1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
4．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
5.已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
一、單選題
1．（2024·北京）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
2．（2024高三上·天津武清·階段練習(xí)）在中，，E是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是（ ）
A．10B．4C．7D．13
【答案】D
【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.
故選：D.
3．（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)，設(shè)，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.
【詳解】
設(shè)，則，，
設(shè)，，
則，，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以，即.
故選：C.
4．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，
所以，又，
所以，
所以，又，
因?yàn)?，所以?br>即，
所以，解得，所以.
故選：C
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)D是線段AB上靠近B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CD上靠近D的三等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：設(shè)是等腰直角三角形，且，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，從而得到方程組，求出答案.
【詳解】方法一：如圖，由題意得，，
故
；
方法二：不妨設(shè)是等腰直角三角形，且，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
則，
設(shè)，
故，
所以，解得，
故．
故選：C．
6．（2024高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】計算，再計算模長即可.
【詳解】由題意知，
所以，
故選：D．
7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用坐標(biāo)法，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)利用坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理即得.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，，
故，，.
設(shè)，則，
解得，
所以.
故選：B.
8．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．非充分非必要條件
【答案】A
【分析】先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.
【詳解】若，則，即，故，充分性成立，
不妨設(shè)，此時，但不滿足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要條件.
故選：A
9．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【分析】求出的坐標(biāo)，除以，再考慮方向可得．
【詳解】由得，即，，
，
，
，
與同向的單位向量為，反向的單位向量為．
故選：C．
10．（2024高三上·四川·開學(xué)考試）設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面平行向量的坐標(biāo)表示求出的值，驗(yàn)證同向與反向即可.
【詳解】，
當(dāng)時，，同向；
當(dāng)時，，反向.
故選：A．
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形中，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系后計算即可得.
【詳解】作出圖形如圖所示.記線段交于點(diǎn)，
分別以所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，
故，，設(shè)，
則，解得.
故選：C.

12．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）如圖，在正八邊形中，，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解.
【詳解】分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)正八邊形的邊長為1，
可得，，，，
所以，，.
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，則.
故選：D.
13．（2024·陜西西安·一模）已知向量，，若不超過3，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和幾何意義可得，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以，得，
即，解得，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：B
14．（2024高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，從而得解..
【詳解】
因?yàn)?，，?br>所以，
所以，解得，
所以.
故選：A.
15．（湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)榕c共線，則存在，使得，即，
因?yàn)橄蛄?、不共線，則，整理可得，即，
解得或.
故選：C.
16．（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量，，若向量與共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值，再由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求.
【詳解】向量，，則，
若向量與共線，有，解得，則，
所以.
故選：A.
17．（2024·山東青島·一模）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，則“m＝－6”是“∥”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由平面向量線性運(yùn)算及共線的的坐標(biāo)表示運(yùn)算可得解.
【詳解】由題意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.
當(dāng)m＝－6時，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，
則“m＝－6”是“”的充要條件.
故選：A.
18．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可直接求得答案.
【詳解】，
由可得，，整理得．
故選：D.
19．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.
【詳解】令，則，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故選：B．
20．（2024高三上·北京朝陽·期末）在中，，當(dāng)時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.
【詳解】如下圖所示：
在直線上取一點(diǎn)，使得，
所以，當(dāng)時，取得最小值為，即；
又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
又可得為的中點(diǎn)，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
則，
令，由可得，
所以，，
由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.
21．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求出，進(jìn)而求出的值.
【詳解】
，
所以，所以，
所以，
.
故選：D.
22．（湖南省益陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】將作為基底，根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件把用表示，從而可求出的值.
【詳解】連接，
由題可知，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，
所以，所以.
故選：A.
23．（2024·河南·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用表示即可得答案.
【詳解】解：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，
所以，，
，
所以，即，解得
所以，的值為.
