專題03 不等式4題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．不等式的性質(zhì)
（1）對稱性：a>b?bb，b>c?a>c．
（3）可加性：a>b?a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，cd?a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．
2．兩個實數(shù)比較大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b0．
（3）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
（4）其中eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
4．幾個重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
5．三個“二次”的關(guān)系
6．分式不等式與絕對值不等式
（1）eq \f(f?x?,g?x?)>0(0(a(a>0)的解集為(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|0)的解集為(－a,a)．
一、單選題
1．（2024高一上·吉林延邊·期末）已知，，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求的范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，求的范圍.
【詳解】因為，所以，
由，得.
故選：A.
2．（2024·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.
【詳解】解：由圖知：，
在中，，
所以，即，
故選：C
3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式判斷．
【詳解】x，y都是正數(shù)，
由基本不等式，，，，這三個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；
中當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．
故選：D．
4．（2024高二上·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（）
已知，求的最小值；解答過程：；
求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；
設(shè)，求的最小值；解答過程：，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，把代入得最小值為4．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】A
【分析】利用基本不等式成立的條件，對三個求解過程分別進行判斷即可得到答案．
【詳解】對：基本不等式適用于兩個正數(shù)，當(dāng)，均為負值，
此時，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；
對：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
但，則等號取不到，故的用法有誤；
對：，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的用法有誤；
故使用正確的個數(shù)是0個，
故選：.
5．（2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)變形得，進而轉(zhuǎn)化為，
用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.
故選：B.
6．（2024高三下·浙江·期中）設(shè)，，若，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：設(shè)，進而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；
法二：由題知進而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.
【詳解】解：法一：（基本不等式）
設(shè)，則，
條件，
所以，即.
故選：D.
法二：（三角換元）由條件，
故可設(shè)，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：D.
7．（2024高三上·河北承德·階段練習(xí)）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解分式不等式可求得集合；根據(jù)充分不必要條件的定義可知?；解一元二次不等式，分別討論，和的情況，根據(jù)包含關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要條件，?，
當(dāng)時，，不滿足?；當(dāng)時，，不滿足?；
當(dāng)時，，若?，則需；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】討論m與2的大小關(guān)系，求得不等式的解集，根據(jù)解集中恰有4個整數(shù)，確定m的取值范圍.
【詳解】不等式即，
當(dāng)時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，
這四個整數(shù)只能是3,4,5,6，故，
當(dāng)時，不等式解集為，此時不符合題意；
當(dāng) 時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，
這四個整數(shù)只能是，故，，
故實數(shù)m的取值范圍為，
故選：C
9．（2024高一下·浙江湖州·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）
A．B．不等式的解集為
C．D．不等式的解集為
【答案】B
【分析】根據(jù)解集形式確定選項A錯誤；化不等式為即可判斷選項B正確；設(shè)，則，判斷選項C錯誤；解不等式可判斷選項D錯誤.
【詳解】解：因為關(guān)于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；
由題得，所以為.所以選項B正確；
設(shè)，則，所以選項C錯誤；
不等式為，所以選項D錯誤.
故選：B
10．（2024高一上·上海浦東新·期中）已知實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題可知，再利用中間量，根據(jù)與之間的關(guān)系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關(guān)系.
【詳解】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故選：A.
11．（安徽省合肥一六八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關(guān)系，列出根與系數(shù)的關(guān)系，得到的關(guān)系，代入不等式化簡求解.
【詳解】的解集是，，得，
則不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故選：D
12．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（）
A．
B．
C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則
D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法與一元二次方程之間的關(guān)系以及韋達定理，基本不等式進行求解即可.
【詳解】由題意，所以正確;
對于:，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立,
所以正確;
對于,由韋達定理，可知，所以錯誤;
對于,由韋達定理，可知，
則，解得，
所以正確,
故選：.
13．（2024高三上·江蘇南通·期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）
A．－2B．1C．2D．8
【答案】C
【分析】由不等式的解集結(jié)合基本不等式得到，，從而利用基本不等式求出的最小值.
