典例分析：
典例1
如圖，拋物線y＝ax2+2x+c．與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C（0，3），直線y＝﹣x﹣1經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是位于直線AD上方的拋物線上的一個動點，連接PA，PD，求△PAD的面積的最大值．
解題思路：：（1）根據(jù)y＝﹣x﹣1經(jīng)過點A，可求出點A的坐標(biāo)，將點A、C的坐標(biāo)代入y＝ax2+2x+c即可求出拋物線的解析；
（2）聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得點D的坐標(biāo)，過點P作PE∥y軸，交AD于E，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則E（t，﹣t﹣1）（點），表示PE的長（線），根據(jù)三角形面積公式可得△APD的面積(式)，配方后可得結(jié)論．
答案詳解：解：（1）∵直線y＝﹣x﹣1經(jīng)過點A，
∴令y＝0，則0＝﹣x﹣1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
將A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，﹣5），
過點P作PE∥y軸，交AD于E，
設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則E（t，﹣t﹣1），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，
∴△PAD的面積?PE?（4+1）（﹣t2+3t+4）（t）2，
當(dāng)t時，△PAD的面積最大，且最大值是．
典例2
如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），一次函數(shù)y＝kx+1的圖象經(jīng)過點B和二次函數(shù)圖象上另一點A．其中點A的坐標(biāo)為（4，3）．
（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若拋物線上的點P在第四象限內(nèi)，過點P作x軸的垂線PQ，交直線AB于點Q，求線段PQ的最大值．
解題思路：（1）先把A點坐標(biāo)代入y＝kx+1可求出k，從而得到一次函數(shù)解析式為yx+1，則易得B（﹣2，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，設(shè)P（x，x2x﹣3），Q（x，x+1），（點）則PQx+1﹣（x2x﹣3），（線）把解析式配成頂點式得到PQ（x﹣1）2，（式）然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求PQ的最大值．
答案詳解：解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
解得：k，
∴一次函數(shù)解析式為yx+1，
當(dāng)y＝0時，x+1＝0，
解得x＝﹣2，
則B（﹣2，0），
把B（﹣2，0），A（4，3）代入yx2+bx+c得：
2，
解得：
∴拋物線解析式為yx2x﹣3；
（2）設(shè)P（x，x2x﹣3），則Q（x，x+1），
∴PQx+1﹣（x2x﹣3）
x2+x+4
（x﹣1）2，
∴當(dāng)x＝1時，PQ最大，最大值為．
實戰(zhàn)訓(xùn)練
一．線段最值--縱橫差與改邪歸正
1．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．若點P是線段BC上的動點，過點P作直線PM∥y軸，交拋物線于點M．求線段PM的最大值．
2．如圖，已知拋物線的解析式為yx2x+3，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交點于點C．
（1）請分別求出點A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；
（2）連接AC、BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、C的對應(yīng)點分別為M、N，求點M、N的坐標(biāo)；
（3）若點P為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出使|NP﹣BP|最大時點P的坐標(biāo)，并請直接寫出|NP﹣BP|的最大值．
3．如圖，已知二次函數(shù)yx2﹣x的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求直線BC的函數(shù)表達式；
（3）若D是線段OB上一個動點，過D作x軸的垂線交直線BC于E點，交拋物線于F點，求線段EF的最大值．
4．如圖：對稱軸x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（﹣3，0），且點（2，5）在拋物線y＝ax2+bx+c上．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點C為拋物線與y軸的交點．
①在對稱軸直線x＝﹣1上找到一點P，使得△PBC的周長最小，求出P點的坐標(biāo)．
②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．
5．如圖1，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B點，與y軸交于點C（0，2）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝∠ACO，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點D是在直線BC上方的拋物線的一點，作DE⊥BC于點E，求線段DE的最大值．
6．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c．與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C（0，3），直線y＝﹣x﹣1經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是位于直線AD上方的拋物線上的一個動點，連接PA，PD，求△PAD的面積的最大值；
（3）在第（2）問的條件下，求點P到直線AD的最大值．
7．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B（1，0），與y軸交于D（0，3），直線與拋物線交于B、C兩點，其中C（﹣2，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥BC，拋物線上是否存在一點P使得線段PE最大，若存在，請求出點P的坐標(biāo)和線段PE的最大值，若不存在，請說明理由．
二．面積最值--改邪歸正縱橫積
8．如圖，已知拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標(biāo)為（1，0），OC＝3OB．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求△ACD面積的最大值．
9．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點P的坐標(biāo)．
10．已知，拋物線y＝x2+2x﹣3，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，拋物線的頂點為點D．
（1）求AB的長度和點D的坐標(biāo)；
（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，求出PB+PC的值最小時P點的坐標(biāo)；
（3）點M是第三象限拋物線上一點，當(dāng)S△MAC最大時，求點M的坐標(biāo)，并求出S△MAC的最大值．
11．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝2mx+n與x軸交于點A（﹣1，0），若拋物線y＝﹣x2+（m+n）x+n+2的頂點為M．
（1）當(dāng)拋物線也經(jīng)過點A（﹣1，0）時，求頂點M的坐標(biāo)；
（2）說明直線與拋物線有兩個交點；
（3）在（1）的條件下，拋物線與x軸的另一交點為B，與y軸交于點C，連接BC，點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接AD，與BC，y軸分別交于點E，F(xiàn)，記△DBE，△CEF的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值．
12．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）若拋物線交y軸于點C，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）在拋物線第二象限的圖象上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)和△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．
13．如圖，二次函數(shù)ybx+c經(jīng)過點B（4，0）和點E（﹣2，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為A．點D是線段BE上的動點，過點D作DF⊥BE，交y軸于點F，交拋物線于點P．
（1）求出拋物線和直線BE的解析式；
（2）當(dāng)△FDC≌△BOC時，求出此時點D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
①請寫出線段PD的長度為（用含m的式子表示）；
②當(dāng)m為何值時，線段PD有最大值，并寫出其最大值為多少？注：①②直接寫出結(jié)果即可．
14．已知，如圖，拋物線與x軸交點坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），
（1）如圖1，已知頂點坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；
（2）如圖2，在拋物線的對稱軸DH上求作一點M，使△ABM的周長最小，并求出點M的坐標(biāo)；
（3）如圖3，將圖2中的對稱軸向左移動，交x軸于點P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點分別為點E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長度，并求出當(dāng)m為何值時，線段EF最長．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在直線AC上方的拋物線上，當(dāng)四邊形PCOA的面積最大時，求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）過動點P作PE垂直于y軸于E，交直線AC于D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，求線段EF的最小值．

