典例分析：
典例1
如圖，拋物線ybx+c與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，其中B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值；
（3）在（2）中△PBC面積取最大值的條件下，點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以A、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
解題思路：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入ybx+c，用待定系數(shù)法可得該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y2x﹣6；
（2）過P作PQ∥y軸交BC于Q，由B（6，0），C（0，﹣6）可得直線BC解析式為y＝x﹣6，根據(jù)P（m，m2﹣2m﹣6），Q（m，m﹣6），得PQm2+3m，即得S△PBCPQ?|xB﹣xC|（m2+3m）×6（m﹣3）2，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)m取3時(shí)，△PBC的面積最大，△PBC面積的最大值是；
（3）由（2）知，m＝3，P（3，），由2x﹣6＝0可得A（﹣2，0），設(shè)M（2，p），N（q，q2﹣2q﹣6），點(diǎn)分三種情況：①若PA，MN為對(duì)角線，則PA，MN的中點(diǎn)重合，有（線式）即中點(diǎn)重合，可得N（﹣1，），②若PM，AN為對(duì)角線，同理可得N（7，），③若PN，AM為對(duì)角線，同理可得N（﹣3，3）．
答案詳解：解：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入ybx+c得：
，
解得，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y2x﹣6；
（2）過P作PQ∥y軸交BC于Q，如圖：
由B（6，0），C（0，﹣6）可得直線BC解析式為y＝x﹣6，
∵nm2﹣2m﹣6，
∴P（m，m2﹣2m﹣6），則Q（m，m﹣6），（點(diǎn)）
∴PQ＝（m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣6）m2+3m，（線）
∴S△PBCPQ?|xB﹣xC|（m2+3m）×6m2+9m（m﹣3）2，（式）
∵0，
∴m＝3時(shí)，S△PBC取最大值，最大值為，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，△PBC的面積最大，△PBC面積的最大值是；
（3）由（2）知，m＝3，P（3，），
由2x﹣6＝0得x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），點(diǎn)
拋物線y2x﹣6的對(duì)稱軸是直線x2，
設(shè)M（2，p），N（q，q2﹣2q﹣6），點(diǎn)
若PA，MN為對(duì)角線，則PA，MN的中點(diǎn)重合，
∴，（線式）即中點(diǎn)重合
解得，
∴N（﹣1，），
②若PM，AN為對(duì)角線，同理可得，
∴N（7，），
③若PN，AM為對(duì)角線，同理可得，
∴N（﹣3，3），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，）或（7，）或（﹣3，3）．
典例2
如圖，已知直線y＝﹣2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍．求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是直線y＝﹣2x+4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME垂直x軸于點(diǎn)E，在y軸（原點(diǎn)除外）上是否存在點(diǎn)F，使△MEF為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）根據(jù)直線y＝﹣2x+4求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，根據(jù)點(diǎn)P、C的坐標(biāo)求出PD、CD，然后根據(jù)S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD，列式求出△APC的面積，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出△ABQ的點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的值，然后代入拋物線求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)E在x軸上，根據(jù)點(diǎn)M在直線y＝﹣2x+4上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°時(shí)，利用點(diǎn)M到坐標(biāo)軸的距離相等列式求解即可；②∠MFE＝90°時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的長度等于縱坐標(biāo)長度的一半，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
答案詳解：解：（1）令x＝0，則y＝4，
令y＝0，則﹣2x+4＝0，解得x＝2，
所以，點(diǎn)A（2，0），C（0，4），
∵拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x）2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，
又∵C（0，4），點(diǎn)
∴PD，CD4，線
∴S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD
（2）2×4 式
4
，
令y＝0，則﹣2x2+2x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，
∵△ABQ的面積等于△APC面積的4倍，
∴3h＝4，
解得h＝4，
∵4，
∴點(diǎn)Q可以在x軸的上方也可以在x軸的下方，
即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4或﹣4，
當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4時(shí)，﹣2x2+2x+4＝4，
解得x1＝0，x2＝1，
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4）或（1，4），
當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣4時(shí)，﹣2x2+2x+4＝﹣4，
解得x1，x2，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣4）或（，﹣4），
綜上所述，存在點(diǎn)Q（0，4）或（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）；
（3）存在．
理由如下：如圖，∵點(diǎn)M在直線y＝﹣2x+4上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣2a+4），點(diǎn)