故選：B
24．（2024·全國）已知向量，則
A．B．2
C．5D．50
【答案】A
【分析】本題先計算，再根據(jù)模的概念求出．
【詳解】由已知，，
所以，
故選A
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．由于對平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯．
25．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（ ）
A．3B．5C．7D．11
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：B
26．（2024高二上·安徽·期中）如圖，在長方形 中，，點(diǎn) P 滿足，其中，則的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，從而求出，求出最值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
因?yàn)?，所以，即?br>故，，
則，
則，
因?yàn)?，所以，?br>故.
故選：B
27．（2024高三上·河南南陽·期末）下列向量中，與向量共線的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)共線向量定理的坐標(biāo)運(yùn)算得到，驗(yàn)證即可.
【詳解】與向量共線的向量需滿足.
故選：C
28．（2024高三上·河北保定·期末）已知命題，，與共線，命題，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合必要條件與充分條件的定義，可得答案.
【詳解】充分性：由與共線，則，解得或0，p是q的不充分條件；
必要性：當(dāng)，時，由，則與共線，p是q的必要條件.
故選：B.
29．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的向量關(guān)系式即可求解.
【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，
則，，
即，
則，解得.
故選：C
30．（2024·四川巴中·一模）已知向量，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)（）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】先求，然后向量共線的坐標(biāo)表示可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
.
又三點(diǎn)共線，所以向量與向量共線，所以，解得.
故選：A
31．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知和是兩個正交單位向量，，且，則（ ）
A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到，，求得，集合向量模的計算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹褪钦粏挝幌蛄?，，?br>可得，所以，解得或.
故選：B．
32．（2024高二上·江蘇南京·期末）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線定義求出，，再根據(jù)坐標(biāo)化即可求解.
【詳解】解析：由題意知，，設(shè)，
由拋物線定義可得，，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>則，所以．
故選：C．
33．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）已知，，是直線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)在外，若，則（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理解題即可.
【詳解】由已知得，
故，
易知，，是直線上不同的三點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線，
必有，解得，
故選：A
34．（2024高一下·江西九江·期末）已知向量．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到與不共線，從而列出不等式，求出答案.
【詳解】若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線，
∵，，，
∴，，
∴，解得.
故選：B．
35．（2024高三上·北京大興·期末）設(shè)向量，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘公式和模的公式代入即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，所?
故選：D
36．（2024高三上·山東威海·期末）已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示求出，再應(yīng)用模長公式求解即可.
【詳解】向量，，，
.
故選：B.
37．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合二倍角的正切公式計算即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以，得，
所以.
故選：A.
38．（2024高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得參數(shù)，再結(jié)合向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算求模長即可.
【詳解】根據(jù)題意可得：，解得或；
當(dāng)時，與共線同向，故舍去；
當(dāng)時，，，
.
故選：C.
39．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知向量 ，若與共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．2B．4C．D．或4
【答案】C
【分析】通過向量共線且同向，即可求出實(shí)數(shù)的值并檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，，且與共線且同向，
所以，解得或，
當(dāng)時，，則，滿足題意；
當(dāng)時，，則，不滿足題意；
綜上，.
故選：C．
40．（2024高一上·遼寧沈陽·期末）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
判斷兩個向量是否共線即可確定兩個向量是否能作為一組基底.
【詳解】對于A，假設(shè)共線，則存在，使得，
因?yàn)椴还簿€，所以沒有任何一個能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對于B，假設(shè)共線，則存在，使得，
即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對于C，因?yàn)?，所以兩向量共線，
不能作為一組基底，C錯誤；
對于D，假設(shè)共線，則存在，
使得，
即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，
故選:C.
41．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到，，從而列出方程組，求出，得到，求出答案.
【詳解】因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，
三點(diǎn)共線，故可設(shè)，即，
整理得，
因?yàn)?，所以，即?br>三點(diǎn)共線，
可得，
所以，解得，
可得，則，.
故選：B
42．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點(diǎn)Q，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)條件運(yùn)用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理，將由，線性表示，再由Q，M，A三點(diǎn)共線得到關(guān)于，的關(guān)系式，從而確定正確選項(xiàng)．
【詳解】由題意得，
因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，
所以，
化簡整理得．
故選：C．
43．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算，利用基底向量表示即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，
所以 .
