學(xué)生用書P2431. n 重伯努利試驗(yàn)(1)定義：把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重 復(fù)進(jìn)行 n 次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為 n 重伯努利試驗(yàn).(2)特征：a.同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做 n 次；b.各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.
2. 二項(xiàng)分布(1)定義：一般地，在 n 重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的概率為 p (0＜ p ＜1)，用 X 表示事件 A 發(fā)生的次數(shù)，則 X 的分布列為 P ( X ＝ k )＝① ， k ＝0，1，2，…， n .如果隨機(jī)變量 X 的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布，記作② .特別地，當(dāng) n ＝1時(shí)，此時(shí)的二項(xiàng)分布為兩點(diǎn)分布.(2)期望與方差：若 X ～ B ( n ， p )，則 E ( X )＝③ ， D ( X )＝④ ?.
X ～ B ( n ， p )　
np (1－ p )　
3. 超幾何分布(1)定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有 N 件，其中有 M 件次品.從 N 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 X 的分布列為 P ( X ＝ k )＝ ⑤ ， k ＝ m ， m ＋1， m ＋2，…， r .其中 n ， N ， M ∈N*， M ≤ N ， n ≤ N ， m ＝max{0， n － N ＋ M }， r ＝min{ n ， M }.如果隨機(jī)變量 X 的分布列具有 上式的形式，那么稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布.(2)期望： E ( X )＝⑥ ?.注意　 二項(xiàng)分布是有放回抽取問題，超幾何分布是不放回抽取問題.
X ～ N (μ，σ2)　
f.當(dāng)μ取定值時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越小，曲線越“? ”，表示總體的 分布越? ；σ越大，曲線越“? ”，表示總體的分布越? ?，如圖2所示.
說明　從圖1，圖2可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的 分布相對于均值μ的離散程度.
(3)正態(tài)分布三個(gè)常用數(shù)據(jù) P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.說明　在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布 N (μ，σ2)的隨機(jī)變量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.(4)正態(tài)分布的期望與方差：若 X ～ N (μ，σ2)，則 E ( X )＝? ， D ( X )＝? ?.
1. 下列說法錯(cuò)誤的是 (　A　)
2. [多選]若袋子中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球(球除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別)，現(xiàn)從 袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記1分，取到黑球記0分， 記4次取球的總分?jǐn)?shù)為 X ，則(　BCD　)
3. 已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N (3，1)，且 P ( X ＞2 c －1)＝ P ( X ＜ c ＋3)，則 c ＝ ?.
4. [教材改編]生產(chǎn)方提供一批產(chǎn)品50箱，其中有2箱不合格產(chǎn)品.采購方接收該批產(chǎn)品 的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收 該批產(chǎn)品.則該批產(chǎn)品被接收的概率是 ?.
(2)為了解觀眾對2023年央視春晚小品節(jié)目《坑》的評價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10位觀眾 對其打分(滿分10分)，得到如下表格：
①求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；
[解析]?、賹⑦@組數(shù)據(jù)從小到大排列，為7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1， 9.5，9.9，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.
②將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機(jī)抽取3人對節(jié)目《坑》進(jìn)行評價(jià)，記抽取的3人 中評分超過9.0的人數(shù)為 X ，求 X 的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.
(注意根據(jù)分布列中所有可能取值的概率之和為1檢驗(yàn)所求的分布列是否正確)所以 E ( X )＝3×0.3＝0.9， D ( X )＝3×0.3×0.7＝0.63.
方法技巧二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵1. 定型(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.
2. 定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù) n 和 p ，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生 的概率.
所以隨機(jī)變量 X 的分布列為
(2)設(shè) M 為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7： 30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件 M 發(fā)生的概率.
(2)若學(xué)生丙從8道備選題中隨機(jī)抽取2道作答，以 X 表示其中丙能答對的題數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
方法技巧1. 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).
2. 超幾何分布的特征是：(1)考查對象分兩類；(2)已知各類對象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽 取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù) X 的概率分布.
3. 超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古 典概型.
訓(xùn)練2 [天津高考]已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn) 采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？
[解析]　(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2.由于采用分層 隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3 人，2人，2人.
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一 步的身體檢查.(i)用 X 表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii)設(shè) A 為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求 事件 A 發(fā)生的概率.
