知識點一 垂線
直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。
垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點叫做垂足。
【注意事項】線段與線段及射線與射線互相垂直，是指它們所在的直線互相垂直。
垂線的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個角為直角。
3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條。垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
【注意事項】垂線是一條直線，而垂線段是一條線段。
點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離
知識點二 相交線中的角
第一種 鄰補角與對頂角
【注意事項】1）對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；
2）如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角；
3）如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角；
4）兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。
第二種 同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角
同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線同側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角。（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5。
內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角。（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5。
同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線內(nèi)部，具有這樣位置關(guān)系的一對叫同旁內(nèi)角。（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6。
三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對，同旁內(nèi)角有2對。
【速記同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角】
典例及變式
典例1．（2020·河南臨潁·七年級期末）兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點，…那么六條直線最多有( )
A．21個交點B．18個交點C．15個交點D．10個交點
【答案】C
【提示】
試題提示：由題意兩條直線最多有個交點，三條直線最多有個交點，四條直線最多有個交點，根據(jù)這個規(guī)律即可求得結(jié)果.
【詳解】
由題意得六條直線最多有個交點，故選C.
變式1-1．（2020·陜西·咸陽七年級期中）三條直線相交，交點最多有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【提示】
三條直線相交，有三種情況，即：兩條直線平行，被第三條直線所截，有兩個交點；三條直線經(jīng)過同一個點，有一個交點；三條直線兩兩相交且不經(jīng)過同一點，有三個交點．故可得答案．
【詳解】
三條直線相交時，位置關(guān)系如圖所示：

判斷可知：最多有3個交點，
故選C.
【名師點撥】
本題考查了相交線的交點個數(shù)問題，解決本題的關(guān)鍵是畫出三條直線相交時的三種情況，找出交點．
變式1-2．（2020·湖北巴東·七年級期末）兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點，…那么n條直線最多有( ) 個交點
A．2n－3B．C．D．n(n－1)
【答案】C
【提示】
根據(jù)題目先分別計算出兩條，三條，四條，五條直線相交時，交點最多時的個數(shù)，從而得出直線條數(shù)n與交點個數(shù)的關(guān)系即可.
【詳解】
解：∵兩條直線相交，最多有1個交點；
三條直線相交，最多有1+2=3個交點，
四條直線相交，最多有1+2+3=6個交點．
五條直線相交，最多有1+2+3+4=10個交點；
∴n條直線相交，最多有個交點.
故答案為：C.
【名師點撥】
本題是一道關(guān)于相交線的交點個數(shù)的探究型題目，通過列舉，找出直線條數(shù)與交點個數(shù)的關(guān)系，總結(jié)歸納出計算公式是解題的關(guān)鍵.
變式1-3．（2020·貴州桐梓·七年級期末）下列幾個圖形與相應(yīng)語言描述相符的個數(shù)有（ ）

延長線段 直線相交于點 點在直線上 過點畫直線
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】B
【提示】
根據(jù)點、直線、相交線的性質(zhì)，逐一判定即可.
【詳解】
第一個圖形，是延長線段，與語言描述相符；
第二個圖形，直線相交于點，與語言描述相符；
第三個圖形，點A在直線外，與語言描述不相符；
第四個圖形，過點畫直線，與語言描述相符；
故選：B.
【名師點撥】
此題主要考查點、直線、相交線的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.
典例2．（2020·黑龍江南崗·七年級期末）如圖，在平面內(nèi)作已知直線的垂線，可作垂線的條數(shù)有（ ）
A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條
【答案】D
【提示】
在同一平面內(nèi)，過已知直線上的一點有且只有一條直線垂直于已知直線；但畫已知直線的垂線，可以畫無數(shù)條．
【詳解】
在同一平面內(nèi)，畫已知直線的垂線，可以畫無數(shù)條；
故選：D．
【名師點撥】
此題主要考查在同一平面內(nèi)，垂直于平行的特征，解題的關(guān)鍵是熟知垂直的定義．
變式2-1．（2020·山東沂水·七年級期中）過點B畫線段AC所在直線的垂線段，其中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根據(jù)垂線段的定義判斷即可.
【詳解】
根據(jù)垂線段的定義可知，過點B畫線段AC所在直線的垂線段，可得：
故選D．
【名師點撥】
本題考查了垂線段的定義，過直線外一點做直線的垂線，這點與垂足間的線段叫做這點到直線的垂線段.