即.
故選：C.
44．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象及其性質(zhì)，即可得出，，進(jìn)而根據(jù)，即可求出的值，即可得出答案.
【詳解】
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，，
又，所以，，所以．
故選：A．
45．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取為平面的基底，根據(jù)給定條件，結(jié)合平面向量基本定理求出作答.
【詳解】在中，取為平面的基底，
由，得，
由，得，
由，知，
由，得，
因此，則，解得，
所以.
故選：C
46．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，,，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，利用表示，根據(jù)即可求解.
【詳解】在梯形中，，且，則，
因?yàn)樵诰€段上，且，則，
，
所以.
故選:D.
47．（2024·安徽·二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】確定，，相加整理得到答案.
【詳解】，則①；
，則②；
①②兩式相加，，即，
故選：C.
48．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得到為的中點(diǎn)，化簡得到，得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.
【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，與相交于點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，
由，可得為的中點(diǎn)，所以，
可得，
又由，所以，所以.
故選：B．
49．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若實(shí)數(shù)k與向量滿足，則可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，先求出的坐標(biāo)，利用建立方程組，找出的關(guān)系來判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)橄蛄浚?br>所以，
又，
所以，
時不成立，所以，
所以，
選項(xiàng)A，不滿足，
選項(xiàng)B，不滿足，
選項(xiàng)C，不滿足，
選項(xiàng)D，滿足，
故選：D.
50．（2024·河北·模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點(diǎn)M滿足，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法列關(guān)于的方程，解之即可求得的值.
【詳解】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點(diǎn)，
分別以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
不妨令，則，
,
由，可得，解之得
故選：B
51．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（ ）

A．B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過點(diǎn)A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則,
故,
則由可得，
即，
故，
故選：A
52．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知，且三點(diǎn)共線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由，得,
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得.
所以.
故選：A.
二、多選題
53．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）已知向量，則（ ）
A．B．
C．可以作為平面向量的一個基底D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)向量的模公式計算可判斷A；由向量坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C；先求坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，，即，A錯誤；
選項(xiàng)B，，B正確；
選項(xiàng)C，，即不共線，即可以作為平面向量的一個基底，C正確；
選項(xiàng)D，，由，即與不共線，D錯誤．
故選：BC
54．（2024高一下·福建福州·期中）已知向量不共線，且，其中，若三點(diǎn)共線，則角的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】三點(diǎn)共線即向量共線，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得值再判斷．
【詳解】三點(diǎn)共線，即共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，
即，
又不共線，所以，，又，所以或．
故選：CD．
55．（2024高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量是線段的三等分點(diǎn)，則的坐標(biāo)可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，注意三等分點(diǎn)有兩種可能.
【詳解】因?yàn)?，，可得?br>又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，
所以或，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
故選：AC.
56．（2024高三上·山東青島·期末）已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．的坐標(biāo)為D．的坐標(biāo)為
【答案】ACD
【分析】由題意表示出，結(jié)合題設(shè)可求得，即得，，判斷；根據(jù)題中定義求得坐標(biāo)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，判斷D；再求得，求得其模，判斷A.
【詳解】由題意可知點(diǎn)，點(diǎn)，故，
因?yàn)椋?，
又，即，故，
所以，，故B錯誤，C正確；
因?yàn)辄c(diǎn)繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，
所以，
則由,可得點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；
故，則，A正確，
故選：ACD
57．（2024·江蘇·一模）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以表示出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進(jìn)而可以判斷.
【詳解】設(shè)，，
，，
，，
對于A，，故選項(xiàng)A正確；
對于B， ，，故選項(xiàng)B正確；
對于C，，
當(dāng)時，，故選項(xiàng)C錯誤；
對于D， ，
可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯誤.
故選:AB.