【詳解】由題意可知，方程的兩個根為m，，則，解得：，故，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最小值為2.
故選：C.
14．（2024·山東）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.
【詳解】結(jié)合圖像易知，
不等式的解集，
故選：A.
15．（2024·全國）已知集合，則
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，從而求得集合A，之后根據(jù)集合補集中元素的特征，求得結(jié)果.
詳解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故選B.
點睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結(jié)果.
16．（2024·四川成都·三模）設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項公式，求得且，
化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式，可得，可得，
又由且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
17．（2024·北京房山·二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判斷二次函數(shù)的對稱軸，可得函數(shù)不是偶函數(shù)，判斷選項A，根據(jù)函數(shù)的定義域判斷選項B，判斷得，從而得函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷得該函數(shù)不具有最小值，從而判斷選項C，根據(jù)，得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用基本不等式求解出最小值，即可判斷選項D.
【詳解】對A，二次函數(shù)的對稱軸為，
不是偶函數(shù)，故A錯誤；
對B，函數(shù)的定義域為，
定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是偶函數(shù)，故B錯誤；
對C，，
定義域為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，
結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)易判斷函數(shù)無最小值，故C錯誤；
對D，，定義域為，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，因為，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以函數(shù)有最小值，故D正確.
故選：D
18．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可；
【詳解】解：因為，所以．
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以，的最小值為27．
故選：C
19．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則的最小值是（）
A．5B．9C．13D．18
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，求得，且，利用，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，所以，
即，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
20．（2024·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.
【詳解】，即，即.
對于 A，成立.
對于 B，，成立.
對于 C，，即.故C錯誤；
對于 D，成立.
故選：C.
21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】運用對數(shù)運算及換底公式可得，運用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
即：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故的最小值為16.
故選：C.
22．（2024·河南安陽·三模）已知，則下列命題錯誤的是（）
A．若，則
B．若，則的最小值為4
C．若，則的最大值為2
D．若，則的最大值為
【答案】D
【分析】直接使用基本不等式即可判斷A，C，D；若，則，展開后使用基本不等式即可判斷B.
【詳解】∵，∴，∴，故A正確；
若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；
若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；
若，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤.
故選：D.
23．（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)，時，恒成立，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的結(jié)論進行計算即可以得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)，時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最大值為．
所以，即．
故選：A.
二、多選題
24．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知，，則下列關(guān)系式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】得到或，分兩種情況，結(jié)合基本不等式和不等式的性質(zhì)對四個選項一一進行判斷，得到正確答案.
【詳解】因為，所以或，
當(dāng)時，，A不成立，，，
由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因為，故等號不成立，故；
當(dāng)時，，，
不妨設(shè)，則，故此時C不成立，
由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因為，故等號不成立，故；
綜上：BD一定成立.
故選：BD
25．（2024·山東·二模）已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)已知等式可確定，結(jié)合不等式性質(zhì)和作差法依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，，，A錯誤；
對于B，，，，，，，
，即，B正確；
對于C，，，，即，C正確；
對于D，，D錯誤.
故選：BC.
26．（2024高三上·山東泰安·期末）若，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.
【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；
例如，，，，，顯然，B錯誤；
由得，，∴，即，C正確；
易知，，，
，
∴，D正確；
故選：ACD．
27．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足則（）
A．的取值范圍為B．的取值范圍為
C．的取值范圍為D．的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性質(zhì)直接求解.
【詳解】因為，所以.因為，所以，則，故A正確；
因為，所以.因為，所以，所以，所以，故B正確；
因為，所以，則，故C錯誤；
因為，所以，則，故D正確.
故選：ABD.
28．（2024高三下·河北衡水·階段練習(xí)）已知，，且滿足，．則的取值可以為（）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得，進而即得.
【詳解】因為，，
所以，，
故，
當(dāng)，且，而時，即等號不能同時成立，
所以，故AB錯誤，CD正確.
故選：CD.