∠EMF＝90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，線式
即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），
解得a或a＝4，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），
點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，﹣4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣4）；
∠MFE＝90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a||﹣2a+4|，線式
即a（﹣2a+4），
解得a＝1，
﹣2a+4＝2×1＝2，
此時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），
或a（﹣2a+4），
此時(shí)無解，
綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），
點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，﹣4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣4）；
點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）．

實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練
一．平行四邊形
1．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）先利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出B、C的坐標(biāo)，然后把B、C的坐標(biāo)代入到拋物線解析式中求解即可；
（2）分BC為對(duì)角線和邊兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
答案詳解：解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（0，4），C（4，0），
把點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c得：
，
解之，得，
∴拋物線的解析式為yx2+x+4；
（2）存在．由拋物線yx2+x+4可得對(duì)稱軸是直線x＝1．
∵Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1．
①當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)C的水平距離是4，
∴點(diǎn)Q到點(diǎn)P的水平距離也是4．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是5或﹣3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，）或（﹣3，）；
②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C的水平距離是3，
∴點(diǎn)B到點(diǎn)P的水平距離也是3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）．
綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，）或（﹣3，）或（3，）．
2．已知拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，AB＝4，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，求出△ACE的最大面積和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），則DE＝﹣m2﹣3m，故S△ACE3×（﹣m2﹣3m），進(jìn)而求解；
（3）分BC、BQ、BE分別為平行四邊形的對(duì)角線三種情況，分別求解即可．
答案詳解：解：（1）∵點(diǎn)B（1，0），AB＝4，
∴A（﹣3，0），
將B（1，0），A（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝k'x+b'，
∴，解得，
∴y＝x+3，
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACE3×（﹣m2﹣3m）（m）2，
∴當(dāng)m時(shí)，S△ACE的值最大為，
∴D（，）；
（3）存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2，3），
設(shè)Q（n，t），
①當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
則，解得，
∴Q（3，0）；
②當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
則，解得，
∴Q（﹣1，0）；
③當(dāng)BQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
則，解得，
∴Q（﹣3，6）；
綜上所述：當(dāng)Q點(diǎn)為（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）時(shí)，以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
3．如圖，拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），與x軸交于點(diǎn) A、點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn) C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△BOC的面積；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）由拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）得h，k，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）分BC是平行四邊形邊以及BC是平行四邊形對(duì)角線兩種情況討論，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)以及坐標(biāo)特點(diǎn)即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
答案詳解：解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），
∴h，k，y＝a（x）2，
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)B（2，0），
∴a（2）20，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式：y＝﹣（x）2x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2；
∴C（0，2），
∵B（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC的面積為：2×2＝2；
（3）存在，
∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），
拋物線的對(duì)稱軸x，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
分情況討論：
①當(dāng)BC是平行四邊形邊時(shí)，由于OB＝2，
設(shè)Q（a，b），則|a|＝2，
解得：a或，
當(dāng)a時(shí)，b，
當(dāng)a時(shí)，b，
故Q（，）或（，）；
②當(dāng)BC是平行四邊形對(duì)角線時(shí)，
∵B（2，0），C（0，2），
∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
設(shè)Q（a'，b'），則a'2，
解得：a'，
當(dāng)a'時(shí)，b'，
∴Q（，），
綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）或（，）或（（，）．
二．相似三角形
4．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），過點(diǎn)A的直線y＝﹣x﹣1與該拋物線交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上不與A，B重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的下方，且PE＝2DE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)直線PD為x＝1時(shí)，在直線PD上是否存在點(diǎn)Q，使△ECQ與△EDA相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明你的理由．
試題分析：（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c，解方程即可得出答案；
（2）設(shè)P（x，x2﹣3x﹣4），則E（x，﹣x﹣1），D（x，0），寫出PE，DE的長度，利用PE＝2ED這一等量關(guān)系列出方程即可得出答案；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，由相似三角形的性質(zhì)可分別求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
答案詳解：解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
得，，
解得，，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AC的下方，設(shè)P（x，x2﹣3x﹣4），則E（x，﹣x﹣1），D（x，0），
則PE＝﹣x﹣1﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+2x+3，DE＝x+1，
∵PE＝2ED，
∴﹣x2+2x+3＝2（x+1），
解得，x1＝﹣1（與點(diǎn)A重合，舍去），x2＝1，
∴y＝x2﹣3x﹣4＝12﹣3×1﹣4＝﹣6，
∴P（1，﹣6）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣6）；
（3）存在．
理由如下：∵直線AC和拋物線y＝x2﹣3x﹣4交于A，C兩點(diǎn)，聯(lián)立方程得，
﹣x﹣1＝x2﹣3x﹣4，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，﹣4），
∴AC4，
由直線DP：x＝1和直線AC：y＝﹣x﹣1得，AD＝2，DE＝2，
∴AE2，
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∵∠AED＝∠CEP，要使△QCE與△EDA相似，必有∠EQC＝∠EDA＝90°或∠ECQ＝∠EDA＝90°，
①當(dāng)∠EQC＝∠EDA＝90°時(shí)，
∵AE＝CE＝2，
∴△EQC≌△EDA，
∴EQ＝DE＝2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣4）；
②當(dāng)∠ECQ＝∠EDA＝90°時(shí)，
∵△ECQ∽△EDA，
∴，
∴EQ4，
∴DQ＝DE+EQ＝2+4＝6，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（1，﹣6）時(shí)，△ECQ與△EDA相似．
5．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若PE∥x軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．
試題分析：（1）直接利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后證明Rt△DPE∽R(shí)t△AOC，再由二次函數(shù)的最值性質(zhì)，求出答案；
（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)△AOC∽△APD時(shí)；當(dāng)△AOC∽△DAP時(shí)；分別求出兩種情況的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案．
答案詳解：解：（1）將A（0，3）和B（，）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n，把A（0，3）和B（，）代入，
，
解得，
∴直線AB的解析式為yx+3，
當(dāng)y＝0時(shí)，x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∵PD⊥x軸，PE∥x軸，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽R(shí)t△AOC，
∴，
∴PEPD，
∴PD+PEPD，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（a+3）＝﹣（a）2，
∴PD+PE（a）2，
∵0，
∴當(dāng)a時(shí)，PD+PE有最大值為；
（3）①當(dāng)△AOC∽△DPA時(shí)，
∵PD⊥x軸，∠DPA＝90°，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3，橫坐標(biāo)x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
∵PD⊥x軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
②當(dāng)△AOC∽△DAP時(shí)，
此時(shí)∠APG＝∠ACO，
過點(diǎn)A作AG⊥PD于點(diǎn)G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+3），
則，
解得：m，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝2OA．過點(diǎn)A的直線y＝x+4與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥AE于點(diǎn)H．
（1）拋物線的表達(dá)式中，a＝ ，b＝ ﹣1 ；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，若PH取得最大值，求這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上求點(diǎn)Q，使以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．
