【知識梳理】2
【真題自測】2
【考點突破】3
【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用3
【考點2】誘導公式的應用4
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用6
【分層檢測】7
【基礎篇】7
【能力篇】8
【培優(yōu)篇】9
考試要求：
1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用單位圓中的對稱性推導出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.
知識梳理
1.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商數(shù)關系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函數(shù)的誘導公式
1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全國·高考真題）（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
三、解答題
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
考點突破
【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用
一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預測）若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預測）美國數(shù)學史家、穆倫堡學院名譽數(shù)學教授威廉?鄧納姆在1994年出版的The Mathematical Universe一書中寫道：“相比之下，數(shù)學家達到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個極好的令人信服的圖示就傳達了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學家所達到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導出的正確選項為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·陜西商洛·模擬預測）若，則 .
6．（2024·廣東廣州·二模）已知復數(shù)的實部為0，則 ．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)形如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等類型可進行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α這三個式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
【考點2】誘導公式的應用
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知，則（ ）
A．3B．C．D．2
2．（16-17高三上·廣西梧州·階段練習）若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）下列選項中，與的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．的圖象關于點中心對稱
C．
D．在上的值域為
三、填空題
5．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點的多邊形為正邊邊形，設，則 ， ．

6．（2024·湖南長沙·一模）已知O為坐標原點，過作x軸的垂線交直線于點B，C滿足，過B作x軸的平行線交E：于點P（P在B的右側(cè)），若，則 .
反思提升：
(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用
一、單選題
1．（2024·福建南平·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高一上·河南三門峽·期末）下列等式正確的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·黑龍江·模擬預測）關于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一條對稱軸
B．是函數(shù)的一個對稱中心
C．將曲線向左平移個單位可得到曲線
D．函數(shù)在的值域為
三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）若，則 ．
6．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知，則 .
反思提升：
1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有eq \f(π,3)－α與eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α與eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α與eq \f(π,4)－α等，常見的互補關系有eq \f(π,6)－θ與eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ與eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ與eq \f(3π,4)－θ等.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知正方體的外接球的球心為，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（ ）
A．B．0C．D．
3．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山東聊城·三模）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022·重慶涪陵·模擬預測）已知向量，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．的值為2D．
6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）計算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·全國·模擬預測）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為B．的最小值為
C．的最大值為D．的最大值為
三、填空題
8．（2024·北京順義·二模）在中，，，，則的面積為 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
10．（2024·安徽池州·模擬預測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
四、解答題
11．（21-22高二下·吉林·階段練習）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；
（2）化簡求值：
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖南常德·一模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，為其終邊上一點，若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則（ ）
A．B．
C．D．角的終邊在第一象限
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個根，則 ．
四、解答題
4．（2023·貴州·模擬預測）已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的長.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南南陽·一模）已知三個銳角滿足，則的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2022·湖北武漢·三模）高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．若函數(shù)，則的值域為
C．若函數(shù)，則的值域為
D．，
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）若，則的最大值為 ，的最小值為 ．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口訣
奇變偶不變，符號看象限
專題21 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式（新高考專用）
目錄
【知識梳理】2
【真題自測】2
【考點突破】6
【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用6
【考點2】誘導公式的應用9
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用14
【分層檢測】17
【基礎篇】17
【能力篇】25
【培優(yōu)篇】27
考試要求：
1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用單位圓中的對稱性推導出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.
知識梳理
1.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商數(shù)關系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函數(shù)的誘導公式
1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全國·高考真題）（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
三、解答題
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關系得解.
【詳解】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.
3．C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
4．D
【分析】由題意結(jié)合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
5．2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數(shù)，
所以.
故答案為：2.
6．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
考點突破
【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用
一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預測）若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預測）美國數(shù)學史家、穆倫堡學院名譽數(shù)學教授威廉?鄧納姆在1994年出版的The Mathematical Universe一書中寫道：“相比之下，數(shù)學家達到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個極好的令人信服的圖示就傳達了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學家所達到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導出的正確選項為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·陜西商洛·模擬預測）若，則 .
6．（2024·廣東廣州·二模）已知復數(shù)的實部為0，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】先根據(jù)平方關系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】因為，所以，有，
所以
.