29．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)條件可得，，進而根據(jù)即可求解A,根據(jù)基本不等式即可判斷BC,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正確，
，當(dāng)時，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，當(dāng)時，，所以，故B正確，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，所以C錯誤，
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，又，所以或者等號成立，
故選：ABD
30．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則（）
A．B．
C．D．的最小值為1
【答案】BC
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得.結(jié)合對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷AB；利用作差法計算即可判斷C；結(jié)合基本不等式計算即可判斷D.
【詳解】由可知，，由不等式的性質(zhì)可知，則．
選項A：因為對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，，所以，故A錯誤；
選項B：由函數(shù)的單調(diào)性可知，故B正確；
選項C：因為，所以，故C正確；
選項D：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，顯然等號不成立，故D錯誤．
故選：BC.
31．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個事實，下列不等式中一定成立的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】依題意得到，再根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可；
【詳解】對于A，由題意可知，正確；
對于B，因為，所以，正確；
對于C，即，錯誤；
對于D，，正確.
故選：ABD
32．（2024·全國）若x，y滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設(shè)，所以，因此
，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
33．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分，，討論，可得的范圍，再利用的范圍求出的范圍.
【詳解】,
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立，得，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立，得，
當(dāng)時，由可得或
綜合可得，故C正確，D錯誤；
，
當(dāng)時，，故A錯誤，B正確；
故選：BC.
34．（2024高三下·湖北·階段練習(xí)）已知，且，則（）
A．的最小值為4B．的最小值為
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】ACD
【分析】結(jié)合已知等式，運用基本不等式、配方法逐一判斷即可.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則正確；
，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則B錯誤；
，當(dāng)，即時，，則C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則D正確.
故選：ACD
35．（2024·云南紅河·一模）已知，，且，則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】對于選項AB：根據(jù)已知結(jié)合基本不等式將已知等式中的或轉(zhuǎn)化，即可解不等式得出答案；對于選項CD：將要求的式子通過完全平方或分式運算轉(zhuǎn)化為或，即可根據(jù)選項AB求出的范圍根據(jù)不等式的性質(zhì)或一元二次函數(shù)的值域得出要求的式子的范圍.
【詳解】對于A：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，解得，即，故A不正確；
對于B：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立即，解得，或（舍去），故B正確；
對于C：，
令，，即，故C正確；
對于D，，令，，即，故D不正確，
故選：BC．
36．（2024·山西·一模）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為9D．的最小值為
【答案】ABC
【分析】對于AD，利用基本不等式判斷即可；對于B，利用不等式判斷即可，對于C，利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.
【詳解】對于A，因為，，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；
對于B，因為，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，
所以的最小值為9，故C正確；
對于D，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值，故D錯誤．
故選：ABC.
37．（2024·山東）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.
【詳解】對于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；
對于B，，所以，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；
對于D，因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
故選：ABD
【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
38．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的有（）
A．B．
C．若，則D．
【答案】BC
【分析】利用特殊值法、基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷正誤.
【詳解】A選項：，由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，
已知，即，若取，，則，故A錯誤.
B選項：因為，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故B正確.
C選項：若，則，且，
，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，故C正確.
D選項：令，，則，故D錯誤.
故選：BC.
39．（2024高一上·浙江溫州·期中）已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（）
A．B．
C．a(chǎn)b有最大值4D．有最小值9
【答案】AC
【分析】A、C選項，分別根據(jù)基本不等式計算即可得到；B選項找出反例即可；D選項由基本不等式“1”的代換計算，漏除了4.
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，找反例，當(dāng)時，，，，B不正確；
C選項，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，C正確；
D選項，，D不正確.
故選：AC.