試題分析：（1）根據(jù)直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)OB＝2OA求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣8得到方程組，解方程組求出a、b的值即可；
（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸交直線y＝x+4于點(diǎn)F，由（1）得拋物線的表達(dá)式為，設(shè)，到得PF關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出PH的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則∠PGA＝90°，先證明∠BAP＝∠BAE＝45°，再求出AP、AE的長；A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似分兩種情況，一是∠AQP＝∠ABE時(shí)，△AQP∽△ABE，二是∠AQP＝∠ABE時(shí)，△AQP∽△ABE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出AQ的長，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
答案詳解：解：（1）直線y＝x+4，當(dāng)y＝0時(shí)，則x+4＝0，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），OA＝4，
∴OB＝2OA＝8，
∴B（8，0），
把A（﹣4，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx﹣8，
得，
解得，
所以答案是：，﹣1；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PF⊥x軸交直線y＝x+4于點(diǎn)F，
由（1）得拋物線的表達(dá)式為yx2﹣x﹣8，
設(shè)P（x，x2﹣x﹣8）（0＜x＜8，則F（x，x+4），
∴PF＝（x+4）﹣（x2﹣x﹣8x2+2x+12）（x﹣4）2+16，
當(dāng)x＝4時(shí)PF取得最大值，且最大值為16，
此時(shí)，
∵42﹣4﹣8＝﹣8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣8），
∴當(dāng)x＝4時(shí)，PH的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣8）；
（3）如圖2，作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則∠PGA＝90°，G（4，0），
∴AG＝PG＝8，
∴∠BAP＝∠BAE＝45°，
∵yAE＝x+4拋物線yx2﹣x﹣8，
∴E（12，16），
∴，
當(dāng)∠AQP＝∠ABE時(shí)，△AQP∽△ABE，
∴，
∵AB＝8﹣（﹣4）＝12，
∴AQ6，
∴xQ＝﹣4+6＝2，
∴Q（2，0）；
如圖3，當(dāng)∠APQ＝∠ABE時(shí)，△APQ∽△ABE，
∴，
∴，
∴xQ＝﹣4，
∴，
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）或．
三．面積關(guān)系
7．如圖，拋物線y＝﹣（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（3，0）及C點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)自變量x滿足 0≤x≤3 時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值不大于二次函數(shù)的函數(shù)值．
（3）在直線AC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△ACP＝S△ACB？（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合）若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出m的值，將x＝0代入拋物線解析式可得點(diǎn)C坐標(biāo)，由點(diǎn)A，C坐標(biāo)可得直線解析式．
（2）由拋物線開口方向及直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)求解．
（3）由拋物線對(duì)稱性求出點(diǎn)B坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，求出直線BP解析式，進(jìn)而求解．
答案詳解：解：（1）將（3，0）代入y＝﹣（x﹣2）2+m得0＝﹣1+m，
解得m＝1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+1，
將x＝0代入y＝﹣（x﹣2）2+1得y＝﹣3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3），
將（3，0），（0，﹣3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為y＝x﹣3．
（2）由圖象可得圖象在A，C之間的部分拋物線在直線上方，
∴0≤x≤3時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值不大于二次函數(shù)的函數(shù)值
所以答案是：0≤x≤3．
（3）存在，理由如下，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，﹣3），
過點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，連接AP，CP，
設(shè)直線BP解析式為y＝x+b，
將（4，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝4+b，
解得b＝﹣7，
∴直線BP解析式為y＝x﹣7，
令﹣（x﹣2）2+1＝x﹣7，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
將x＝﹣1代入y＝x﹣7得y＝﹣8，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，﹣8）．
8．如圖，拋物線y＝ax2+x+c交y軸于點(diǎn)A（0，2），交x軸于點(diǎn)B（﹣1，0）及點(diǎn)C．
（1）填空：a＝ ﹣1 ，c＝ 2 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （2，0） ；
（2）把△ABO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′B'O'（其中點(diǎn)A與A′，B與B′分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），當(dāng)△A′B'O'恰好有兩點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P（m，n）是位于x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，△PAB的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，△PBC的面積記為S3，若滿足S1+S2＝S3，求m的值．