故選；A.
2．A
【分析】由倍角公式可得，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
3．BD
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的三角函數(shù)值，再結(jié)合二倍角的余弦公式和兩角和的正切公式逐一計算即可.
【詳解】因為角的終邊過點，所以，
所以，，，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確．
故選：BD．
4．ACD
【分析】利用圖形結(jié)合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面積公式求解判斷各個選項.
【詳解】如圖，
對于A，在中，，，又，
則，，
在中，可求得，
所以，故A正確；
對于B， ，故B錯誤；
對于C，在中，因為，，則，故C正確；
對于D，，
，
所以，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】利用平方關系求出，又，利用兩角差的余弦公式求解.
【詳解】，則，
，
因此
.
故答案為：.
6．
【分析】利用復數(shù)的實部為0，求出，再利用二倍角公式得出結(jié)論．
【詳解】復數(shù)的實部為0，
．
．
故答案為：．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)形如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等類型可進行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α這三個式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
【考點2】誘導公式的應用
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知，則（ ）
A．3B．C．D．2
2．（16-17高三上·廣西梧州·階段練習）若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）下列選項中，與的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．的圖象關于點中心對稱
C．
D．在上的值域為
三、填空題
5．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點的多邊形為正邊邊形，設，則 ， ．

6．（2024·湖南長沙·一模）已知O為坐標原點，過作x軸的垂線交直線于點B，C滿足，過B作x軸的平行線交E：于點P（P在B的右側(cè)），若，則 .
參考答案：
1．A
【分析】利用輔助角公式結(jié)合同角關系式結(jié)合條件可得，然后利用誘導公式求解即可.
【詳解】因為，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，故.
故選：A
2．D
【分析】由誘導公式可得，結(jié)合誘導公式和二倍角的余弦公式計算即可求解.
【詳解】由，得，
則.
故選：D.
3．ABD
【分析】求出的值，進而利用二倍角的正弦求值判斷A；利用兩角和的余弦求值判斷B；利用二倍角的余弦求值判斷C；利用二倍角的正切求值判斷D.
【詳解】因為，
對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，因為，可得，故D正確.
故選：ABD.
4．AC
【分析】A選項，先根據(jù)圖象求出最小正周期，進而得到；B選項，求出，代入求出，得到函數(shù)解析式，計算出，B錯誤；C選項，利用誘導公式得到C正確；D選項，整體法求出函數(shù)的值域.
【詳解】A選項，設的最小正周期為，則，
故，
因為，所以，A正確；
B選項，由圖象可知，，，
將代入解析式得，
故，故，
因為，所以，
故，
，故的圖象不關于點中心對稱，B錯誤；
C選項，，C正確；
D選項，，，
故，D錯誤.
故選：AC
5． 0 /0.0625
【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得，進而根據(jù)誘導公式及二倍角公式計算即可.
【詳解】正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形,五個3角形各自角度之和
正五邊形的內(nèi)角和；每個角為，
三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為，
三角形內(nèi)角和為，那么三角形頂角，即五角星尖角，
即.
;
因為,
所以.
故答案為：；.
6．/
【分析】由條件求出點的坐標，證明，，由此可得，列方程求，由此可求，再求.
【詳解】依題意不妨設，則，，
因為，所以，
所以，又，
所以，，
所以，即，設，則，，
所以，所以，，
即，所以，
由得，
解得，所以，
所以，
在中，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是結(jié)合三角函數(shù)，平面幾何相關結(jié)論找到角，之間的關系.
反思提升：
(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用
一、單選題
1．（2024·福建南平·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高一上·河南三門峽·期末）下列等式正確的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·黑龍江·模擬預測）關于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一條對稱軸
B．是函數(shù)的一個對稱中心
C．將曲線向左平移個單位可得到曲線
D．函數(shù)在的值域為
三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）若，則 ．
6．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知，則 .
參考答案：
1．A
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關系求出，再由二倍角的余弦公式和誘導公式化簡代入即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
解得：，
.
故選：A.
2．C
【分析】由可得，再利用整體思想結(jié)合誘導公式與二倍角公式計算即可得.
【詳解】由，則，則，
，
則，由，故.
故選：C.