變式-2．（2020·福建·廈門市七年級期中）已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
試題提示：根據(jù)題意畫出圖形即可．
解：根據(jù)題意可得圖形，
故選C．
點評：此題主要考查了垂線，關(guān)鍵是掌握垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
變式2-3．（2020·四川·綿竹市七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（ ）
A．a(chǎn)∥bB．b⊥dC．a(chǎn)⊥dD．b∥c
【答案】C
【提示】
根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證a∥c，再結(jié)合c⊥d，可證a⊥d．
【詳解】
∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d.
故選C.
【名師點撥】
此題考查垂線，難度不大
典例3．（2020·北京東城·七年級期末）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處（AB⊥CD）開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是（ ）
A．兩點之間線段最短B．點到直線的距離
C．兩點確定一條直線D．垂線段最短
【答案】D
【提示】
根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答．
【詳解】
要把河中的水引到水池A中,應(yīng)在河岸B處(AB⊥CD)開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是：垂線段最短，
故選D.
【名師點撥】
本題考查垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.
變式3-1．（2020·山東·東埠初中七年級期中）如圖,測量運動員跳遠(yuǎn)成績選取的是AB的長度,其依據(jù)是（ ）
A．兩點確定一條直線B．垂線段最短
C．兩點之間線段最短D．兩點之間直線最短
【答案】B
【提示】
根據(jù)垂線的定義即可求解.
【詳解】
由圖可知，依據(jù)是垂線段最短，
故選B.
【名師點撥】
此題主要考查垂線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂線段最短.
變式3-2．（2020·四川成華·七年級期末）如圖，在線段、、、中，長度最小的是（ ）
A．線段B．線段C．線段D．線段
【答案】B
【提示】
由垂線段最短可解．
【詳解】
由直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短，可知答案為B．
故選B．
【名師點撥】
本題考查的是直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短，這屬于基本的性質(zhì)定理，屬于簡單題．
變式3-3．（2020·湖南澧縣·七年級期末）在△ABC中，BC=6，AC=3，過點C作CP⊥AB，垂足為P，則CP長的最大值為（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【提示】
根據(jù)垂線段最短得出結(jié)論．
【詳解】
根據(jù)垂線段最短可知：PC≤3，∴CP長的最大值為3．
故選C．
【名師點撥】
本題考查了垂線段最短的性質(zhì)，正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短；本題是指點C到直線AB連接的所有線段中，CP是垂線段，所以最短；在實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．
典例4．（2020·四川平昌·七年級期末）下面四個圖形中，∠1=∠2一定成立的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
試題提示：A．∠1、∠2是鄰補角，∠1+∠2=180°；故本選項錯誤；
B．∠1、∠2是對頂角，根據(jù)其定義；故本選項正確；
C．根據(jù)平行線的性質(zhì)：同位角相等，同旁內(nèi)角互補，內(nèi)錯角相等；故本選項錯誤；
D．根據(jù)三角形的外角一定大于與它不相鄰的內(nèi)角；故本選項錯誤．
故選B．
變式4-1．（2020·湖北·赤壁市第五初級中學(xué)七年級期中）下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
試題提示：根據(jù)對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角進(jìn)行提示即可．
解：A、∠1與∠2不是對頂角，故此選項錯誤；
B、∠1與∠2不是對頂角，故此選項錯誤；
C、∠1與∠2是對頂角，故此選項正確；
D、∠1與∠2不是對頂角，故此選項錯誤；
故選C．
點評：此題主要考查了對頂角，關(guān)鍵是掌握對頂角定義．
變式4-2．（2020·內(nèi)蒙古海南·七年級期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＋∠2＝100°，則∠BOC等于（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】A
【詳解】