試題分析：（1）用待定系數(shù)法求解即可得出答案；
（2）畫出圖形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及拋物線的對(duì)稱性質(zhì)可求出答案；
（3）連接BP交y軸于點(diǎn)M，過P點(diǎn)作PE⊥x軸，交AC于N，則E（m，0），求出BP和AC的解析式，根據(jù)S1+S2＝S3得出方程，解方程可得出答案．
答案詳解：解：（1）將A（0，2），B（﹣1，0）代入y＝ax2+x+c得，
，解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，即﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∵點(diǎn)C在正半軸，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）；
所以答案是：﹣1，2，（2，0）；
（2）如圖所示，
由（1）知，OB＝1，OA＝OC＝2，
∴A'B'，
∵△AOB繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，
①當(dāng)A1、O1在拋物線上時(shí)，A1O1∥x軸且A1O1＝AO＝2，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得A'點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴A'（，）；
②當(dāng)A1、B1在拋物線上時(shí)，不存在．
∴A'（，）；
（3）連接BP交y軸于點(diǎn)M，過P點(diǎn)作PE⊥x軸，交AC于N，則E（m，0），
∴S1＝S△PAB＝S△ABM+S△PAM，S2＝S△PAC＝S△PAN+S△PNC，
設(shè)直線BP為y＝kx+t，將B（﹣1，0），P（m，﹣m2+m+2）代入得，
，
解得：，
∴y＝（2﹣m）x+2﹣m，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2﹣m，
∴M（0，2﹣m），
設(shè)直線AC為y＝lx+s，
將A（0，2），C（2，0）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣x+2，
當(dāng)x＝m時(shí)，y＝﹣m+2，
∴N（m，2﹣m），
∴S△ABMAM?OB，
S△PAMAM?OE，
S△PANOE?PN，
S△PNC，
S△PBCPE?BC，
∴S1+S2，
∴，
解得：m或；
故m的值為或．
9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于C，OA＝OC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．
試題分析：（1）根據(jù)OA＝OC，可求c；再依據(jù)對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），可求a、b，即得求拋物線解析式．
（2）可求△BOC的面積，根據(jù)S△POC＝4S△BOC，可求P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）求出直線AC解析式，設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），則點(diǎn)D（m，m2+2m﹣3），根據(jù)二次函數(shù)的最值求法，可求QD的最大值．
答案詳解：解：（1）令x＝0，則y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），
根據(jù)題意得：，
解之：．
∴拋物線解析式y(tǒng)＝x2+2x﹣3．
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴點(diǎn)C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴S△BOCOB×OC，
設(shè)P（x，x2+2x﹣3），
∴S△POC3×|x|，
∵S△POC＝4S△BOC，
∴|x|＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），
∴直線AC解析式y(tǒng)＝﹣x﹣3，
∴設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
則點(diǎn)D（m，m2+2m﹣3），
∴QD＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m）2，
∴當(dāng)m時(shí)，QD的最大值為 ．
四．等腰三角形
10．如圖，已知拋物線y＝mx2+4x+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線y＝x﹣3經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為M，在該拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使得以C，M，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）求出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)P（2，t），分別求出MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP，再分三種情況討論：①當(dāng)MP＝MC時(shí)，②當(dāng)MP＝CP時(shí)，|③當(dāng)MC＝CP時(shí)，分別求出t的值即可求解．
答案詳解：解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，則x＝3，
∴B（3，0），
將C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在點(diǎn)P，使得以C，M，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴M（2，1），對(duì)稱軸為直線x＝2，
設(shè)P（2，t），
∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP，
①當(dāng)MP＝MC時(shí)，|t﹣1|＝2，
∴t＝21或t＝﹣21，
∴P（2，21）或（2，﹣21）；
②當(dāng)MP＝CP時(shí)，|t﹣1|，
解得t，
∴P（2，）；
③當(dāng)MC＝CP時(shí)，2，
解得t＝1（舍）或t＝﹣7，
∴P（2，﹣7）；
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，21）或（2，﹣21）或（2，）或（2，﹣7）．
11．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝1．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）D是對(duì)稱軸上一點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
試題分析：（1）由對(duì)稱軸可求b＝2，再將A點(diǎn)代入y＝﹣x2+2x+c，可求拋物線的解析式；
（2）設(shè)D（1，t），由題意分兩種情況討論：①當(dāng)AC＝AD時(shí)，D（1，）；②當(dāng)CD＝AD時(shí)，D（1，1）．