命題點(diǎn)3　正態(tài)分布及其應(yīng)用例3 (1)[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布 N (10，σ2)，則下列結(jié)論 中不正確的是(　D　)
[解析]　設(shè)該物理量一次測量結(jié)果為 X ，對于A，σ越小，說明數(shù)據(jù)越集中在10附 近，所以 X 落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，所以選項(xiàng)A正確；對于B，根據(jù)正態(tài)曲線 的對稱性可得， P ( X ＞10)＝0.5，所以選項(xiàng)B正確；對于C，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性 可得， P ( X ＞10.01)＝ P ( X ＜9.99)，所以選項(xiàng)C正確；對于D，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱 性可得， P (9.9＜ X ＜10.2)－ P (10＜ X ＜10.3)＝ P (9.9＜ X ＜10)－ P (10.2＜ X ＜ 10.3)，又 P (9.9＜ X ＜10)＞ P (10.2＜ X ＜10.3)，所以 P (9.9＜ X ＜10.2)＞ P (10＜ X＜10.3)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.
(2)某工廠制造的某種機(jī)器零件的尺寸 X (單位：mm)近似服從正態(tài)分布 N (100， 0.01)，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10 000個(gè)零件，尺寸在[99.8，99.9]內(nèi)的個(gè)數(shù)約為(附：若隨機(jī) 變量 X ～ N (μ，σ2)，則 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋ 2σ)≈0.954 5) (　B　)
方法技巧解決正態(tài)分布問題的思路1. 把給出的區(qū)間或范圍與參數(shù)μ，σ進(jìn)行對比計(jì)算，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ －2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個(gè).
2. 利用正態(tài)曲線的對稱性轉(zhuǎn)化所求概率，常用結(jié)論如下：
(1) P ( X ≥μ)＝ P ( X ＜μ)＝0.5；
(2)對任意的 a ，有 P ( X ＜μ－ a )＝ P ( X ＞μ＋ a )；
(3) P ( X ＜ x 0)＝1－ P ( X ≥ x 0)；
(4) P ( a ＜ X ＜ b )＝ P ( X ＜ b )－ P ( X ≤ a ).
訓(xùn)練3 (1)[2022新高考卷Ⅱ]已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N (2，σ2)，且 P (2＜ X ≤2.5) ＝0.36，則 P ( X ＞2.5)＝ ?.
[解析]　因?yàn)?X ～ N (2，σ2)，所以 P ( X ＞2)＝0.5，所以 P ( X ＞2.5)＝ P ( X ＞2)－ P (2＜ X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
(2)[2023廣州市階段測試]某品牌手機(jī)的電池使用壽命 X (單位：年)服從正態(tài)分布， 且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為0.1，則該品牌手 機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為 ?.
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè) 數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求 n 的范圍.
隨機(jī)變量 Y 的分布列為
3. [命題點(diǎn)3/2023四省聯(lián)考]某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布 N (100，σ2). 質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到95.45％，則 需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得σ至多為 .(若 X ～ N (μ，σ2)，則 P (｜ X －μ｜＜ 2σ)≈0.954 5)
學(xué)生用書·作業(yè)幫P393
3. [2024貴州貴陽一中模擬]若隨機(jī)變量 X ～ N (10，22)，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是 (　D　)
[解析]　根據(jù)隨機(jī)變量 X ～ N (10，22)可知μ＝10，σ＝2，所以 P ( X ≥10)＝0.5，故A 正確， P ( X ≤8)＋ P ( X ≤12)＝ P ( X ≥12)＋ P ( X ≤12)＝1，故B正確， P (8≤ X≤12)＝2 P (8≤ X ≤10)，C正確， D (2 X ＋1)＝4 D ( X )＝16，故D錯(cuò)誤，故選D.
4. [2024河北邢臺模擬]若 X ～ B (16， p )(0＜ p ＜1)，且 D ( aX )＝16，則(　B　)
5. 孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題之一，該問題可以直觀描 述為：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù) p ，使得 p ＋2是素?cái)?shù).素?cái)?shù)對( p ， p ＋2)稱為孿生素?cái)?shù).從8 個(gè)數(shù)對(3，5)，(5，7)，(7，9)，(9，11)，(11，13)，(13，15)，(15，17)，(17，19) 中任取3個(gè)，設(shè)取出的孿生素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為 X ，則 E ( X )＝(　C　)
7. 已知某科技公司員工發(fā)表論文獲獎(jiǎng)的概率都為 p ，且各員工發(fā)表論文是否獲獎(jiǎng)相 互獨(dú)立.若 X 為該公司的6名員工發(fā)表論文獲獎(jiǎng)的人數(shù)， D ( X )＝0.96， E ( X )＞2，則 p ＝ ?.