3．ABD
【分析】利用誘導公式和三角恒等變換等知識求得正確答案.
【詳解】對A，，A選項正確；
對B，，B選項正確；
對C，，C選項錯誤；
對D，
，所以D選項正確.
故選：ABD
4．ABD
【分析】化簡函數(shù)解析式，整體代入法或驗證法求函數(shù)對稱軸和對稱中心判斷選項AB，利用圖象平移的規(guī)則判斷選項C，結(jié)合函數(shù)解析式求解區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域判斷選項D.
【詳解】依題意，因為
令，，當時，，
所以是函數(shù)的一條對稱軸，所以選項正確；
（另解：因為，即當時，函數(shù)取得最大值，所以是函數(shù)的一條對稱軸）；
令，，當，
所以是函數(shù)的一個對稱中心，所以選項正確；
（另解：因為，即是函數(shù)的零點，所以是函數(shù)的一個對稱中心）．
因為，
又將曲線向左平移個單位可得到曲線，所以選項不正確；
因為，
當， 有，則，
得函數(shù)的值域為，所以選項正確.
故選：ABD
5．/
【分析】
應用誘導公式有，即可求值.
【詳解】.
故答案為：
6．
【分析】應用和角余弦公式得，利用誘導公式、倍角余弦公式得，即可得答案.
【詳解】，所以，
則.
故答案為：
反思提升：
1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.
2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有eq \f(π,3)－α與eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α與eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α與eq \f(π,4)－α等，常見的互補關系有eq \f(π,6)－θ與eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ與eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ與eq \f(3π,4)－θ等.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知正方體的外接球的球心為，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（ ）
A．B．0C．D．
3．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山東聊城·三模）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022·重慶涪陵·模擬預測）已知向量，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．的值為2D．
6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）計算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·全國·模擬預測）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為B．的最小值為
C．的最大值為D．的最大值為
三、填空題
8．（2024·北京順義·二模）在中，，，，則的面積為 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
10．（2024·安徽池州·模擬預測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
四、解答題
11．（21-22高二下·吉林·階段練習）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習）（1）已知角終邊上一點，求的值；
（2）化簡求值：
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)正方體的體對角線以及面對角線長，即可利用余弦定理求解，由同角關系即可求解.
【詳解】設正方體的棱長為，則，
易知正方體的外接球的球心為體對角線的中點，
.
在中，由余弦定理可得
由于，，
故選：D.
2．C
【分析】利用兩角差的正切公式計算可得，結(jié)合切弦互化即可求解.
【詳解】由，得，
解得，
所以.
故選：C
3．D
【分析】由降冪公式求出，再結(jié)合誘導公式求解即可．
【詳解】由已知得，，即，
則，
故選：D．
4．A
【分析】先利用整體思想結(jié)合誘導公式與二倍角余弦公式計算得，然后由及可得，即可求得.
【詳解】因為，所以，
所以，
則，即，
由，則，由，得，故，
所以，則，故.
故選：A
5．BD
【分析】先根據(jù)向量加法，可直接求出.
對選項，直接求出向量和的模，然后驗證即可；
對選項，直接求出余弦值；
對選項，直接求出向量的模；
對選項，直接求出正弦值.
【詳解】根據(jù)向量的加法可得：
根據(jù)誘導公式及同角三角函數(shù)的關系，且，解得：.
對選項，，則有：，故選項錯誤；
對選項，則有：，故選項正確；
對選項，，則有：
故有：，故選項錯誤；
對選項，則有：，故選項正確.
故選：BD.
6．ABC
【分析】利用和角公式可求值驗證A項，運用輔助角公式和誘導公式可得B項，運用兩角和的正切公式可以驗證C項，利用倍角公式和誘導公式可以判定D項.
【詳解】對于選項A，，故A項正確；
對于選項B，，故B項正確；
對于選項C，
，故C項正確；
對于選項D，
，故D項錯誤．
故選：ABC．
7．BD
【分析】令，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)，即可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值.
【詳解】設，
由，得，則，
又由，得，
所以，
又因為函數(shù)和在上單調(diào)遞增，
所以在上為增函數(shù)，
，，
故選：.
【點睛】本題考查之間的關系，涉及利用函數(shù)單調(diào)性求最值，屬綜合基礎題.