40．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
【答案】AC
【分析】根據(jù)逆否命題的真假性即可判斷A，根據(jù)冪的運算性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】對于A,若，均不大于2，則，則，故，則，至少有一個大于2為真命題，故A正確，
對于B, B. ，，故 B錯誤，
對于C,由得，由得，所以，故C正確，
對于D，由于，函數(shù) 在單調(diào)遞增，故，D錯誤，
故選:AC
41．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）若實數(shù)滿足，則（）
A．且B．的最大值為
C．的最小值為7D．
【答案】ABD
【分析】對于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC，利用指數(shù)的運算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】由，可得，所以且，故A正確；
由，可得，即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為9，故C錯誤；
因為，則，
所以，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
42．（2024高一·全國·單元測試）若,則將從小到大排列為 .
【答案】
【分析】不妨令，分別求得的值，即可得到的大小順序.
【詳解】，不妨令，
則有，
有，
即.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法比較幾個式子在限定條件下的大小關(guān)系，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題.
43．（2024高二·全國·單元測試）如果a>b，給出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序號是．
【答案】②⑥
【分析】對分別賦值，然后對各個不等式進行排除，對于無法排除的選項利用函數(shù)的單調(diào)性和差比較法證明成立.
【詳解】令，，排除①，，排除③選項，，排除⑤.當(dāng)時，排除④.由于冪函數(shù)為上的遞增函數(shù)，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正確.所以一定成立的是②⑥.
【點睛】本小題主要考查實數(shù)比較大小，使用的方法較多，一個是特殊值比較法，也就是對問題中的舉出一些具體的數(shù)值，然后對不等式的正確與否進行判斷.第二個是用函數(shù)的單調(diào)性的方法來比較，即是如果要比較的兩個數(shù)和某個函數(shù)有點接近，如本題中②，用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷.第三個是用差比較法來判斷，如本題中的⑥.
44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)時，且，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】當(dāng)時滿足：且，可得，進而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.
【詳解】當(dāng)時滿足：且，
，即，進而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以
故答案為：．
45．（2024·浙江）已知實數(shù)、、滿足，，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】試題分析：因為，所以，
所以，
所以，
由，解得，
故實數(shù)的最大值為.
考點：一元二次方程的根的判別式，容易題.
46．（2024·山西·一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜．這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為：，其中，且a，b，．據(jù)此可以判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如（填“＞”“＜”）．
【答案】>
【分析】設(shè)、，類比題設(shè)的不等關(guān)系，判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小.
【詳解】令，則，
令，則，
所以，，
根據(jù)題設(shè)知：.
故答案為：>
47．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式 .
【答案】
【分析】根據(jù)題中糖水不等式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式進行解題即可.
【詳解】空1：因為，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案為：；
48．（2024高三上·天津南開·階段練習(xí)）若，，且，則的最小值是．
【答案】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得結(jié)果.
【詳解】因為（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值為.
故答案為：
49．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】將原式變形為，然后利用基本不等式求最小值.
【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故答案為：3.
50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則的最小值為
【答案】/
【分析】由已知可得，變形可得，然后根據(jù)基本不等式即可得出答案.
【詳解】由，則.
因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
51．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值為．
【答案】8
【分析】由題意可得化簡得，所以，利用基本不等式即可求解
【詳解】因為不等式的解集為，則，
因為，所以，
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號．
故答案為：8
52．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題中所給等式可化為，再通過平方關(guān)系將其與聯(lián)系起來，運用基本不等式求解最小值即可.
【詳解】因為且，則兩邊同除以，得，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.
故答案為:
53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，滿足，則的最小值是．
【答案】.
【分析】由已知得，進而，利用基本不等式計算即可.
【詳解】由，得，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
54．（2024·天津·一模）若，，，，則的最小值為．
【答案】/
【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。
【詳解】由題意，，，，得：，
設(shè) ，則，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時取得等號，
故的最小值為，
故答案為：
55．（2024高三上·浙江寧波·期中）已知，，，則取到最小值為．
【答案】．
【詳解】試題分析：令，∴，
∴
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即的最小值是．
考點：基本不等式求最值．
【思路點睛】用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值．在求條件最值時，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件．
56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直線過點，則的最小值為．
【答案】/
【分析】由直線過點，可得，利用基本不等式“1”的代換，求出最小值．
【詳解】∵直線過點，
．
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．
的最小值為．
故答案為：．
57．（2024高三下·河北·階段練習(xí)）已知，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由已知得，利用基本不等式求和的最小值.