9. [2024云南昆明模擬]某商場在周年慶活動期間為回饋新老顧客，采用抽獎(jiǎng)的形式 領(lǐng)取購物卡.該商場在一個(gè)紙箱里放15個(gè)小球(除顏色外其余均相同)，包括3個(gè)紅球、 5個(gè)黃球和7個(gè)白球.每個(gè)顧客均不放回地從15個(gè)小球中拿3次，每次拿1個(gè)球，每拿到 一個(gè)紅球獲得一張 A 類購物卡，每拿到一個(gè)黃球獲得一張 B 類購物卡，每拿到一個(gè) 白球獲得一張 C 類購物卡.
[解析]　(1)記事件 A 為“在3次拿球中只有1次拿到白球”，事件 B 為“在3次拿球中 至多有1次拿到紅球”，則事件 AB 為“在3次拿球中只有1次拿到白球，其他兩次至 多1次拿到紅球”.
(1)已知某顧客在3次拿球中只有1次拿到白球，求其至多有1次拿到紅球的概率；
(2)設(shè)某顧客抽獎(jiǎng)獲得 A 類購物卡的數(shù)量為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
10. [2024福建龍巖質(zhì)檢]杭州第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦.為 了讓中學(xué)生了解亞運(yùn)會，某市舉辦了一次亞運(yùn)會知識競賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán) 節(jié)，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分 布表(見下表).
(1)由頻率分布表可認(rèn)為該市參加預(yù)賽的全體學(xué)生的預(yù)賽成績 X 服從正態(tài)分布 N (μ， σ2)(σ＞0)，其中μ可近似視為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該 組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，且σ2＝342.利用該正態(tài)分布，求 P ( X ≥90).
12. 某同學(xué)騎自行車上學(xué)，第一條路線較短但擁擠，路途用時(shí) X 1(單位：min)服從正 態(tài)分布 N (5，1)；第二條路線較長但不擁擠，路途用時(shí) X 2(單位：min)服從正態(tài)分布 N (6，0.16).若有一天他出發(fā)時(shí)離上課時(shí)間還有7 min，則 P ( X 2≤7)－ P ( X 1≤7) ＝ .(精確到0.000 1)(參考數(shù)據(jù)： P (μ－σ＜ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－ 1.5σ＜ X ≤μ＋1.5σ)≈0.866 4， P (μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－2.5σ＜ X ≤μ ＋2.5σ)≈0.987 6， P (μ－3σ＜ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
附：若 X ～ N (μ，σ2)，則 P (｜ X －μ｜≤σ)≈0.682 7， P (｜ X －μ｜≤2σ)≈0.954 5， P (｜ X －μ｜≤3σ)≈0.997 3.
14. [2023昆明市模擬]已知某校的校排球隊(duì)中來自高一、高二、高三三個(gè)年級的學(xué)生 人數(shù)分別為7，6，2.(1)若從該校隊(duì)隨機(jī)抽取3人拍宣傳海報(bào)，求抽取的3人中恰有1人來自高三年級 的概率.
(附：若 X ～ N (μ，σ2)，則 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋ 2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
16. [設(shè)問創(chuàng)新]為監(jiān)控某種零件的某條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上 隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測量其內(nèi)徑(單位：mm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生 產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布 N (μ，σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)線狀態(tài)正常，記 X 表示某天抽取的10個(gè)零件中內(nèi)徑在[μ－3σ，μ＋3σ]之 外的零件數(shù)，求 P ( X ≥2)及 X 的數(shù)學(xué)期望.
①計(jì)算該天生產(chǎn)的10個(gè)零件的平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ；②一家公司引進(jìn)了一條這種生產(chǎn)線，為了檢查這條生產(chǎn)線是否正常，用這條生產(chǎn)線 試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測量其內(nèi)徑(單位：mm)分別為85，95，103，109，119.試問此條 生產(chǎn)線是否需要進(jìn)一步調(diào)試，并說明理由.
(2)該生產(chǎn)線某天正常狀態(tài)下生產(chǎn)的10個(gè)零件的內(nèi)徑分別為97，97，98，98，105， 106，107，108，108，116.
參考數(shù)據(jù)： P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3， 0.997 310≈0.973 3，0.027×0.997 39≈0.026 4.

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