相關(guān)試卷

2025年中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)練習(xí) 重難點05 二次函數(shù)與幾何的動點及最值 存在性問題（2份，原卷版+解析版）：

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)練習(xí) 重難點05 二次函數(shù)與幾何的動點及最值 存在性問題（2份，原卷版+解析版），文件包含2025年中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)專題重難點05二次函數(shù)與幾何的動點及最值存在性問題原卷版docx、2025年中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)專題重難點05二次函數(shù)與幾何的動點及最值存在性問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共169頁， 歡迎下載使用。

人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專題05二次函數(shù)中線段最值的三種考法(原卷版+解析)：

這是一份人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專題05二次函數(shù)中線段最值的三種考法(原卷版+解析)，共42頁。試卷主要包含了單線段轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，將軍飲馬型最值問題，胡不歸最值問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題05 函數(shù)動點最值之線段與面積-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末分類復(fù)習(xí)滿分沖刺（蘇科版）：

這是一份專題05 函數(shù)動點最值之線段與面積-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末分類復(fù)習(xí)滿分沖刺（蘇科版），文件包含專題05函數(shù)動點最值之線段與面積原卷版docx、專題05函數(shù)動點最值之線段與面積解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題13 動點最值之隱圓模型（講+練）（原卷版）-2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)與訓(xùn)練

專題13 動點最值之隱圓模型（講+練）（原卷版）-2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)與訓(xùn)練
蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末專題05 函數(shù)動點最值之線段與面積

蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末專題05 函數(shù)動點最值之線段與面積
專題11 動點最值（原卷版）-2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)與訓(xùn)練

專題11 動點最值（原卷版）-2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項復(fù)習(xí)與訓(xùn)練
【精品】中考數(shù)學(xué)備考 專題1.1 幾何圖形中的動點最值問題（原卷版+解析版）

【精品】中考數(shù)學(xué)備考 專題1.1 幾何圖形中的動點最值問題（原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部