試題提示：兩直線相交，對頂角相等，即∠AOC=∠BOD，已知∠AOC+∠BOD=100°，可求∠AOC；又∠AOC與∠BOC互為鄰補角，即∠AOC+∠BOC=180°，將∠AOC的度數(shù)代入，可求∠BOC．
解：∵∠AOC與∠BOD是對頂角，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°．
∵∠AOC與∠BOC互為鄰補角，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．
故選A．
【點評】本題考查對頂角的性質(zhì)以及鄰補角的定義，是一個需要熟記的內(nèi)容．
變式4-3．（2020·江西·南昌市七年級期中）如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，則∠1＋∠2＋∠3的度數(shù)為( )
A．90° B．120° C．180° D．360°
【答案】C
【提示】
根據(jù)對頂角相等可得∠2=∠EOD，再根據(jù)平角的定義解答．
【詳解】
∵∠2=∠EOD，∠1+∠3+∠EOD =180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°．
故選C．
【名師點撥】
本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，平角的定義，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
典例5．（2020·江西大余·七年級期末）下面四個圖形中，與是鄰補角的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【提示】
根據(jù)鄰補角的定義，相鄰且互補的兩個角互為鄰補角進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：A、B選項，∠1與∠2沒有公共頂點且不相鄰，不是鄰補角；
C選項互補且相鄰，是鄰補角；
D選項∠1與∠2不互補，不是鄰補角；
故選C．
【名師點撥】
本題考查鄰補角的定義，是一個需要熟記的內(nèi)容．
變式5-1．（2020·河北新樂·七年級期末）如圖，直線m、n相交，則∠1與∠2的位置關(guān)系為（ ）
A．鄰補角B．內(nèi)錯角C．同旁內(nèi)角D．對頂角
【答案】A
【提示】
根據(jù)鄰補角的意義，結(jié)合圖形判定即可．
【詳解】
直線m、n相交，則∠1與∠2互為鄰補角．
故選A．
【名師點撥】
本題考查了鄰補角的意義，掌握兩個角的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
變式5-2．（2020·江蘇建湖·七年級期中）如圖，直線被直線c所截，則下列說法中不正確的是（ ）
A．與是鄰補角B．與是對頂角
C．與是內(nèi)錯角D．與是同位角
【答案】C
【提示】
根據(jù)對頂角、鄰補角、同位角、內(nèi)錯角的定義分別提示即可．
【詳解】
解：A、∠3與∠2是鄰補角，故原題說法正確；
B、∠1與∠3是對頂角，故原題說法正確；
C、∠1與∠4不是內(nèi)錯角，故原題說法錯誤；
D、∠2與∠4是同位角，故原題說法正確；
故選：C．
【名師點撥】
此題主要考查了對頂角、鄰補角、內(nèi)錯角和同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形．
變式5-3．（2020·北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)分校實驗學(xué)校七年級期中） 下列圖形中，∠1與∠2不是互補關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
根據(jù)互補的兩個角的和為判定即可．
【詳解】
解：A．∠1與∠2是互補關(guān)系，故本選項不合題意；
B．由平行線的性質(zhì)可知∠1與∠2是互補關(guān)系，故本選項不合題意；
C．由對頂角的定義可知∠1與∠2是對頂角，不一定具有互補關(guān)系，故本選項符合題意；
D．∠1+∠2=180°，即∠1與∠2是互補關(guān)系，故本選項不合題意．
故選：C．
【名師點撥】
本題主要考查了補角的定義、鄰補角、對頂角、平行線的性質(zhì)，熟記補角的定義是解答本題的關(guān)鍵．
典例6．（2020·云南祥云·七年級期末）如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于( ).
A．35°B．70°
C．110°D．145°
【答案】C
【詳解】
∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,
∴∠AOD=180°-70°=110°.
故選C.
變式6-1．（2020·內(nèi)蒙古·奈曼旗新鎮(zhèn)七年級期中）如圖所示，已知直線AB、CD相較于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，則∠BOD的度數(shù)是（ ）
A．20B．25°C．30°D．70°
【答案】D
【提示】
由角平分線的定義可求出∠COB的度數(shù)，根據(jù)鄰補角的定義求出∠BOD的度數(shù)即可.
【詳解】
∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，
∴∠COB=2∠EOB=110°，
∵∠BOD與∠COB是鄰補角，
∴∠BOD=180°-∠COB=70°，
故選D.