三、填空題
58．（2024高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知平面向量滿足：，，，設(shè)向量（為實(shí)數(shù)），則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，為線段上一點(diǎn)，則，得到點(diǎn)在以為圓心的圓上，所以，得到，根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長為2的正方形的，所在直線為軸和軸，建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，為線段上一點(diǎn)，則，
因?yàn)椋砸詾閳A心，為半徑畫圓，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，
設(shè)，，，所以，
所以，，所以，所以，
可得直線表示斜率為，縱截距為的直線，
當(dāng)圓心為點(diǎn)時，與相切且點(diǎn)在軸的下方時，
可得圓的方程為，可得切線坐標(biāo)為，
此時，取得最小值；
當(dāng)圓心為點(diǎn)時，經(jīng)過圓心時，圓的方程為，
當(dāng)點(diǎn)時，此時，取得最大值，
所以的取值范圍為．
故答案為：．

59．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，,又，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.
【詳解】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
又，
則，
，即
，
解得，
,
因?yàn)椋瑒t，
所以當(dāng)時，取得最大值1，
則的最大值為.
故答案為：.
60．（2024高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，向量與的夾角為，向量與的夾角為，，，若，（，），則 ．

【答案】/
【分析】建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)定義，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，垂直于OB且向上的方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則．設(shè)，，
于是，，
且，．
由，得，
∴解得∴．
故答案為：.

61．（2024高三上·湖南永州·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合模長的坐標(biāo)公式求解.
【詳解】由題意可得：，
因?yàn)?，則，解得.
故答案為：1.
62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個小正方形的邊長為1，再利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形的邊長為1)，

則，
所以.
因?yàn)?，所?
所以.
所以.
故答案為：4
63．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，
整理，得，
又，
代入，
有，所以，
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，得，
所以.
即的最大值為.
故答案為：
64．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若向量與平行，則 ．
【答案】
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行求解即可.
【詳解】由題意可知，，
又與平行，所以，解得.
故答案為：.
65．（2024·廣西南寧·一模）已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)形式得到方程，解出即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
又，所以，解得.
故答案為：.
66．（2024·全國）已知向量，，．若，則 ．
【答案】
【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可．
【詳解】由題可得

,即
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
67．（2024高二上·上海長寧·期末）如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則 ．
【答案】8
【分析】過點(diǎn)作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點(diǎn)，得到四邊形平行四邊形，結(jié)合平面向量的基本定理，即可求解。
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點(diǎn)，
所以四邊形平行四邊形，則，
因?yàn)橄蛄颗c和的夾角分別為和，
即,則,
在直角中，，，所以，
在直角中，，，所以，
又由，可得，
又因?yàn)椋裕?br>所以．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的線性運(yùn)算和向量的運(yùn)算法則的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，合理利用平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力．
68．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則實(shí)數(shù) ．
【答案】±1
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模長公式求解即可．
【詳解】由題意，得，所以，解得．
故答案為：±1.
69．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標(biāo)為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)向量的共線和向量乘法的坐標(biāo)計算公式即可求解.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)橄蛄?，且與的夾角為鈍角，
所以，所以，
不妨令，則，故，
故答案為：（答案不唯一）.
70．（2024·湖北武漢·三模）已知向量，，向量，，若，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知，不共線，若，則，使得，代入結(jié)合向量相等運(yùn)算．
【詳解】根據(jù)題意可知，不共線
若，則，使得，即
則可得，解得
故答案為：．
71．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知向量，若，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示列式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄壳遥?br>所以,解得，
故答案為：
72．（2024·上海普陀·模擬預(yù)測）已知，，若與互相平行，則實(shí)數(shù)的值是 ．
【答案】
【分析】由向量共線的坐標(biāo)公式，列出方程求解即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得，
故答案為：．
四、解答題
73．（2024高三上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）如圖，在中，分別是邊上的動點(diǎn).

(1)證明：；
(2)當(dāng)分別是邊的中點(diǎn)時，用表示.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用向量共線的充要條件和向量的加法運(yùn)算法則即可求證；
（2）綜合運(yùn)用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算法則即可解答.