答案詳解：解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
∴﹣1﹣2+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3）；
（2）設(shè)D（1，t），
①當(dāng)AC＝AD時(shí)，，
解得t＝±，
∵D點(diǎn)在第一象限內(nèi)，
∴t，
∴D（1，）；
②當(dāng)CD＝AD時(shí)，，
解得t＝1，
∴D（1，1）；
綜上所述：D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）或（1，1）．
12．已知拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A（﹣3，0），B（8，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足為Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如圖2，將直線BC沿y軸向下平移5個(gè)單位，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N．過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線MN于點(diǎn)D，是否存在一點(diǎn)P，使△BMD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求出拋物線解析式；
（2）由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝﹣x+8（0＜x＜8），設(shè)P（m，m+8），則D（m，﹣m+8），E（m，0），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列出關(guān)于m的方程可得出答案；
（3）分三種情況：①當(dāng)MB＝MD時(shí)，②當(dāng)MB＝BD時(shí)，③當(dāng)MD+BD時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于m的方程可得出答案．
答案詳解：解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A（﹣3，0），B（8，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得，，
∴拋物線的解析式為yx2x+8；
（2）∵拋物線的解析式為yx2x+8，
令x＝0，y＝8，
∴C（0，8），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+8（0＜x＜8），
設(shè)P（m，m+8），則D（m，﹣m+8），E（m，0），
∴BD（8﹣m），
又PDm+8﹣（﹣m+8）m，
∵△PQD≌△BED，
∴PD＝BD，
∴（8﹣m）m，
解得，m1＝3，m2＝8（舍去），
∴m的值為3；
（3）由（2）可知直線BC的解析式為y＝﹣x+8，向下平移5個(gè)單位得到y(tǒng)＝﹣x+3，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，
∴M（3，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴N（0，3），
由題意得PD⊥MB，
∵M(jìn)B＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），
∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，
若△BMD是等腰三角形，可分三種情況：
①當(dāng)MB＝MD時(shí)，
∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，
解得m1＝3，m2＝3，
②當(dāng)MB＝BD時(shí)，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，
解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），
③當(dāng)MD+BD時(shí)，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得，m＝5.5．
綜上所述，m的值為3或3或5.5時(shí)，△BMD是等腰三角形．
13．如圖，直線y＝x+4與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B、P、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）先由直線y＝x+4與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c列方程組，解方程組求出b，c的值即可；
（2）分兩種情況，一是△BPD是等腰直角三角形，點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)E，根據(jù)BP與x軸成45°角求出直線BP的函數(shù)表達(dá)式且與拋物線的函數(shù)表達(dá)式組成方程組，解方程組即可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；二是△BPD是等腰直角三角形，點(diǎn)P在x軸的下方，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)F，根據(jù)BP與x軸成45°角求出直線BP的函數(shù)表達(dá)式且與拋物線的函數(shù)表達(dá)式組成方程組，解方程組即可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
答案詳解：解：（1）直線y＝x+4，當(dāng)y＝0時(shí)，則x+4＝0，
解得x＝﹣4；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，
∴A（﹣4，0），C（0，4），
把（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）存在，
拋物線y＝﹣x2﹣3x+4，當(dāng)y＝0時(shí)，則﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
設(shè)直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，
如圖1，△BPD是等腰直角三角形，點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)E，
∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠OEB＝45°，
∴OE＝OB＝1，
∴E（0，1），
把B（1，0），E（0，1）代入y＝mx+n，
得，
解得，
∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+1，
由得，，
∴P（﹣3，4）；
如圖2，△BPD是等腰直角三角形，點(diǎn)P在x軸的下方，設(shè)BP交y軸于點(diǎn)F，
∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
∴OF＝OB＝1，
∴F（0，﹣1），
把B（1，0），F(xiàn)（0，﹣1）代入y＝mx+n，
得，
解得，
∴直線BP的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1，
由得，，