【名師點撥】
本題考查了角平分線的定義及鄰補角的概念，掌握角平分線的定義和鄰補角之和為180°是解題的關(guān)鍵．
變式6-2．（2020·湖北省武漢市七年級期中）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，∠EOD=30°，則∠BOC=（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【答案】D
【提示】
運用垂線，鄰補角的定義計算．
【詳解】
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=30°，
∴∠DOB=90°-30°=60°，
∴∠BOC=180°-∠DOB=180°-60°=120°，
故選D
【名師點撥】
本題主要考查了垂線，鄰補角，靈活運用垂線，鄰補角的定義計算是解題的關(guān)鍵．
變式6-3．（2020·廣西陸川·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列說法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正確的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【提示】
根據(jù)題意，逐項提示：
根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出∠BOD=∠DOF，然后根據(jù)對頂角相等，得出∠BOD=∠AOC，進(jìn)而得出∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°；②根據(jù)∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，得出∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)，等角轉(zhuǎn)換，即可得出∠EOB＝180°﹣α；③由∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF），然后等角轉(zhuǎn)換，即可得出∠AOF＝360°﹣2α.
【詳解】
① ∵OD平分∠BOF，
則∠BOD=∠DOF，
又∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°； 符合題意；
② ∵∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，
∴∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)
=180°-(∠EOD+∠DOF)
=180°-∠EOF=180°-α；符合題意；
③∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF）
= 360°﹣2（∠EOD+∠DOF）
=360°-2∠EOF=360°-2α；符合題意；
故答案為D.
【名師點撥】
此題主要考查角平分線的性質(zhì)和等角轉(zhuǎn)換，熟練運用，即可解題.
典例7．（2020·河南輝縣·七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁內(nèi)角B．∠1和∠3是對頂角
C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是內(nèi)錯角
【答案】A
【提示】
根據(jù)對頂角、鄰補角、同位角、內(nèi)錯角定義判斷即可．
【詳解】
A. ∠1和∠2是鄰補角，故此選項錯誤；
B. ∠1和∠3是對頂角，此選項正確；
C. ∠3和∠4是同位角，此選項正確；
D. ∠1和∠4是內(nèi)錯角，此選項正確；
故選A.
【名師點撥】
此題考查對頂角，鄰補角，同位角，內(nèi)錯角， 同旁內(nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.
變式7-1．（2020·浙江浙江·七年級期中）如圖，∠B的同位角可以是
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
【答案】D
【提示】
直接利用兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，進(jìn)而得出答案．
【詳解】
∠B的同位角可以是：∠4．
故選D．
【名師點撥】
此題主要考查了同位角的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
變式7-2．（2020·河南·洛陽市七年級期中）下列圖形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【提示】
根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角進(jìn)行提示即可．
【詳解】
解：根據(jù)同位角定義觀察圖形可知A、B、C選項中的均不符合同位角的定義，只有選項D中的圖形符合，
故選D．
【名師點撥】
本題考查同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．
變式7-3．（2020·山西壽陽·七年級期中）如圖，描述同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角關(guān)系不正確的是（ ）
A．與是同位角B．與是內(nèi)錯角
C．與是同旁內(nèi)角D．與是同旁內(nèi)角
【答案】D
【詳解】
解：A．∠1與∠4是同位角，故A選項正確；
B．∠2與∠3是內(nèi)錯角，故B選項正確；
C．∠3與∠4是同旁內(nèi)角，故C選項正確；
D．∠2與∠4是同旁內(nèi)角，故D選項錯誤．
故選D．
名師點撥：本題主要考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征．
變式7-4．（2020·河南平輿·七年級期中）如圖，下列說法錯誤的是( ).
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁內(nèi)角；④∠1和∠4是內(nèi)錯角.
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【提示】
根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．
內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．
同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角,分別進(jìn)行提示可得答案．
【詳解】
①∠1與∠3是同位角，原題說法正確；
②∠1與∠5不是同位角，故原題說法錯誤；
③∠1與∠2是同旁內(nèi)角，原題說法正確；
④∠1與∠4不是內(nèi)錯角，原題說法錯誤；
故選C．
【名師點撥】
此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．
變式7-5．（2020·山東羅莊·七年級期末）如圖，圖中∠1與∠2是同位角的是( )
A．（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）
【答案】C
【提示】
根據(jù)同位角的定義，易選C.