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是邊上的動點(diǎn)，
所以存在 使，
所以.
令，則，因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，
所以，又，所以，
所以，所以，即，
所以.
故.
74．（2024高一·湖南·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計算出它們的坐標(biāo)．
【答案】，，．
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的定義，以及向量的模和三角函數(shù)，即可求解向量的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，，，
則，，
，，
，，
因此，，．
75．（2002·北京）已知是的三個頂點(diǎn)．
(1)寫出的重心G,外心F,垂心H的坐標(biāo),并證明G,F,H三點(diǎn)共線;
(2)當(dāng)直線與平行時,求頂點(diǎn)C的軌跡．
【答案】(1),證明見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)三個點(diǎn)的坐標(biāo),以及各個心所滿足的條件設(shè)點(diǎn)列方程求出坐標(biāo)即可;
(2)由(1)得兩點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)平行列出方程,然后配方化簡,判斷方程類型即可.
【詳解】（1）解:由題知,
重心坐標(biāo)為,
不妨設(shè)
即
,
,
不妨設(shè)
即
,
,
,
故G,F,H三點(diǎn)共線;
（2）由(1)知,
與平行,
,
,
記,,
配方得,
所以頂點(diǎn)C的軌跡是以為中心點(diǎn),1為短軸長,為長軸長且去掉四個頂點(diǎn)的橢圓.
76．（2024高三上·西藏拉薩·期中）設(shè)兩個非零向量與不共線．
(1)若，，，判斷A，B，D三點(diǎn)是否共線？
(2)試確定實(shí)數(shù)，使和同向．
【答案】(1)A，B，D三點(diǎn)共線
(2)
【分析】（1）由題意化簡得到，得到共線，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線.
又由有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線．
（2）由和同向，存在實(shí)數(shù)，使，得出方程組，即可求得的值.
【詳解】（1）解：由題意，向量，，，
可得，
所以共線，
又由有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線．
（2）解：因?yàn)橄蛄亢屯颍?br>所以存在實(shí)數(shù)，使，
即，所以 ，
又由是不共線的兩個非零向量，可得，解得或，
又因?yàn)?，所以?br>77．（廣西河池市八校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考（4月）數(shù)學(xué)試題）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出，的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以，解?
（2）因?yàn)?，?br>因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，所以，解得，
故的值為．
78．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，，.
（1）求橢圓的方程.
（2）過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均不與，重合），直線與直線交于點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題設(shè)，可直接求出a、c，進(jìn)而寫出橢圓方程.
（2）設(shè)為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，，又為求G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的判定，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由，即，又，即.
∴，故橢圓的方程為.
（2）證明：可設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程，得且，
∴，，而直線的方程為，
∴令，得，則有，，
又∵，
∴，而，
∴，，三點(diǎn)共線.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求，，結(jié)合向量共線的判定證明三點(diǎn)共線.
（一）
平面向量基本定理的應(yīng)用
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
題型1：平面向量基本定理的應(yīng)用
1-1．（2024高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根據(jù)基底的知識確定正確答案.
【詳解】依題意，不共線，
A選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
B選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
C選項(xiàng)，，
所以和不能構(gòu)成基底.
D選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
故選：C
1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)向量是平面內(nèi)一個基底，且，則向量可以用另一個基底表示，即 .
【答案】
【分析】設(shè)，將代入，利用向量基本定理，得出的關(guān)系式，求解，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)椴还簿€，
所以，解得，，
故答案為：.
1-3．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)已知條件先確定，，再根據(jù)平面向量基本定理，把向量與向量作為一組基底表示出向量即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)?，所以，則.
故答案為：
1-4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】由題意可得：
.
所以.
故答案為：.
1-5．（2024高三下·河南·開學(xué)考試）已知分別為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運(yùn)算，由條件可得，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
所以，又，
則，
，
所以.