∴P（﹣5，﹣6），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，4）或（﹣5，﹣6）．
五．等腰直角三角形
14．如圖，直線y＝x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C（2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）如圖，設(shè)P（t，t2﹣2t+6），則D（t，t+6），E（﹣t﹣4，t2﹣2t+6），進(jìn)而可得：PDt2﹣2t+6﹣（t+6）t2﹣3t，PE＝|t﹣（﹣t﹣4）|＝|2t+4|，根據(jù)PD＝PE，建立方程求解即可得出答案．
答案詳解：解：（1）∵直線y＝x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（﹣6，0），B（0，6），
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣6，0），B（0，6），C（2，0）三點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)x2﹣2x+6；
（2）存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形．
如圖，設(shè)P（t，t2﹣2t+6），則D（t，t+6），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，
∴E（﹣t﹣4，t2﹣2t+6），
∴PDt2﹣2t+6﹣（t+6）t2﹣3t，PE＝|t﹣（﹣t﹣4）|＝|2t+4|，
∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
∴t2﹣3t＝|2t+4|，
解得：t＝﹣5±或t＝﹣4或t＝2，
∵點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴﹣6＜t＜0，
∴t＝﹣5或﹣4，
∴P1（﹣4，6），P2（﹣5，﹣5+3）．
15．拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸為直線x＝1．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x＝﹣1上，△BPQ能否成為以∠BPQ為直角的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），由對(duì)稱軸可得b＝﹣2a，再將點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線解析式即可求解；
（2）過點(diǎn)P作x軸垂線交于M，過點(diǎn)P作直線x＝﹣1的垂線交于點(diǎn)N，能證明△PQN≌△PBM（AAS），設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則可得t+1＝﹣t2+2t+3，即可求P（2，3）．
答案詳解：解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
將點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）△BPQ能成為以∠BPQ為直角的等腰直角三角形，理由如下：
過點(diǎn)P作x軸垂線交于M，過點(diǎn)P作直線x＝﹣1的垂線交于點(diǎn)N，
∵∠QPB＝90°，
∴∠BPM+∠QPM＝90°，∠NPQ+∠QPM＝90°，
∴∠NPQ＝∠BPM，
∵PQ＝PB，
∴△PQN≌△PBM（AAS），
∴PM＝PN，
設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），
∴t+1＝﹣t2+2t+3，
解得t＝﹣1（舍）或t＝2，
∴P（2，3）．
16．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），P為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，連接PC，PB．
（1）求拋物線的解析式．
（2）△CPB的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
（3）Q為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，D為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若△CQD是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
試題分析：（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）證明△EQC≌△FDQ（AAS），則CE＝QF，進(jìn)而求解．
答案詳解：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣h）2+k，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4．
將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，解得a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）有最大值，如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交BC于點(diǎn)K．
將y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴，解得，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），則點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m﹣3），
∴PK＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）．
過點(diǎn)C作CN⊥PK于點(diǎn)N．
∵，
∴，
故當(dāng)時(shí)，△CPB的面積有最大值，最大值為，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）如圖2，過點(diǎn)Q作x軸的平行線，分別交y軸、對(duì)稱軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a2﹣2a﹣3）．
∵∠CQE+∠DQF＝∠DQF+∠QDF＝90°，
∴∠CQE＝∠FDQ．
在△EQC和△FDQ中，
∴△EQC≌△FDQ（AAS），
∴CE＝QF．
∵CE＝﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+2a，QF＝1﹣a，
∴1﹣a＝﹣a2+2a，
解得（此時(shí)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸的右側(cè)），（此時(shí)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸的左側(cè)），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
六．綜合類
17．如圖，點(diǎn)A（4，3），二次函數(shù)yx2+x+3的圖象頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、C兩點(diǎn)重合）．