1．平面內(nèi)三條直線的交點個數(shù)可能有〔 〕
A．1個或3個B．2個或3個
C．1個或2個或3個D．0個或1個或2個或3
【答案】D
【提示】
根據(jù)三直線互相平行，可得交點個數(shù)；兩直線平行與第三條指向相交，可得交點個數(shù)；三條直線相交于一點；三條直線兩兩相交，可得交點個數(shù)．
【詳解】
解：①三直線互相平行，交點個數(shù)為0；
②兩直線平行與第三條指向相交，交點個數(shù)為2個；
③三條直線相交于一點，交點個數(shù)為1個；
④三條直線兩兩相交，交點個數(shù)為3個；
故選D．
【點睛】
本題考查了直線、射線、線段，注意要分類討論，有4種可能，不要漏掉．
2．在以下三個命題中，正確的命題有（ ）
①a，b，c是三條不同的直線，若a與b相交，b與c相交，則a與c相交
②a，b，c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c
③若∠α與∠β互補，∠β與∠γ互補，則∠a與∠γ互補
A．②B．①②C．②③D．①②③
【答案】A
【提示】
根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系、平行線的判定定理和同角的補角相等逐一判斷即可．
【詳解】
解：①a，b，c是三條不同的直線，若a與b相交，b與c相交，則a與c不一定相交，如下圖所示，故①錯誤；
②a，b，c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c，故②正確；
③若∠α與∠β互補，∠β與∠γ互補，則∠a與∠γ相等，故③錯誤
綜上：正確的命題是②．
故選A．
【點睛】
此題考查的是直線的位置關(guān)系的判斷和補角的性質(zhì)，掌握直線與直線的位置關(guān)系、平行線的判定定理和同角的補角相等是解決此題的關(guān)鍵．
3．如圖，三條直線相交于點O．若CO⊥AB，∠1=56°，則∠2等于( )
A．30°B．34°C．45°D．56°
【答案】B
【詳解】
試題提示：根據(jù)垂線的定義求出∠3，然后利用對頂角相等解答．
解：∵CO⊥AB，∠1=56°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，
∴∠2=∠3=34°．
故選B．
4．如圖所示，點O在直線AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列說法錯誤的是（ ）
A．∠1與∠2相等B．∠AOE與∠2互余
C．∠AOE與∠COD互余D．∠AOC與∠COB互補
【答案】C
【提示】
根據(jù)垂直的定義和互余解答即可．
【詳解】
解：∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，
∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠AOE+∠2＝90°，
∵∠1+∠AOE＝∠1+∠COD，
∴∠AOE＝∠COD，
故選：C．
【點睛】
本題考查了垂線的定義，關(guān)鍵是熟悉當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直；平角的度數(shù)是180°．
5．如圖所示，點P到直線l的距離是（ ）
A．線段PA的長度B．線段PB的長度C．線段PC的長度D．線段PD的長度
【答案】B
【詳解】
由點到直線的距離定義，即垂線段的長度可得結(jié)果，點P到直線l的距離是線段PB 的長度，故選B.
6．如圖，直線AB、CD相交于點O，EO⊥CD，下列說法錯誤的是（ ）
A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOED．∠AOD＋∠BOD＝180°
【答案】C
【提示】
根據(jù)對頂角性質(zhì)、鄰補角定義及垂線的定義逐一判斷可得．
【詳解】
A、∠AOD與∠BOC是對頂角，所以∠AOD=∠BOC，此選項正確；
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此選項正確；
C、∠AOC與∠BOD是對頂角，所以∠AOC=∠BOD，此選項錯誤；
D、∠AOD與∠BOD是鄰補角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此選項正確；
故選C．
【點睛】
本題主要考查垂線、對頂角與鄰補角，解題的關(guān)鍵是掌握對頂角性質(zhì)、鄰補角定義及垂線的定義．
7．若∠A與∠B是對頂角且互補，則它們兩邊所在的直線( )
A．互相垂直B．互相平行
C．既不垂直也不平行D．不能確定
【答案】A
【詳解】
∵∠A與∠B是對頂角，
∴∠A=∠B，
又∵∠A與∠B互補，
∴∠A+∠B=180°，
可求∠A=90°．
故選A．
8．如圖，若AB，CD相交于點O，∠AOE＝90°，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．∠EOC與∠BOC互為余角B．∠EOC與∠AOD互為余角
C．∠AOE與∠EOC互為補角D．∠AOE與∠EOB互為補角
【答案】C
【提示】
直接利用垂直的定義結(jié)合互余以及互補的定義提示得出答案．
【詳解】
解：∵∠AOE=90°，
∴∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠EOC+∠BOC=90°，∠EOC+∠AOD=90°，∠AOE+∠EOB=180°，
故A、B、D選項正確，C錯誤．
故選：C．
【點睛】
此題主要考查了垂直的定義、互余以及互補的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
9．如圖，點O在直線DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．150°B．120°C．110°D．100°
【答案】C
【提示】
直接利用垂直的定義結(jié)合鄰補角的定義得出答案．
【詳解】
解：∵點O在直線DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，
∴∠AOC＝90°，則∠BOC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°．
故選C．
【點睛】
此題主要考查了垂線以及鄰補角，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
10．如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯角分別是（ ）
A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4
【答案】B
【提示】
同位角：兩條直線a，b被第三條直線c所截（或說a，b相交c），在截線c的同旁，被截兩直線a，b的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個角稱為同位角；內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.根據(jù)此定義即可得出答案.