【詳解】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.
故答案為：
58．（2024高一上·山東煙臺·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為 .
【答案】1
【分析】構(gòu)造，展開，利用基本不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，
即，
因為，，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以的最小值為1.
故答案為：1
59．（2024高三下·浙江·開學(xué)考試）已知正實數(shù)a，b，c，，則的最小值為．
【答案】/
【分析】利用變形為，再將變形為
，利用基本不等式整理為，進而再用基本不等式求得答案.
【詳解】由正實數(shù)a，b，，可得，
所以

而，當(dāng)且僅當(dāng) 即時取等號，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時，即時取等號，
故答案為：
60．（2024·天津濱海新·模擬預(yù)測）已知，則的最大值是 .
【答案】
【解析】先化簡原式為，再換元設(shè)得原式，再換元設(shè)得原式可化為，再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.
【詳解】，設(shè)，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函數(shù)在上單調(diào)遞增)
故答案為：
【點睛】(1)本題主要考查基本不等式，考查函數(shù)y=+的圖像和性質(zhì)，考查換元法的運用，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化的能力及數(shù)形結(jié)合的思想方法；(2)解答本題的關(guān)鍵是兩次換元，第一次是設(shè)，第二次是設(shè)，換元一定要注意新元的范圍.
61．（2024·上海金山·二模）若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【詳解】不等式，即，解得，則的取值范圍是.
故答案為：.
62．（2024高三·全國·課后作業(yè)）不等式的解集為．
【答案】
【分析】根據(jù)不等式，解出即可.
【詳解】解:由題知不等式為,
即,
即,
解得,
所以解集為.
故答案為:
63．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）函數(shù)的定義域為．
【答案】
【分析】由偶次根式、對數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得.
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
64．（2024高三·全國·課后作業(yè)）不等式的解集為．
【答案】
【分析】求得不等式對應(yīng)的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.
【詳解】不等式即，
的根為，
故的解集為，
即不等式的解集為，
故答案為：
65．（2024高一上·上海松江·階段練習(xí)）不等式的解集為．
【答案】或
【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)分式不等式解法可知等價于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集為或.
故答案為：或
66．（2024·江西）不等式的的解集是
【答案】：
【詳解】：則或
【考點定位】本題考查將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為高次不等式、考查高次不等式的解法
67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，則x的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義解不等式.
【詳解】∵，則，解得，
∴x的取值范圍是.
故答案為：.
68．（2024·上海浦東新·三模）不等式的解集是．
【答案】
【分析】零點分段法求解絕對值不等式.
【詳解】當(dāng)時，，解得，此時解集為空集，
當(dāng)時，，即，符合要求，此時解集為，
當(dāng)時，，解得，此時解集為空集，
綜上：不等式的解集為.
故答案為：
69．（2024高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）已知集合，則．
【答案】
【分析】計算，，再計算交集得到答案.
【詳解】，
.
故.
故答案為：
70．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為．
【答案】
【分析】令，即可得到，依題意可得，解得即可；
【詳解】解：令，圖象恒過點，
方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，
，解得.
故答案為：
71．（2024高一·全國·專題練習(xí)）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數(shù)值是 .
【答案】1
【分析】方程化為，有兩個不相等的實根即，解不等式即可求出答案.
【詳解】方程化為，
由，解得，
所以最大整數(shù)值是.
故答案為：1.
72．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】確定，得到，，根據(jù)方程根的關(guān)系得到，解得答案.
【詳解】，故，
，，
將看成方程的兩根，則，
即，故，解得.
故答案為：
73．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】先移項，根據(jù)不等式是否為二次不等式分類討論，當(dāng)是一次不等式，若對恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.
【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．
（1）當(dāng)時，若不等式對恒成立，
只需，解得；
（2）當(dāng)時，若該二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
綜上：.
