠CPF＝∠CAE，
∴AE∥PF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定定理，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．
18．（2019春?靜安區(qū)期中）已知：如圖，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF嗎？為什么？
【分析】根據(jù)平行線的判斷可得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠DBF，由已知條件和等量關(guān)系可得∠DBF+∠BFE＝180°，根據(jù)平行線的判定可證明EF∥BD．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DBF，
∵∠1+∠BFE＝180°，
∴∠DBF+∠BFE＝180°，
∴BD∥EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．
19．（2019春?楊浦區(qū)期中）圖，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，請(qǐng)說明AB與DE平行的理由．
解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則
∠2+∠4＝180° 鄰補(bǔ)角的意義
因?yàn)椤?+∠3＝180° 已知
所以∠3＝∠4 同角的補(bǔ)角相等
因?yàn)?∠1＝∠3 （已知）
所以∠1＝∠4 等量代換
所以AB∥DE 同位角相等，兩直線平行
【分析】根據(jù)平行線的判定解答即可．
【解答】解：將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠4，則
∠2+∠4＝180° （鄰補(bǔ)角的意義）
因?yàn)椤?+∠3＝180° （已知）
所以∠3＝∠4 （同角的補(bǔ)角相等）
因?yàn)椤?＝∠3（已知）
所以∠1＝∠4 （等量代換）
所以AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）
故答案為：鄰補(bǔ)角的意義；已知；同角的補(bǔ)角相等；∠1＝∠3；等量代換；同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．
20．（2019春?大埔縣期末）如圖已知BE平分∠ABC，E點(diǎn)在線段AD上，∠ABE＝∠AEB，AD與BC平行嗎？為什么？
解：因?yàn)锽E平分∠ABC（已知）
所以∠ABE＝∠EBC （ 角平分線的意義 ）
因?yàn)椤螦BE＝∠AEB （ 已知 ）
所以∠ AEB ＝∠ EBC （ 等量代換 ）
所以AD∥BC （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
【分析】首先根據(jù)已知BE平分∠ABC利用角平分線的意義可得∠ABE＝∠EBC，再有∠ABE＝∠AEB，可根據(jù)等量代換得到∠AEB＝∠EBC，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到AD∥BC．
【解答】解：因?yàn)锽E平分∠ABC（已知），
所以∠ABE＝∠EBC（角平分線的意義），
因?yàn)椤螦BE＝∠AEB （已知），
所以∠AEB＝∠EBC （等量代換），
所以AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：角平分線的意義；已知；AEB；EBC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
題組B 能力提升練
一．選擇題（共2小題）
1．（2020春?韓城市期末）如圖，下列條件能判斷AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠3＝∠4
【分析】根據(jù)平行線的判定解答即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AD∥BC，符合題意；
B、∵∠1＝∠2，不能判定AD∥BC，不符合題意；
C、∵∠2＝∠3，∴AB∥DC，不符合題意；
D、∵∠3＝∠4，不能判定AD∥BC，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定定理解答．
2．（2018春?金山區(qū)期中）如圖，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，則下列條件中，不能判定AD∥BC是（ ）
A．∠D+∠DCB＝180°B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠4D．∠CBE＝∠DAE
【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可．
【解答】解：∵∠2＝∠4，
∴CD∥AB，
∴不能判定AD∥BC是選項(xiàng)C，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
二．填空題（共2小題）
3．（2020春?廣饒縣期末）如圖，用直尺和三角尺作出直線AB、CD，得到AB∥CD的理由是 同位角相等，兩直線平行 ．
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答即可．
【解答】解：用直尺和三角尺作出直線AB、CD，得到AB∥CD的理由是同位角相等，兩直線平行；
故答案為：同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵．
4．（2019春?武勝縣期末）如圖，要得到AB∥CD，只需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 ∠2＝∠4（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)平行線的判定定理添加條件即可．
【解答】解：添加∠2＝∠4，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”推知AB∥CD．
故答案是：∠2＝∠4 （答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定方法；熟練掌握平行線的判定方法，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．
三．解答題（共9小題）
5．（2019春?奉賢區(qū)期末）如圖，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．試說明AD∥BC．
【分析】由AB與AC垂直，根據(jù)垂直的定義得到∠BAC為90°，再由圖形可得：同旁內(nèi)角∠B與∠BAD的和為∠B，∠BAC與∠1三角的度數(shù)之和，求出度數(shù)為180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可得出AD與BC平行，得證．
【解答】證明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90°（垂直定義），
又∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代換），
∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，垂直的定義，是一道證明題，其中平行線的判定方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
6．（2018春?浦東新區(qū)期中）如圖，∠1＝120°，∠BCD＝60°，AD與BC為什么是平行的？（填空回答問題）
將∠1的 鄰補(bǔ)角 角記為∠2
∵∠1+∠2＝ 180° ，且∠1＝120°（ 已知）
∴∠2＝ 60° ．
∵∠BCD＝60°，（ 已知 ）
∴∠BCD＝∠ 2 ．
∴AD∥BC（ 同位角相等，兩直線平行 ）
【分析】首先記∠1的鄰補(bǔ)角為∠2，得出∠2＝60°，再由∠BCD＝60°，得出∠BCD＝∠2，從而得出AD∥BC．
【解答】證明：將∠1的鄰補(bǔ)角記為∠2．
∵∠1+∠2＝180°，且∠1＝120°（ 已知），
∴∠2＝60°，
∵∠BCD＝60°（ 已知），
∴∠BCD＝∠2，
∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）．
故答案分別為：鄰補(bǔ)角，180°，60°，已知，2，同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定，關(guān)鍵是先由鄰補(bǔ)角得出∠2＝60°，再由已知得出∠BCD＝∠2，從而得出AD∥BC．
7．（2017春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知∠A＝∠EGC，∠A＝∠D，說明AC∥DF．