【詳解】
∵直線AD，BE被直線BF和AC所截，
∴∠1與∠2是同位角，∠5與∠6是內(nèi)錯角，
故選B.
【點睛】
本題考查的知識點是同位角和內(nèi)錯角的概念，解題關(guān)鍵是熟記內(nèi)錯角和同位角的定義．
11．如圖，直線a，b被直線c所截，則下列說法中錯誤的是( )
A．∠1與∠2是鄰補角B．∠1與∠3是對頂角
C．∠2與∠4是同位角D．∠3與∠4是內(nèi)錯角
【答案】D
【詳解】
解：∠3與∠4是同旁內(nèi)角．
故選：D
12．如圖，不能判斷的條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根據(jù)題意，結(jié)合圖形對選項一一提示，排除錯誤答案．
【詳解】
A、∠1=∠3正確，內(nèi)錯角相等兩直線平行；
B、∠2+∠4=180°正確，同旁內(nèi)角互補兩直線平行；
C、∠4=∠5正確，同位角相等兩直線平行；
D、∠2=∠3錯誤，它們不是同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，故不能推斷兩直線平行．
故選：D．
【點睛】
此題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義．
13．平面內(nèi)有五條直線兩兩相交，設(shè)最多交點個數(shù)為a，最少交點個數(shù)為b，最多對頂角數(shù)為c，則的值是 ________ ．
【答案】1
【提示】
根據(jù)n條直線相交于一點時交點最少，任意n條直線兩兩相交時交點最多為個，對頂角最多的組數(shù)為最多交點個數(shù)的2倍，由此可得出a，b，c的值，再代入計算即可．
【詳解】
∵n條直線相交于一點時交點最少，任意n條直線兩兩相交時交點最多為個，對頂角最多的組數(shù)為最多交點個數(shù)的2倍，
∴a＝10，b=1，c=20
∴．
故答案為：1．
【點睛】
考查了直線的交點問題，解題關(guān)鍵是掌握n條直線相交于一點時交點最少，任意n條直線兩兩相交時交點最多為個，對頂角最多的組數(shù)為最多交點個數(shù)的2倍．
14．平面內(nèi)兩條直線相交，有1個交點；三條直線相交，最多有3個交點；…，若n條直線相交，最多有__個交點．
【答案】．
【提示】
畫出圖形，根據(jù)具體圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時的交點個數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可．
【詳解】
如圖：2條直線相交有1個交點；
3條直線相交有1+2個交點；
4條直線相交有1+2+3個交點；
5條直線相交有1+2+3+4個交點；
6條直線相交有1+2+3+4+5個交點；
…
n條直線相交有1+2+3+…+n＝個交點；
故答案為：．
【點睛】
此題考查了直線相交的交點個數(shù)，體現(xiàn)了從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，有一定的挑戰(zhàn)性，可以激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣．
15．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于點O，且∠COE=34°，則∠BOD為______．
【答案】56°
【提示】
依據(jù)OE⊥AB，可得∠BOE=90°；再根據(jù)∠COE=34°，即可得到∠BOD的度數(shù)．
【詳解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
又∵∠COE=34°，
∴∠BOD=180°-90°-34°=56°，
故答案是：56°．
【點睛】
本題考查了垂線、對頂角與鄰補角．注意，鄰補角互補，即和為180°．
16．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE丄AB于O， ∠DOE=35°，則∠AOC=______．
【答案】55
【詳解】
解：∵OE丄AB于O，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE=90°
又∵∠DOE=35°，
∴∠BOD=90°-35°=55°，
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC=55°
故答案為：55°．
17．如圖所示，想在河堤兩岸塔建一座橋，搭建方式最短的是_____，理由_____．
【答案】PN, 垂線段最短
【詳解】
∵PM⊥MN，
∴由垂線段最短可知PM是最短的，
故答案為PM，垂線段最短．
18．兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝_____．
【答案】40或80
【詳解】
當(dāng)這兩個角是對頂角時，(2x-10) =(110-x)，
解之得
x=40;
當(dāng)這兩個角是鄰補角時，(2x-10) +(110-x) =180，
解之得
x=80;
∴x的值是40或80.