故答案為：
四、解答題
74．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：
【答案】證明見解析
【分析】對不等式左側(cè)每個因式應(yīng)用基本不等式即可得到結(jié)論.
【詳解】都是正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
即.
75．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知x，y，z為正數(shù)，證明：
(1)若，則；
(2)若，則．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用基本不等式進行證明；
（2）根據(jù)柯西不等式可以證明.
【詳解】（1）因為，所以，
同理可得，，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
（2），
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
76．（2024·四川綿陽·二模）已知函數(shù)，若的解集為.
(1)求實數(shù)，的值；
(2)已知，均為正數(shù)，且滿足，求證：.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)得到，利用零點分段法解不等式，得到解集，求出；
（2）結(jié)合（1）得到，并用基本不等式進行證明.
【詳解】（1）由題意得，故，即，
解得，
故的解集為，
當(dāng)時，，解得，故，
當(dāng)時，，解得，故，
當(dāng)時，，解得，解集為空集，
綜上，的解集為，故；
（2）由（1）知，
已知，均為正數(shù)，故，即，，
當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
77．（2024高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
【答案】(1)400噸；
(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
【分析】（1）由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.
（2）根據(jù)獲利，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.
【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時等號成立，
故該當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.
（2）不獲利，設(shè)該單位每個月獲利為S元，則，
因為，則，
故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
78．（2024高一上·貴州安順·期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？
(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？
【答案】(1)該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元；
(2)該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．
【分析】（1）由已知可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出該式的最值.
【詳解】（1）該單位每月的月處理成本：
，
因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
從而得當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即.
所以該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.
（2）由題意可知：，
每噸二氧化碳的平均處理成本為：
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．
79．（2024高一下·湖北孝感·開學(xué)考試）截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破人疫情嚴(yán)峻，請同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實際問題.
(1)我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）
(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側(cè)面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側(cè)面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側(cè)面長為多少時，總價最低？
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用已知條件，求解指數(shù)不等式得答案．
（2）根據(jù)題意表達出總造價，再根據(jù)基本不等式，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)分類討論分析即可.
【詳解】（1）由題意得，，
設(shè)該藥在病人體內(nèi)的血藥含量變?yōu)闀r需要是時間為，
由，得，
故，．
該新藥對病人有療效的時長大約為．
（2）由題意，正面長為米，故總造價，即.
由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故當(dāng)，即，時總價最低；
當(dāng)，即時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，時總價最低；
綜上，當(dāng)時，時總價最低；當(dāng)時，時總價最低.
判別式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δb?eq \f(1,a)b>0，m>0?eq \f(b,a)a>0，m>0?eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m)．
2．判斷不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性質(zhì)逐個驗證．
（2）利用特殊值法排除錯誤選項．
（3）作差法．
（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．
題型1：不等式的性質(zhì)
1-1．（2024高三上·廣東·期末）已知，，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的同向可加性，結(jié)合待定系數(shù)法可得，即可得的取值范圍.
【詳解】解：設(shè)，所以，
則，又，
所以，，由不等式的性質(zhì)得：，
則的取值范圍為.
故選：D.
1-2．（2024·全國）若a>b，則
A．ln(a?b)>0B．3a0D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本題也可用直接法，因為，所以，當(dāng)時，，知A錯，因為是增函數(shù)，所以，故B錯；因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．
【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．
【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．
1-3．（2024·山東）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為，且，所以
設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，
所以，所以選B.
【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.
（二）
比較大小
1．不等式大小比較的常用方法
（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果．
（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）．
（3）分析法．
（4）平方法．
（5）分子（或分母）有理化．
（6）利用函數(shù)的單調(diào)性．
（7）尋找中間量或放縮法．
（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．
題型2：比較大小
2-1．（2024·全國）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得，由知 .
在上單調(diào)遞增，所以，即，
又因為，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
2-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；
（2）設(shè)x，，比較與的大小.