解：∵∠A＝∠EGC 已知
又∵∠A＝∠D 已知
∴ ∠D ＝ ∠EGC （ 等量代換 ）
∴DF∥AC 同位角相等兩直線平行 ．
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答可得．
【解答】解：∵∠A＝∠EGC（已知）
又∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠EGC（等量代換）
∴DF∥AC（同位角相等兩直線平行），
故答案為：已知，已知，∠D，∠EGC，等量代換，同位角相等兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)及等量代換是解題的關(guān)鍵．
8．（2017春?浦東新區(qū)期中）如圖，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A+∠AEF＝180°．說明CD∥EF的理由．
【分析】直接利用平行線的判定方法得出AB∥CD，進(jìn)而得出CD∥EF．
【解答】解：因?yàn)?AB⊥BG，CD⊥BG （已知），
所以∠B＝90°，∠CDG＝90°（垂直的意義），
所以∠B＝∠CDG （等量代換），
所以AB∥CD （同位角相等，兩直線平行），
因?yàn)椤螦+∠AEF＝180° （已知），
所以AB∥EF （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
所以 CD∥EF（平行線的傳遞性）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確得出AB∥CD 是解題關(guān)鍵．
9．（2016春?閘北區(qū)期中）已知：如圖，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3．說明AB∥DC的理由．
解：∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC
又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，
∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC
∴∠ 1 ＝∠ 2 ．（等量代換）
∵∠1＝∠3， （已知）
∴∠2＝ ∠3 ． （等量代換）
∴ CD ∥ AB ． （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ．
【分析】首先根據(jù)角平分線定義可證明∠1＝∠2，進(jìn)而利用平行線的判定方法得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC
又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，
∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC
∵∠1＝∠2．
∵∠1＝∠3，（已知）
∴∠2＝3．（等量代換）
∴AB∥CD．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定以及角平分線的性質(zhì)，正確把握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
10．（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．
【分析】由條件可先證明EH∥AB，再利用平行線的性質(zhì)可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可證明DE∥BC．
【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（對(duì)頂角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代換）
∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代換）
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．
11．（2021春?華容縣期末）如圖，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1與∠2互余，試判斷直線AB，CD是否平行？為什么？
【分析】先用角平分線的性質(zhì)得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，再用∠1與∠2互余，即可得到∠ABD與∠BDC互補(bǔ)．
【解答】解：直線AB，CD平行．
證明：∵∠1與∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥DC．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，角平分線的意義，解本題的關(guān)鍵是用角平分線的意義得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2．
12．（2021春?瀏陽市期末）已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，EF⊥BC于點(diǎn)F，∠1＝∠2，求證：DE∥AC．
【分析】先由垂直于同一條直線的兩條直線平行，得出∠1＝∠3，再用∠1＝∠2代換，最后用內(nèi)錯(cuò)角相等得出結(jié)論；
【解答】證明：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，EF⊥BC于點(diǎn)F，
∴AD∥EF．
∴∠1＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3．
∴DE∥AC．
【點(diǎn)評(píng)】此題是平行線的判定，主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，用判斷垂直于同一條直線的兩直線平行，解本題的關(guān)鍵是判斷出AD∥EF．
13．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）（1）完成下列推理，并填寫理由
已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，證明：CF∥DO
證明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA＝∠BOA＝90°（ 垂直的定義 ）
∵DE∥BO（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠EDO＝ ∠DOB （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
又∵∠CFB＝∠EDO（ 已知 ）
∴∠DOF＝∠CFB（ 等量代換 ）
∴CF∥DO（ 同位角相等，兩直線平行 ）
（2）如圖，已知：AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF，請(qǐng)問∠B＝∠D嗎？為什么？
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DEA＝∠BOA，根據(jù)平行線的判定得到DE∥BO，利用平行線的性質(zhì)得到∠EDO＝∠DOB，等量代換得到∠DOF＝∠CFB，根據(jù)平行線的判定得到結(jié)論；
（2）首先由平行線的性質(zhì)得∠A＝∠C，由AE＝CF可得AF＝CE，利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴∠DEA＝∠BOA＝90°（垂直的定義）
∵DE∥BO（同位角相等，兩直線平行）
∴∠EDO＝∠DOB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵∠CFB＝∠EDO（已知）
∴∠DOF＝∠CFB（等量代換）
∴CF∥DO（同位角相等，兩直線平行）；
故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；∠DOB；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；等量代換；同位角相等，兩直線平行
（2）解：∠B＝∠D．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF與△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定以及全等三角形的性質(zhì)和判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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