故答案為：
1-6．（2024·天津紅橋·一模）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，則 ，若，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結(jié)合已知用表示，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】在中，，，則，
故
，
故；
又，而，，
所以，則，
又三點(diǎn)共線，所以，結(jié)合已知可知，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，取等號；
即的最小值為，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，則三點(diǎn)共線.
1-7．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且在上，且．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和平面向量的線性運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則．
因?yàn)椋?，則．
故選：C
（二）
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解．
(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．
題型2：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
2-1．（2024高三·全國·對口高考）為平行四邊形的對角線，，則 ．
【答案】
【分析】畫圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及向量加法法則運(yùn)算即可.
【詳解】
如圖在平行四邊形中，
，
在中，，
所以，
故答案為：.
2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，，，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】，
由可知 解得故．
故答案為：
2-3．（2024高三·全國·對口高考）已知點(diǎn)，若與的夾角是，，則點(diǎn)B坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】由向量與的夾角是，知向量與方向相反，設(shè)，則，，則， ，解得，得到答案.
【詳解】由向量與的夾角是，
所以向量與方向相反，
設(shè)，則，，
則，
故，
所以，
故，由，
所以，故.
故答案為：.
2-4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將各個點(diǎn)坐標(biāo)代入中，計算結(jié)果.
【詳解】解：由題意得，所以.
設(shè)，則，
所以，解得 ，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
故答案為：
（三）
向量共線的坐標(biāo)表示
平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．
題型3：利用向量共線求參數(shù)
3-1．（2024·江西上饒·一模）已知向量，，若三點(diǎn)共線，則 .
【答案】
【分析】由三點(diǎn)共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．
【詳解】三點(diǎn)共線，
與共線，
，解得．
故答案為：．
3-2．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則 .
【答案】
【分析】三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，利用向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】當(dāng)三點(diǎn)共線，即時，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.
由已知得，
，
由得，，解得.
故答案為：.
3-3．（2024·湖南長沙·二模）已知向量，若B，C，D三點(diǎn)共線，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線得出向量共線，從而得到，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
，
因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，
所以，即，
所以.
故答案為：.
3-4．（2024高三下·全國·開學(xué)考試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)a＝ .
【答案】
【詳解】，由，得，解得.
3-5．（2024高一下·山西運(yùn)城·期中）已知向量，若，則 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，
解方程可得：.
故答案為：.
3-6．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若與共線，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】求得的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列式即可求得答案.
【詳解】由題意知向量，
故，
由于與共線，故，
故答案為：
3-7．（2024高三上·天津河北·期中）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則 ，的最小值為 .
【答案】 2
【分析】由題意求得，根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，利用向量共線的條件可得的值，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由，，可得，
由于，，三點(diǎn)共線，故共線，
所以，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，
故答案為：2；
題型4：利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
4-1．（2024高三上·福建廈門·開學(xué)考試）寫出一個與向量共線的向量 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)共線向量定理求解即可
【詳解】與向量共線的向量為.
取，可得出一個與向量共線的向量為
（答案不唯一，滿足即可）.
故答案為：（答案不唯一）
4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，已知點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】將相交條件轉(zhuǎn)化為向量共線建立點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程組，求解即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，
所以，.
設(shè)，則，而，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，
所以，即.
而， ，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，
所以，即.
由，得，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
故答案為：.
4-3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】解設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知得出，利用直線方程，解設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，得出答案即可.
【詳解】由題知，，設(shè)，
，，，，
，，
，，則直線方程為，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，，
求解可得，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：
4-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn) ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
【答案】(3,3)
【分析】法一：利用向量的共線可設(shè)，表示出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線列出方程，即可求得答案；
法二：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，進(jìn)而表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線，列出方程，求得答案.
【詳解】法一:由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè),
則,
又，
由共線，得，
解得 ，所以,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),
故答案為：
法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則 ，因?yàn)椋?與共線，
所以 ，即x=y.
又 ， ，且共線，
所以 ，解得x=y=3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)，
故答案為：

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