點睛：本題考查了兩條直線相交所成的四個角之間的關(guān)系及分類討論的數(shù)學(xué)思想，兩條直線相交所成的四個角或者是對頂角的關(guān)系，或者是鄰補角的關(guān)系，明確這兩種關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.
19．如圖，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于______，∠3的內(nèi)錯角等于______，∠3的同旁內(nèi)角等于______．
【答案】80°；80°；100°
【詳解】
如圖，已知∠2=100°，根據(jù)鄰補角的定義和對頂角相等可得∠4=80°，∠5=100°，∠6=80°，再由同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義可得∠3的同位角是∠6=80°，∠3的內(nèi)錯角是∠4=80°，∠3的同旁內(nèi)角是∠5=100°.
20．如圖，共有_____對同位角，有_____對內(nèi)錯角，有_____對同旁內(nèi)角．
【答案】20 12 12
【提示】
利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角定義進(jìn)行解答即可．
【詳解】
解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O與∠EFH，∠O與∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，
∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20對；
內(nèi)錯角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12對；
同旁內(nèi)角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12對，
故答案為：20；12；12．
【點睛】
此題主要考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．
21．已知：如圖，直線AB、CD相交于點O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，請你過點O畫直線MN⊥AB，并在直線MN上取一點F（點F與O不重合），然后直接寫出∠EOF的度數(shù)．
【答案】（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度數(shù)為30°或150°．
【提示】
（1）依據(jù)垂線的定義以及對頂角相等，即可得∠BOE的度數(shù)；
（2）依據(jù)平角的定義以及垂線的定義，即可得到∠AOE的度數(shù)；
（3）分兩種情況：若F在射線OM上，則∠EOF=∠BOD=30°；若F'在射線ON上，則∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°．
【詳解】
解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠DOE=90°，
又∵∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠BOE=90°-36°=54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，
∴∠BOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE=90°+30°=120°；
（3）分兩種情況：
若F在射線OM上，則∠EOF=∠BOD=30°；
若F'在射線ON上，則∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°；
綜上所述，∠EOF的度數(shù)為30°或150°．
故答案為（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度數(shù)為30°或150°．
【點睛】
本題考查了角的計算，對頂角，垂線等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是分類討論思想的運用．
22．如圖，直線AB、CD、MN相交于點O，F(xiàn)O⊥BO，OM平分∠DOF
（1）請直接寫出圖中所有與∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD與∠AON的度數(shù)．
【答案】（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°
【提示】
（1）根據(jù)垂直的定義可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分線的定義和對頂角相等可得與∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）設(shè)∠MOD的度數(shù)為x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度數(shù)，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，據(jù)此列方程求解，再由（1）中∠MOD與∠AON互余可得出∠AON的度數(shù)．
【詳解】
解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，
∴∠BOM+∠FOM=90°，
又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．
∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，
又∵∠DOM=∠CON，
∴與∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）設(shè)∠MOD的度數(shù)為x°，
∵OM平分∠FOD，
∴∠MOD=∠FOM=x°，
∴∠FOD=2x°，∠AOC=∠FOM=°，
又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，
∴∠FOD+∠AOC=90°，
即2x+=90，
解得：x=20．
即∠MOD=20°，
由（1）可知∠MOD與∠AON互余，
∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．
故∠MOD的度數(shù)為20°，∠AON的度數(shù)為70°．
【點睛】
本題考查了垂直的定義，角的平分線的定義，余角的定義與性質(zhì)以及對頂角相等，正確理解相關(guān)概念是關(guān)鍵．
23．如圖，平面上四個點A，B，C，D，按要求完成下列問題：
（1）畫射線與直線相交于E點；
（2）在直線上找一點M，使線段最短，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【提示】
（1）畫射線AB與直線CD，交點記為E點；
（2）根據(jù)垂線段最短作出垂線段即可求解．
【詳解】
解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：理由是垂線段最短．
【點睛】
此題主要考查了直線、射線、線段，以及垂線段，關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的性質(zhì)．
24．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE把分成兩部分，
(1)直接寫出圖中的對頂角為________,的鄰補角為________；
(2)若，且=2：3，求的度數(shù).