【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析
【分析】（1）由不等式的性質(zhì)即可證明.
（2）要比較與的大小，將兩式做差展開化簡，得到即可判斷正負并比較出結(jié)果.
【詳解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立，
所以當(dāng)x＝y(tǒng)時，；
當(dāng)時，.
2-3．（2024高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）（1）試比較與的大小；
（2）已知，，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）與作差，判斷差的正負即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合不等式的性質(zhì)分析即可證出結(jié)論.
【詳解】（1）由題意，
，
所以．
（2）證明：因為，所以，即，
而，所以，則．得證．
（三）
基本不等式
1．基本不等式
（1）基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)( a>0，b>0)．
（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
2．幾個重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
3．基本不等式求最值
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．
（2）要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．
（3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．
題型3：基本不等式
3-1．（2024高一下·廣西柳州·期末）若，則的最小值為 .
【答案】0
【分析】構(gòu)造，利用基本不等式計算即可得出結(jié)果.
【詳解】由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
故答案為：0
3-2．（2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試）若，，且，則的最大值為．
【答案】
【分析】根據(jù)基本不等式得即可解決.
【詳解】由題知，，，且
因為，
所以，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
故答案為：
3-3．（2024高三上·湖南婁底·期末）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為．
【答案】6
【分析】利用已知化簡可得，根據(jù)基本不等式計算即可.
【詳解】由已知條件得，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．
故答案為：6.
3-4．（2024·天津南開·一模）已知實數(shù)，則的最小值為 .
【答案】
【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.
【詳解】∵，，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.
故答案為：.
3-5．（2024高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】8
【分析】根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】解：因為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以的最小值為8.
故答案為：8.
3-6．（2024·上海浦東新·二模）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
【答案】．
【分析】對函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】，
因為，所以，故，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故答案為：
3-7．（2024·上海長寧·二模）某小學(xué)開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．則至少需要米柵欄．
【答案】
【分析】設(shè)矩形植物種植園的寬、長為，由題意結(jié)合均值不等式求解即可.
【詳解】設(shè)矩形植物種植園的寬、長為，
所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等.
故至少需要米柵欄．
故答案為：．
（四）
不等式的求解
1．含參一元二次不等式的解法
（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類．
（2）根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)．
（3）有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論．
2．一元二次不等式恒成立問題
（1）弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．
題型4：不等式的求解
4-1．（2024·全國）已知集合則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.
【詳解】由解得，
所以，
又因為，所以，
故選：D.
【點睛】本題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題目.
4-2．（2024高一下·廣東陽江·期末）不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.
【詳解】解：原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，
當(dāng)時，可知，對應(yīng)的方程的兩根為1，，
根據(jù)一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：.
故選：A.
4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．
【答案】見解析
【分析】一元二次不等式，討論開口方向即可.
【詳解】方程：且
解得方程兩根：；
當(dāng)時，原不等式的解集為：
當(dāng)時，原不等式的解集為：
綜上所述, 當(dāng)時，原不等式的解集為：
當(dāng)時，原不等式的解集為：
4-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是 .
【答案】
【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解.
【詳解】可轉(zhuǎn)化為.
設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).
要使恒成立，只需，
解得.
故答案為：
4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，，使關(guān)于的不等式成立，則，即，，再結(jié)合對勾函數(shù)找到最大值即可求出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】解：，使關(guān)于的不等式成立，
則，即，，
令，，則對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故
故答案為：
4-6．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是．
【答案】
【分析】通過參數(shù)分離等價轉(zhuǎn)化不等式，再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值，即可求出a的取值范圍．
【詳解】由不等式對恒成立，
可轉(zhuǎn)化為對恒成立，即，
而，
當(dāng)時，有最大值，所以，
故答案為：．
4-7．（2024高三上·北京·期中）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題中條件，由分離參數(shù)的方法得到，求出在給定區(qū)間的最大值，進而可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以由得，
因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，
所以只需小于等于的最大值，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故的最大值為1，
所以，
即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多