（1）直接寫出頂點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若直線BE將四邊形ACOD分成周長相差為4的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖，連接DE，作矩形DEFG，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F也恰好落在二次函數(shù)的圖象上？若存在，求出此時(shí)AE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．
試題分析：（1）由y（x﹣2）2+4，可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，再令x＝0，可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)BE與x軸交于點(diǎn)F，設(shè)E（t，3），求出直線BE的解析式，可求F（4t﹣6，0），當(dāng)四邊形COFE的周長比四邊形EFDA的周長大4時(shí)，CE+OF﹣AE﹣FD＝4，此時(shí)E（，3）；當(dāng)四邊形COFE的周長比四邊形EFDA的周長小4時(shí)，AE+FD﹣CE﹣OF＝4，此時(shí)E（，3）；
（3）過點(diǎn)F作MN∥y軸，過點(diǎn)C作NC⊥MN交于N點(diǎn)，過點(diǎn)G作GM⊥MN交于M點(diǎn)，設(shè)E（t，3），分別證明△AED≌△MGF（AAS），△EFN≌△DGO（AAS），△NEF∽△MFG，從而求出F（t﹣4，t），再將點(diǎn)F代入yx2+x+3，求出E（，3），則可求AE的長．
答案詳解：解：（1）∵yx2+x+3（x﹣2）2+4，
∴B（2，4），
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3）；
（2）設(shè)BE與x軸交于點(diǎn)F，
∵A（4，3），C（0，3），
∴AC＝4，OC＝3，
設(shè)E（t，3），
∴CE＝t，AE＝4﹣t，
設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
∴F（4t﹣6，0），
∴OF＝4t﹣6，F(xiàn)D＝4﹣4t+6＝10﹣4t，
當(dāng)四邊形COFE的周長比四邊形EFDA的周長大4時(shí)，
∴CE+OF﹣AE﹣FD＝4，
∴t﹣（4﹣t）+4t﹣6﹣10+4t＝10t﹣20＝4，
解得t，
∴E（，3）；
當(dāng)四邊形COFE的周長比四邊形EFDA的周長小4時(shí)，
∴AE+FD﹣CE﹣OF＝4，
∴（4﹣t）+10﹣4t﹣t﹣（4t﹣6）＝4，
解得t，
∴E（，3）；
綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）或（，3）；
（3）存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F也恰好落在二次函數(shù)的圖象上，理由如下：
過點(diǎn)F作MN∥y軸，過點(diǎn)C作NC⊥MN交于N點(diǎn)，過點(diǎn)G作GM⊥MN交于M點(diǎn)，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠FED＝∠EFG＝90°，
∵∠NEF+∠AED＝90°，∠NEF+∠NFE＝90°，
∴∠NEF＝∠EDA，
∵∠NFE+∠MFG＝90°，∠NFE+∠NEF＝90°，
∴∠MFG＝∠NEF，
∴∠MFG＝∠EDA，
∵ED＝FG，
∴△AED≌△MGF（AAS），
∴AE＝MG，AD＝FM，
設(shè)E（t，3），
∴AE＝4﹣t＝MG，AD＝3＝FM，
同理△EFN≌△DGO（AAS），
∴NF＝OG，NE＝OD，
∵OD＝4，
∴NE＝4，
∴F點(diǎn)橫坐標(biāo)為t﹣4，
∵△NEF∽△MFG，
∴，即，
∴NF（4﹣t），
∴F（t﹣4，t），
∵F點(diǎn)在拋物線上，
∴t（t﹣4）2+t﹣4+3，
解得t＝4或t，
∴E（，3），
∴AE＝4．
18．如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），已知AB＝4，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)P在拋物線上，且S△PBC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
試題分析：（1）由題意得拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），由題意得x2﹣x1＝4，得出b2+12＝16，求出b＝2，則可得出答案；
（2）分兩種情況：①若OA為邊，②若OA為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案；
（3）由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y＝3x﹣3，過點(diǎn)O作OP∥BC交拋物線于P，則S△OBC＝S△PBC，直線OP的解析式為y＝3x，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，解方程組可得出答案．
答案詳解：解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，
設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
由題意得x2﹣x1＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
∴b＝2，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；
（2）存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形．
∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0時(shí)，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA為邊，
∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在對(duì)稱軸x＝﹣1上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或﹣4，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA為對(duì)角線時(shí)，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
∴OA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），
∵N在直線x＝﹣1上，
設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，
∴，
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
綜上所述，M的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
∴S△OBC，
∴S△OBC＝S△PBC，
設(shè)BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝3x﹣3，
過點(diǎn)O作OP∥BC交拋物線于P，則S△OBC＝S△PBC，直線OP的解析式為y＝3x，
∴，
解得，，
∴P（，）或（，）．

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