【答案】(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°.
【提示】
（1）根據(jù)對頂角和鄰補角的定義直接寫出即可；
（2）根據(jù)對頂角相等求出∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度數(shù)，然后利用互為鄰補角的兩個角的和等于180°即可求出∠AOE的度數(shù)．
【詳解】
解：（1）∠AOC的對頂角是∠BOD，∠EOB的鄰補角是∠AOE，
故答案為∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠BOE：∠EOD=2：3，
∴∠BOE= ×70°=28°，
∴∠AOE=180°-28°=152°．
∴∠AOE的度數(shù)為152°．
【點睛】
本題主要考查了對頂角和鄰補角的定義，利用對頂角相等的性質(zhì)和互為鄰補角的兩個角的和等于180°求解是解答此題的關(guān)鍵．
25．如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．
【答案】（1）35°；（2）36°.
【提示】
（1）根據(jù)角平分線定義得到∠AOC=∠EOC=×70°=35°，然后根據(jù)對頂角相等得到∠BOD=∠AOC=35°；
（2）先設(shè)∠EOC=2x，∠EOD=3x，根據(jù)平角的定義得2x+3x=180°，解得x=36°，則∠EOC=2x=72°，然后與（1）的計算方法一樣．
【詳解】
解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）設(shè)∠EOC=2x，∠EOD=3x，根據(jù)題意得2x+3x=180°，解得x=36°，
∴∠EOC=2x=72°，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
考點：角的計算．
26．根據(jù)圖形填空：
（1）若直線被直線所截，則和_____是同位角；
（2）若直線被直線所截，則和_____是內(nèi)錯角；
（3）和是直線被直線______所截構(gòu)成的內(nèi)錯角；
（4）和是直線，______被直線所截構(gòu)成的_____角．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），同位
【提示】
（1）根據(jù)圖形及同位角的概念可直接進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)圖形及內(nèi)錯角的概念可直接進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)圖形及內(nèi)錯角的概念可直接進(jìn)行求解；
（4）根據(jù)圖形及同位角的概念可直接進(jìn)行求解．
【詳解】
解：由圖可得：
（1）若直線被直線所截，則和是同位角；
故答案為；
（2）若直線被直線所截，則和是內(nèi)錯角；
故答案為；
（3）和是直線被直線所截構(gòu)成的內(nèi)錯角；
故答案為；
（4）和是直線，被直線所截構(gòu)成的同位角；
故答案為，同位．
【點睛】
本題主要考查內(nèi)錯角及同位角的概念，熟練掌握同位角及內(nèi)錯角的概念是解題的關(guān)鍵．
27．兩條直線被第三條直線所截，和是同旁內(nèi)角，和是內(nèi)錯角．
（1）根據(jù)上述條件，畫出符合題意的示意圖；
（2）若、，求，的度數(shù)
【答案】（1）答案見解析；（2）∠1=162°，∠2=54°．
【提示】
（1）根據(jù)同旁內(nèi)角兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線的中間位置的角，內(nèi)錯角兩個角都在截線的兩側(cè)，又分別處在被截的兩條直線的中間位置的角，可得答案；
（2）根據(jù)∠1與∠3互補，可得角的度數(shù)．
【詳解】
解：（1）如圖，下圖為所求作．
（2），，
，
又，
，
，
，．
【點睛】
本題考查了內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，利用了鄰補角的定義，列出方程，求出∠3的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
種類
圖形
頂點
邊的關(guān)系
大小關(guān)系
對頂角
（∠1與∠2）
1
2
有公共頂點
∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線
∠1=∠2
鄰補角
（∠3與∠4）
4
3
有公共頂點
∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.
∠3+∠4=180°

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