8．
【分析】將兩邊平方，結(jié)合余弦定理可得，利用平方關系求出即可得解.
【詳解】由余弦定理得①，
又，得②，
聯(lián)立①②解得，
因為，，所以，
所以.
故答案為：
9．/
【分析】利用三角恒等變換化簡算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得結(jié)果.
【詳解】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案為：.
10．3
【分析】由題意得，，，又時，，代入求值，得到，求出函數(shù)解析式，求出答案.
【詳解】由題意得，又，故，
且，解得，
故，
當時，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案為：3
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)角的范圍確定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根據(jù)弦切齊次式即可求解.
【詳解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
12．（1）；（2）2
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，利用誘導公式化簡后，代入，求出答案；
（2）利用對數(shù)運算法則計算出結(jié)果.
【詳解】（1）因為角終邊上一點，
所以，
所以
（2）
.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖南常德·一模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，為其終邊上一點，若角的終邊與角的終邊關于直線對稱，則（ ）
A．B．
C．D．角的終邊在第一象限
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個根，則 ．
四、解答題
4．（2023·貴州·模擬預測）已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的長.
參考答案：
1．A
【分析】使用誘導公式和二倍角公式，結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】
.
故選：A.
2．ACD
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求角的三角函數(shù)，結(jié)合誘導公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函數(shù)值，結(jié)合三角函數(shù)的概念指出角的終邊與單位圓的交點，由對稱性確定角終邊與單位圓交點，從而判斷BCD的真假.
【詳解】因為角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，
所以：，所以，，所以，故A對；
又，
，
所以的終邊與單位圓的交點坐標為：，
因為角的終邊與角的終邊關于直線對稱，所以角的終邊與單位圓的交點為，
所以，且的終邊在第一象限，故CD正確；
又因為終邊在直線的角為：，角的終邊與角的終邊關于對稱，
所以，故B錯誤.
故選：ACD
3．
【分析】利用韋達定理可得，，再利用兩角和差公式和三角函數(shù)的商數(shù)關系求解即可.
【詳解】因為，是方程的兩個根，
所以，，則，
所以．
故答案為：
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關系化簡已知條件即可求解；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關系得，由向量加法運算得，
平方化簡即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，由得，
即，平方化簡得，所以.
（2）由題意，所以，即,
又由（1）知，，
又因為，所以，
所以，
所以.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南南陽·一模）已知三個銳角滿足，則的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2022·湖北武漢·三模）高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．若函數(shù)，則的值域為
C．若函數(shù)，則的值域為
D．，
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）若，則的最大值為 ，的最小值為 ．
參考答案：
1．D
【分析】先根據(jù)題意分別求出，再根據(jù)平方關系求出的關系，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】因為三個銳角滿足，
所以，
則，
所以，
整理得，
又，
于是解得，
當且僅當時取等號，
所以的最大值為.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)求出，再根據(jù)平方關系求出的關系是解決本題的關鍵.
2．AC
【分析】求出函數(shù)式確定單調(diào)性判斷A；舉特例說明判斷BD；變形函數(shù)式，分類討論判斷C即可.
【詳解】對于A，，，有，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，
，
當時，，，有，
當時，，，有，
綜上：的值域為，故C正確；
對于D，當時，，有，故D錯誤.
故選：AC.
【點睛】關鍵點睛：本題D選項的解決關鍵是利用三角函數(shù)的基本關系式將函數(shù)化為，從而結(jié)合高斯函數(shù)的定義即可得解.
3． 9 1
【分析】借助誘導公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化，再利用兩點間的距離公式將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，利用形的直觀來求最值.
【詳解】因為，
所以
，
此式可看作點到點的距離．
而點的軌跡是圓．
又點到圓心的距離為2，所以的最大值，的最小值．
故答案為：9；1
【點睛】將所給函數(shù)式展開必將陷入命題人的圈套，此時要整體把握目標，借助誘導公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化，再利用兩點間的距離公式將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，利用形的直觀來求最值，既簡單又節(jié)省時間．本題不僅要求學生具備扎實的基本功，具有整體把握目標的能力，還對學生分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力、運算求解能力等要求較高．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口訣
奇變偶不變，符號看象限

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